11.1 不等式（第1课时）教案 　2024—2025学年人教版数学七年级下册

11.1　不等式（第1课时） 教学目标 　　1．了解不等式的概念，理解不等式的解、不等式的解集和解不等式的含义，会在数轴上表示不等式的解集． 　　2．会用不等式表示简单的不等关系，经历由具体实例建立不等式模型的过程，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型． 　　3．经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程，体会类比和数形结合的思想． 教学重点 　　正确理解不等式及其相关概念的含义． 教学难点 　　能准确运用不等式表示不等关系，会在数轴上表示不等式的解集． 教学过程 新课导入 　　观察下图，圆和三角形的数量之间存在着怎样的关系？ 　　【师生活动】学生独立观察、思考后回答：圆有9个，三角形有7个．圆的数量大于三角形的数量，即9＞7． 　　教师引出本节课所学内容：数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系，现实世界和日常生活中存在大量涉及不等关系的问题．我们常用等式（包括方程）研究相等关系，那么研究不等关系需要用什么？ 　　【设计意图】用简单的比较数量的题目，引出本节课学习的“不等式及其解集”，激发学生的学习兴趣． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6：00时汽车距前方的A地210 km，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 　　【思考】汽车在8：00之前驶过A地的意思是什么？ 　　【师生活动】学生小组讨论，对实际问题进行分析，完成作答，教师总结． 　　从时间上看，汽车行驶210 km（驶过A地）所用时间，必须在6：00～8：00这2 h之内，即所用的时间不到2 h． 　　从路程上看，汽车在6：00～8：00这2 h之内行驶的路程必须超过210 km． 　　【追问】设车速是x km/h，如何用式子表示上面的两个不等关系？ 　　【师生活动】教师提示：时间＝，路程＝时间×速度．学生根据提示思考作答． 　　【答案】解：从时间上看，汽车要在8：00之前驶过A地，就是以x km/h的速度行驶210 km的时间小于2 h，即＜2． 　　从路程上看，汽车要在8：00之前驶过A地，就是以x km/h的速度行驶2 h的路程要超过210 km，即2x＞210． 　　【思考】观察下列式子： 　　9＞7，＜2，2x＞210． 　　它们有什么共同特点？ 　　【师生活动】学生自由发言，教师总结． 　　【新知】用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式． 　　【追问】像a＋2≠a－2这样的式子是不等式吗？ 　　【新知】用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 　　注意：（1）“＜”是小于号，读作“小于”；“＞”是大于号，读作“大于”；“≠”是不等于号，读作“不等于”，表示“大于或小于”．这3个符号统称不等号． 　　（2）不等式中可以不含未知数，如“5＞3”． 　　【设计意图】通过一个具体的行程问题，引导学生从时间和路程两个不同的角度思考问题，学会从实际问题抽象出不等式模型，初步理解不等式的概念． 　　【练习】有下列式子： 　　①－1＞－2；②3x＜－1；③x－3；④s＝vt；⑤3x－4＜2y；⑥a2＋2＞0；⑦a2＋b2≠c． 　　其中是不等式的有____________．（填序号） 　　【师生活动】学生独立思考作答，教师给出答案． 　　【解析】③不是等式，也不是不等式；④用等号连接，是等式，不是不等式；①②⑤⑥⑦都是用不等号表示不等关系的式子，都是不等式． 　　【答案】①②⑤⑥⑦ 　　【归纳】判断一个式子是不是不等式，要把握两点：（1）是否含有不等号；（2）是否表示不等关系．注意，一个式子是不是不等式与不等式是否成立无关． 　　【设计意图】通过练习，加深学生对不等式的概念的理解． 　　【问题】对于不等式2x＞210而言，x可以取90吗？110呢？ 　　【师生活动】教师引导学生先求出x取90时2x的值，再与210进行比较．学生独立思考完成作答． 【答案】解：当x＝90时，2x＝180，不等式2x＞210不成立； 当x＝110时，2x＝220，不等式2x＞210成立． 　　【追问】类比方程的解，你能说出什么叫作不等式的解吗？ 　　【师生活动】教师给出方程的解的定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．学生类比方程的解归纳出不等式的解的定义． 　　【新知】与方程的解类似，使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解． 　　例如110是不等式2x＞210的解，而90不是不等式2x＞210的解． 　　【设计意图】结合具体例子，类比方程的解给出不等式的解的概念，让学生初步理解不等式的解的概念． 【思考】再取x的一些值试一试，看一看哪些是不等式2x＞210的解．观察不等式 2x＞210的解，它们都满足什么条件？ 　　【师生活动】教师给出表格，学生动手计算完成表格． x … 90 95 100 105 110 … 2x … 180 190 200 210 220 … 　　教师引导学生观察表格，可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立． 　　这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解． 　　因此，x＞105表示了能使不等式2x＞210成立的x的取值范围． 　　我们称x＞105是不等式2x＞210的解集． 　　由上可知，在前面的问题中，汽车要在8：00之前驶过A地，车速应大于105 km/h． 　　【新知】一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫作解不等式． 　　注意：（1）当不等式的解集只有一个解时，不等式的解集就是它的解； 　　（2）一个不等式一般有无数个解，但这并不意味着任何一个实数都是它的解． 　　【设计意图】结合具体例子，让学生利用表格比较发现不等式的解满足的条件，得出不等式的解集的概念，使学生认识到不等式的解集的概念是不等式的解的概念的发展，不等式的解集包括了不等式的全体解． 　　【思考】除了用不等式x＞105表示不等式2x＞210的解集，还有其他表示方法吗？ 　　【师生活动】学生小组讨论得到答案：用数轴表示． 　　教师追问：回顾数轴的相关知识，并思考：如何在数轴上表示x＞105？ 　　学生自由发言，教师总结：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以在数轴上表示不等式的解集时应牢记“大于向右画，小于向左画”． 　　注意：在表示105的点上画空心圆圈，表示解集不包含这个点所对应的数． 【设计意图】让学生知道不等式的解集的表示方法主要有两种：一种是用不等式表示，另一种是用数轴表示，体会数形结合的思想． 二、典例分析 　　【例1】用不等式表示下列不等关系： 　　（1）a的一半与3的和大于5；（2）x的3倍与1的差小于2； 　　（3）a的一半与1的差是正数；（4）m与2的差是负数． 　　【师生活动】学生独立完成，请一名学生代表板演，教师讲评． 　　【分析】这是一道用不等式表示数量关系的题目，关键是抓住表示不等关系的词语． 　　【答案】解：（1）＋3＞5．（2）3x－1＜2．（3）－1＞0．（4）m－2＜0． 　　【归纳】解决此类问题要把握两点：一是要用式子表示其中的相关量，二是要把其中表示不等关系的关键词找出来，并用不等号表示出不等关系． 　　【设计意图】借助例1，巩固学生对不等式的概念的理解． 　　【例2】在3，0，2，π，－2中，是不等式3x－1＞2的解的有________个． 　　【师生活动】学生独立思考完成，教师讲评． 　　【答案】3 　　【解析】把x＝3代入不等式3x－1＞2的左边，得3x－1＝8＞2，所以不等式成立，故x＝3是不等式3x－1＞2的解．同理可知，x＝2，x＝π也是不等式3x－1＞2的解． 　　把x＝0代入不等式3x－1＞2的左边，得3x－1＝－1＜2，所以不等式不成立，故x＝0不是不等式3x－1＞2的解．同理可知，x＝－2也不是不等式3x－1＞2的解． 　　【归纳】判断一个数是不是不等式的解的基本方法： 　　判断一个数是不是不等式的解，只需用这个数代替不等式中的未知数，看能否使不等式成立．若不等式成立，则该数是不等式的解；若不等式不成立，则该数不是不等式的解． 　　【设计意图】借助例2，巩固学生对不等式的解的理解． 　　【例3】直接写出不等式2x＜6的解集，并在数轴上表示出来． 　　【师生活动】学生独立完成，一名学生代表板演，教师讲评． 　　【答案】解：不等式2x＜6的解集为x＜3，原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 　　【设计意图】借助例3，巩固学生对不等式的解集的理解，让学生掌握用数轴表示不等式的解集的方法． 课堂小结 课后任务 　　完成教材第123页练习第1～3题． 学科网（北京）股份有限公司 $$