18.4 整数指数幂-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 18.4 整数指数幂——课时 1 负整数指数幂 知识点 1 负整数指数幂 1.若(𝑥 − 3)0 − 2(2𝑥 − 4)−1有意义，则𝑥 的取值范围是 ( ) A.𝑥 ≠ 3 B.𝑥 ≠ 2 C.𝑥 ≠ 3或𝑥 ≠ 2 D.𝑥 ≠ 3且𝑥 ≠ 2 2.我们知道：21 = 2，22 = 4，⋯ ，210 = 1 024，那么2−30 接近于( ) A.10−10 B.10−9 C.10−8 D.10−7 3.若43𝑛 × 8𝑛 = ( 1 2 )−9,则𝑛 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.将 3𝑎 (2𝑎−𝑏)2 写成不含分母的形式，其结果为_____________. 5.已知𝑎 = −0.32，𝑏 = −3−2，𝑐 = (− 1 3 )−2，𝑑 = (− 1 3 )0，则𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 的大小关系为______ ________.（用“< ”号连接起来） 知识点 2 负整数指数幂的相关计算 6.计算(𝑎−2)3(𝑎𝑏2)−2 ，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为( ) A. 1 𝑎6𝑏4 B.𝑏4 𝑎6 C. 1 𝑎8𝑏4 D.𝑏4 𝑎8 7.已知√𝑥 + 𝑦 − 3 = −(𝑥 − 2𝑦)2，可求得𝑥−𝑦 的值为 ( ) A.1 2 B.− 1 2 C.2 D.−2 8.在算式(−3)☐(−4)−2 × | − 1 5 |中的“☐ ”里填入一个运算符号，使得它的结果最小,则“☐ ” 里应填入( ) A.+ B.- C.× D.÷ 108/115 8 数上 基本功 9.计算：(𝑥−1 − 𝑦−1) ÷ (𝑥−2 − 𝑦−2) − 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)−1 . 10.计算：| − 2| + ( 1 3 )−1 × (π− √2)0 − √9 + (−1)2 . 11.𝑎−𝑝 = 1 𝑎𝑝 (𝑎 ≠ 0,𝑝为正整数)，即𝑎的负𝑝次幂等于𝑎的𝑝 次幂的倒数.例：4−2 = 1 42 . （1）计算：5−2 =_ __；(−2)−2 = __. （2）如果2−𝑝 = 1 8 ，那么𝑝 =___；如果𝑎−2 = 1 16 ，那么𝑎 = ____. （3）如果𝑎−𝑝 = 1 36 ，且𝑎,𝑝均为整数，求满足条件的𝑎,𝑝 的取值. 109/115 8 数上 基本功 18.4 整数指数幂 课时 2 用科学记数法表示小于 1 的正数 知识点 1 科学记数法 1.2024 年 9 月 9 日，工业和信息化部宣布，中国首台氟化氩光刻机实现套刻≤ 8 nm 技术， 标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展.已知8 nm = 0.000 000 008 m，数 据0.000 000 008 用科学记数法可表示为( ) A.8 × 109 B.8 × 10−9 C.8 × 1010 D.8 × 10−10 2.维生素 C能够促进人体内抗体的产生，提高白细胞的吞噬能力,增强人体的免疫功能，成年 人每天应摄入维生素 C约80mg .已知1g = 1000mg，则将80 mg 用科学记数法可表示为( ) A.8 × 104 g B.8 × 10−2 g C.80 × 10−3 g D.0.8 × 10−4 g 3.已知 1纳米= 1 × 10−9米，将 1 4 纳米用科学记数法表示为𝑎 × 10𝑛米的形式，则𝑎 ，𝑛 的值分 别为( ) A.2.5，−10 B.2.5，−9 C.2.5，−8 D.4，−10 4.某种分子的直径约为 1 9 000 mm，将 1 9 000 用科学记数法表示为𝑎 × 10𝑛 的形式，下列说法 正确的是( ) A.𝑎，𝑛都是负数 B.𝑎是负数，𝑛 是正数 C.𝑎，𝑛都是正数 D.𝑎是正数，𝑛 是负数 5.据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时 2.3秒的计 算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.000 000 23秒.若把数 字0.000 000 23 用科学记数法表示为2.3 × 10𝑛的形式，则𝑛 = ____. 110/115 8 数上 基本功 知识点 2 还原用科学记数法表示的数 6.已知𝑎 = 1.2 × 10−2，𝑏 = 1.2 × 10−3，则数𝑎，𝑏 在数轴上的位置大致是( ) A， B， C， D， 7.某种计算机完成一次基本运算的时间为1.2 × 10−9 s ，将1.2 × 10−9 用小数表示时，小数 点后“0”的个数是___. 知识点 3 用科学记数法表示的数的计算 8.红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛.某红外线遥控器发出的红外线 波长约为9.4 × 10−7 m ，则下列说法正确的是( ) A.9.4 × 10−7 × 10 = 9.4 × 106 B.9.4 × 10−7 − 1.4 = 8 × 10−7 C.9.4 × 10−7是 8位小数 D.9.4 × 10−7 是 7位小数 9.已知 1米= 1 × 109 纳米，一微型电子元件的直径约 50 000纳米，用科学记数法可以表示 成_________米. 10.细菌是非常小的微生物，其中杆菌可以算较大的个体，但让 70个杆菌“头尾相连”排成一 列，刚抵上一根直径为7 × 10−5 m 的头发丝的宽度，这种杆菌每个大约有多长？ 111/115 8 数上 基本功 18.4 整数指数幂——课时 1 负整数指数幂 知识点 1 负整数指数幂 1.若(𝑥 − 3)0 − 2(2𝑥 − 4)−1有意义，则𝑥 的取值范围是 ( ) A.𝑥 ≠ 3 B.𝑥 ≠ 2 C.𝑥 ≠ 3或𝑥 ≠ 2 D.𝑥 ≠ 3且𝑥 ≠ 2 【解析】∵ (𝑥 − 3)0 − 2(2𝑥 − 4)−1有意义，∴ 𝑥 − 3 ≠ 0且2𝑥 − 4 ≠ 0，∴ 𝑥 ≠ 3 且𝑥 ≠ 2 . 故选 D. 2.我们知道：21 = 2，22 = 4，⋯ ，210 = 1 024，那么2−30 接近于( ) A.10−10 B.10−9 C.10−8 D.10−7 【解析】∵ 210 = 1 024 ≈ 1 × 103，∴ 2−30 = (210)−3 ≈ (103)−3 = 10−9 .故选 B. 3.若43𝑛 × 8𝑛 = ( 1 2 )−9,则𝑛 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】∵ 43𝑛 × 8𝑛 = ( 1 2 )−9,∴ 26𝑛 × 23𝑛 = 29,∴ 29𝑛 = 29,∴ 9𝑛 = 9,解得𝑛 = 1 . 故选 A. 4.将 3𝑎 (2𝑎−𝑏)2 写成不含分母的形式，其结果为_____________. 【解析】 3𝑎 (2𝑎−𝑏)2 = 3𝑎(2𝑎 − 𝑏)−2.故答案为3𝑎(2𝑎 − 𝑏)−2 . 5.已知𝑎 = −0.32，𝑏 = −3−2，𝑐 = (− 1 3 )−2，𝑑 = (− 1 3 )0，则𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 的大小关系为______ ________.（用“< ”号连接起来） 【解析】∵ 𝑎 = −0.09，𝑏 = − 1 9 ，𝑐 = 9，𝑑 = 1，− 1 9 < −0.09 < 1 < 9 ， ∴ 𝑏 < 𝑎 < 𝑑 < 𝑐.故答案为𝑏 < 𝑎 < 𝑑 < 𝑐 . 知识点 2 负整数指数幂的相关计算 6.计算(𝑎−2)3(𝑎𝑏2)−2 ，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为( ) A. 1 𝑎6𝑏4 B.𝑏4 𝑎6 C. 1 𝑎8𝑏4 D.𝑏4 𝑎8 【解析】(𝑎−2)3(𝑎𝑏2)−2 = 𝑎−6 ⋅ 𝑎−2𝑏−4 = 𝑎−8𝑏−4 = 1 𝑎8𝑏4 .故选 C. 7.已知√𝑥 + 𝑦 − 3 = −(𝑥 − 2𝑦)2，可求得𝑥−𝑦 的值为 ( ) 168/176 8 数上 基本功 A.1 2 B.− 1 2 C.2 D.−2 【解析】由题意可得{ 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0, 𝑥 − 2𝑦 = 0, 解得{ 𝑥 = 2, 𝑦 = 1, 则𝑥−𝑦 = 2−1 = 1 2 ，故选 A. 8.在算式(−3)☐(−4)−2 × | − 1 5 |中的“☐ ”里填入一个运算符号，使得它的结果最小,则“☐ ” 里应填入( ) A.+ B.- C.× D.÷ 【解析】若填入的符号为“+ ”， 则算式为(−3) + (−4)−2 × | − 1 5 | = (−3) + 1 16 × 1 5 = −2 79 80 ； 若填入的符号为“-”， 则算式为(−3) − (−4)−2 × | − 1 5 | = (−3) − 1 16 × 1 5 = −3 − 1 80 = −3 1 80 ； 若填入的符号为 “×”， 则算式为(−3) × (−4)−2 × | − 1 5 | = −3 × 1 16 × 1 5 = − 3 80 ； 若填入的符号为 “÷ ”， 则算式为(−3) ÷ (−4)−2 × | − 1 5 | = −3 × 16 × 1 5 = −9.6. ∵ | − 2 79 80 | = 2 79 80 ，| − 3 1 80 | = 3 1 80 , | − 3 80 | = 3 80 ,| − 9.6| = 9.6,9.6 > 3 1 80 > 2 79 80 > 3 80 ， ∴ −9.6 < −3 1 80 < −2 79 80 < − 3 80 ，∴ 若“☐”里填入的符号为“÷ ”， 则算式的结果最小，故选 D. 9.计算：(𝑥−1 − 𝑦−1) ÷ (𝑥−2 − 𝑦−2) − 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)−1 . 【解】(𝑥−1 − 𝑦−1) ÷ (𝑥−2 − 𝑦−2) − 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)−1 = ( 1 𝑥 − 1 𝑦 ) ÷ ( 1 𝑥2 − 1 𝑦2 ) − 𝑥𝑦 𝑥+𝑦 = ( 1 𝑥 − 1 𝑦 ) ÷ [( 1 𝑥 + 1 𝑦 )( 1 𝑥 − 1 𝑦 )] − 𝑥𝑦 𝑥+𝑦 = 1 ÷ ( 1 𝑥 + 1 𝑦 ) − 𝑥𝑦 𝑥+𝑦 = 1 ÷ 𝑥+𝑦 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 𝑥+𝑦 = 𝑥𝑦 𝑥+𝑦 − 𝑥𝑦 𝑥+𝑦 = 0 . 10.计算：| − 2| + ( 1 3 )−1 × (π− √2)0 − √9 + (−1)2 . 【解】原式= 2 + 3 × 1 − 3 + 1 = 2 + 3 − 3 + 1 = 3. 11.𝑎−𝑝 = 1 𝑎𝑝 (𝑎 ≠ 0,𝑝为正整数)，即𝑎的负𝑝次幂等于𝑎的𝑝 次幂的倒数.例：4−2 = 1 42 . （1）计算：5−2 =_ __；(−2)−2 = __. 【解】5−2 = 1 25 ；(−2)−2 = 1 4 .故答案为 1 25 ， 1 4 . 169/176 8 数上 基本功 （2）如果2−𝑝 = 1 8 ，那么𝑝 =___；如果𝑎−2 = 1 16 ，那么𝑎 = ____. 【解析】如果2−𝑝 = 1 8 ，即2−𝑝 = 1 23 ,那么𝑝 = 3 ； 如果𝑎−2 = 1 16 ，即𝑎−2 = 1 (±4)2 ,那么𝑎 = ±4.故答案为 3，±4 . （3）如果𝑎−𝑝 = 1 36 ，且𝑎,𝑝均为整数，求满足条件的𝑎,𝑝 的取值. 【解】𝑎 = 36时，𝑝 = 1 ；当𝑎 = 6时，𝑝 = 2；当𝑎 = −6时，𝑝 = 2 . 【解析】由于𝑎,𝑝均为整数，所以当𝑎 = 36时，𝑝 = 1 ； 当𝑎 = 6时，𝑝 = 2；当𝑎 = −6时，𝑝 = 2 . 170/176 8 数上 基本功 18.4 整数指数幂 课时 2 用科学记数法表示小于 1 的正数 知识点 1 科学记数法 1.2024 年 9 月 9 日，工业和信息化部宣布，中国首台氟化氩光刻机实现套刻≤ 8 nm 技术， 标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展.已知8 nm = 0.000 000 008 m，数 据0.000 000 008 用科学记数法可表示为( ) A.8 × 109 B.8 × 10−9 C.8 × 1010 D.8 × 10−10 【解析】0.000 000 008 = 8 × 10−9 .故选 B. 2.维生素 C能够促进人体内抗体的产生，提高白细胞的吞噬能力,增强人体的免疫功能，成年 人每天应摄入维生素 C约80mg .已知1g = 1000mg，则将80 mg 用科学记数法可表示为( ) A.8 × 104 g B.8 × 10−2 g C.80 × 10−3 g D.0.8 × 10−4 g 【解析】∵ 1 g = 1 000 mg，∴ 80 mg = 0.08 g = 8 × 10−2 g ，故选 B. 3.已知 1纳米= 1 × 10−9米，将 1 4 纳米用科学记数法表示为𝑎 × 10𝑛米的形式，则𝑎 ，𝑛 的值分 别为( ) A.2.5，−10 B.2.5，−9 C.2.5，−8 D.4，−10 【解析】 1 4 纳米= 1 4 × 10−9米= 0.25 × 10−9米= 2.5 × 10−10米.故𝑎 = 2.5 ，𝑛 = −10， 故选 A. 4.某种分子的直径约为 1 9 000 mm，将 1 9 000 用科学记数法表示为𝑎 × 10𝑛 的形式，下列说法 正确的是( ) A.𝑎，𝑛都是负数 B.𝑎是负数，𝑛 是正数 C.𝑎，𝑛都是正数 D.𝑎是正数，𝑛 是负数 【解析】 1 9 000 = 0.000 111⋯ ≈ 1.11 × 10−4.故𝑎是正数，𝑛 是负数.故选 D. 5.据报道，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时 2.3秒的计 算量，我国研制的超导量子计算原型机“祖冲之二号”用时大约为0.000 000 23秒.若把数 字0.000 000 23 用科学记数法表示为2.3 × 10𝑛的形式，则𝑛 = ____. 171/176 8 数上 基本功 【解析】0.000 000 23用科学记数法表示为2.3 × 10−7，∴ 𝑛 = −7.故答案为−7 . 知识点 2 还原用科学记数法表示的数 6.已知𝑎 = 1.2 × 10−2，𝑏 = 1.2 × 10−3，则数𝑎，𝑏 在数轴上的位置大致是( ) A， B， C， D， 【解析】∵ 𝑎 = 1.2 × 10−2 = 0.012，𝑏 = 1.2 × 10−3 = 0.0012 , ∴ 0 < 𝑏 < 0.01 < 𝑎 .故选 B. 7.某种计算机完成一次基本运算的时间为1.2 × 10−9 s ，将1.2 × 10−9 用小数表示时，小数 点后“0”的个数是___. 【解析】1.2 × 10−9 = 0.000 000 001 2，∴ 将1.2 × 10−9 用小数表示时，小数点后“0” 的个数是 8.故答案为 8. 知识点 3 用科学记数法表示的数的计算 8.红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应用广泛.某红外线遥控器发出的红外线 波长约为9.4 × 10−7 m ，则下列说法正确的是( ) A.9.4 × 10−7 × 10 = 9.4 × 106 B.9.4 × 10−7 − 1.4 = 8 × 10−7 C.9.4 × 10−7是 8位小数 D.9.4 × 10−7 是 7位小数 【解析】9.4 × 10−7 × 10 = 9.4 × 10−6 ，故 A选项错误，不符合题意； 9.4 × 10−7 − 1.4 × 10−7 = 8 × 10−7 ，故 B选项错误，不符合题意； 9.4 × 10−7 = 0.000 000 94 是 8位小数，故 C 选项正确，符合题意； D 选项错误，不符合题意.故选 C. 9.已知 1米= 1 × 109 纳米，一微型电子元件的直径约 50 000纳米，用科学记数法可以表示 成_________米. 【解析】50 000纳米= (50 000 ÷ 109)米= 5 × 10−5米，故答案为5 × 10−5 . 10.细菌是非常小的微生物，其中杆菌可以算较大的个体，但让 70个杆菌“头尾相连”排成一 列，刚抵上一根直径为7 × 10−5 m 的头发丝的宽度，这种杆菌每个大约有多长？ 【解】7 × 10−5 ÷ 70 = 0.1 × 10−5 = 1 × 10−6(m) .故这种杆菌每个大约有1 × 10−6 m 长. 172/176