2.3 　有理数的乘除运算　第1课时 有理数的乘法（3大基本题型） 课时同步训练 2025～2026学年北师大版数学七年级上册

2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 第1课时 有理数的乘法（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数乘法法则、倒数的概念与求法 主要题型：两个有理数的乘法运算、倒数、有理数乘法的实际应用 【知识点1】【教材重现】有理数乘法法则（教材P50） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0 【★易错点】 （1）两数相乘，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘 （2）遇到含带分数的乘法运算时，要先把带分数化为假分数，再计算 【例1】两个有理数的乘法运算 【典例】计算的结果等于（   ） A．10 B． C． D． 【变式1】实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】小明与小刚规定了一种新运算“”：若a、b是有理数，则．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 【变式3】下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【知识点2】【教材重现】倒数的概念与求法（教材P50） 1. 倒数的概念：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数，即若a与b互为倒数，则 注意：（1）0没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数 （2）倒数是相互的，即，则a是b的倒数，b也是a的倒数，a与b互为倒数 2. 倒数的求法 类型 方法 示例 真、假分数的倒数 将分子、分母交换位置 的倒数是 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 2的倒数是 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 0.5的倒数： 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 0.6的倒数是 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，再将分子、分母交换位置 的倒数是 【例2】倒数 【典例】下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 【变式1】的倒数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【例3】有理数乘法的实际应用 【典例】百货大楼搞促销活动，甲品牌鞋每满200元减100元，乙品牌鞋“折上折”，就是先打六折，在此基础上再打九折．如果两个品牌都有一双标价250元的鞋，买哪个品牌更便宜？ 【变式1】嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 【变式2】出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【变式3】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学七年级上册课时同步训练 第二章 有理数及其运算 2.3 有理数的乘除运算 第1课时 有理数的乘法（3大基本题型） 【课时概述】 知识点：有理数乘法法则、倒数的概念与求法 主要题型：两个有理数的乘法运算、倒数、有理数乘法的实际应用 【知识点1】【教材重现】有理数乘法法则（教材P50） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0 【★易错点】 （1）两数相乘，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘 （2）遇到含带分数的乘法运算时，要先把带分数化为假分数，再计算 【例1】两个有理数的乘法运算 【典例】计算的结果等于（   ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法， 根据“两数相乘，异号得负，并把绝对值相乘”计算即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 【变式1】实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置，判断出a，b，c的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，，， 故选：C． 【变式2】小明与小刚规定了一种新运算“”：若a、b是有理数，则．小明计算出，请你帮小刚计算 ． 【答案】12 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：12． 【变式3】下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 【知识点2】【教材重现】倒数的概念与求法（教材P50） 1. 倒数的概念：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数，即若a与b互为倒数，则 注意：（1）0没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数 （2）倒数是相互的，即，则a是b的倒数，b也是a的倒数，a与b互为倒数 2. 倒数的求法 类型 方法 示例 真、假分数的倒数 将分子、分母交换位置 的倒数是 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 2的倒数是 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 0.5的倒数： 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 0.6的倒数是 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，再将分子、分母交换位置 的倒数是 【例2】倒数 【典例】下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，倒数，数轴，熟练掌握各个知识点是解题的关键．根据有理数的分类，倒数，数轴相关概念逐一判断即可． 【详解】解：、有理数包括正有理数，和负有理数，原选项说法错误，不符合题意； 、和正数称为非负数，原选项说法错误，不符合题意； 、除外，所有的有理数都有倒数，原选项说法正确，符合题意； 、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式1】的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据绝对值、倒数的定义解答即可． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 【变式2】下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查倒数，有理数的乘法，关键是掌握倒数的定义，有理数乘法的运算法则． 由倒数的定义，有理数乘法的运算法则，即可判断． 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个． 故选：B． 【变式3】数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 【例3】有理数乘法的实际应用 【典例】百货大楼搞促销活动，甲品牌鞋每满200元减100元，乙品牌鞋“折上折”，就是先打六折，在此基础上再打九折．如果两个品牌都有一双标价250元的鞋，买哪个品牌更便宜？ 【答案】乙品牌更便宜 【分析】本题考查了有理数的乘法和减法运算的应用，分别计算出两种品牌所需要的钱数，比较即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：甲品牌：∵， ∴减100元，（元）， 乙品牌：（元）， ∵， ∴乙品牌更便宜． 【变式1】嘉嘉参加社会实践活动，按要求制作正方形木板，嘉嘉先制作了4块，木工师傅测量了边长，并记录了测量结果，如图所示（单位：），超过规定尺寸的记为正数，不足规定尺寸的记为负数，符合规定尺寸的记为“0”． (1)通过列式，求这4块正方形木板中，最大块的边长比最小块多多少． (2)将符合规定尺寸的计为10分，不符合的不予计分，并依据测量结果执行扣分（每超过扣1分，每不足扣3分）． ①嘉嘉制作的这4块正方形木板，可得多少分？ ②后来嘉嘉又制作了2块正方形木板，这6块共得了22分，直接写出后来制作的2块的测量结果． 【答案】(1) (2)①14分；②有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）由题意得到，即可得到答案； （2）①根据题意列出计算式进行计算即可； ②原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分，即可得到答案． 【详解】（1）解：． 故最大块的边长比最小块多． （2）解：① （分）； ②解：原4块正方形木板得14分，现6块正方形木板得22分，故相差8分， 有1块合格的正方形木板和1块超过规定尺寸的正方形木板． 【变式2】出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 【变式3】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 学科网（北京）股份有限公司 $$