15.3.1 等腰三角形-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 15.3.1 等腰三角形 课时 1 等腰三角形的性质 知识点 1 等腰三角形“ 等边对等角”性质的应用 1.若等腰三角形的一个角等于80∘ ，则它的其余两个角的度数为( ) A.80∘ ，20∘ B.50∘ ，50∘ C.80∘ ，20∘ 或50∘ ，50∘ D.30∘ ，70∘ 或10∘ ，90∘ 2.如图，已知𝑂是四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 内一点，𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶，∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐷𝐶 = 70∘ ，则∠𝐷𝐴𝑂 + ∠𝐷𝐶𝑂 的大小是( ) A.70∘ B.110∘ C.140∘ D.150∘ 3.如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐵𝐶 = 40∘ ，∠𝐵𝐴𝐶 = 80∘ ，以点𝐴为圆心，𝐴𝐶 长为半径作弧， 交射线𝐵𝐴于点𝐷，连接𝐶𝐷，则∠𝐵𝐶𝐷 的度数是( ) A.10∘ B.120∘ C.10∘ 或100∘ D.60∘ 或120∘ 55/115 8 数上 基本功 4.如图，在第一个三角形𝐴1𝐵𝐶中，∠𝐵 = 30 ∘ ，𝐴1𝐵 = 𝐶𝐵，在边𝐴1𝐵 上任取一点𝐷，延长𝐶𝐴1到 𝐴2，使𝐴1𝐴2 = 𝐴1𝐷，得到第二个三角形𝐴1𝐴2𝐷，在边𝐴2𝐷 上任取一点𝐸，延长𝐴1𝐴2到𝐴3，使 𝐴2𝐴3 = 𝐴2𝐸，得到第三个三角形𝐴2𝐴3𝐸，⋯ ，按此作法继续下去，第𝑛个等腰三角形的底角 的度数是_______∘ .（𝑛 为正整数） 知识点 2 等腰三角形“三线合一”性质的应用 5.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐴𝐷 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐷，𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵 于点𝐸，𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶于点𝐹，下列结 论：①∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐶𝐴𝐷；②𝐴𝐷 上任意一点到𝐴𝐵，𝐴𝐶的距离相等； ③𝐵𝐷 = 𝐶𝐷；④若点𝑃在 直线𝐴𝐷 上，则𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 .其中正确的是( ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 6.如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦 中，△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐵𝐶//𝑥轴，若点𝐴(2,5) ， 𝐵(−1,1)，则点𝐶 的坐标为( ) A.(2,3) B.(3,1) C.(5,1) D.(1,5) 56/115 8 数上 基本功 7.如图，𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐷 = 90∘ ，𝐵𝐶 = 6 ，则△𝐵𝐶𝐷 的面积为___. 8.如图，△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，∠𝐴 = 20∘ ，𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶 ，点𝐷是射线𝐵𝑃上一点， 如果点𝐷满足△𝐵𝐶𝐷是等腰三角形，那么∠𝐵𝐷𝐶 的度数是_________________. 57/115 8 数上 基本功 15.3.1 等腰三角形 课时 2 等腰三角形的判定 知识点 1 等腰三角形的判定 1.如图所示，𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶 的角平分线，过点𝐷作𝐷𝐸//𝐴𝐵，交𝐵𝐶于点𝐸，若𝐶𝐸 = 4，𝐷𝐸 = 3， 则边𝐵𝐶 的长为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∠𝐵 = 40∘ ，若某个三角形能与△𝐴𝐵𝐶 拼成一个等腰三 角形（无重叠），则这样的三角形共有( ) A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，∠𝐴 = 36∘ ，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶 于𝐸，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐵𝐸于𝐷 ，图中有___个等腰三角形. 58/115 8 数上 基本功 4.已知∠𝐴𝑂𝐵 ，作∠𝐴𝑂𝐵的平分线𝑂𝐶，将直角尺𝐷𝐸𝑀𝑁 如图所示摆放，使𝐸𝑀与𝑂𝐵重合，顶 点𝐷落在𝑂𝐴上，𝐷𝑁 与𝑂𝐶交于点𝑃 . （1）猜想△𝐷𝑂𝑃 是_________三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明. 知识点 2 尺规作图——作等腰三角形 5.由下列尺规作图可得△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形，且𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 的是( ) ① ② ③ ④ A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 6. 在平面直角坐标系中，已知𝐴(4,1) ，在坐标轴上确定一点𝑃使得△𝐴𝑂𝑃为等腰三角形，则满 足条件的点𝑃 有( ) A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.7 个 59/115 8 数上 基本功 7.如图，在宽和长分别为3 cm和4 cm的长方形𝐴𝐵𝐶𝐷 中作等腰三角形，其中等腰三角形的两个 顶点是长方形的顶点，第三个顶点落在长方形的边上，请画出 3 种满足上述条件的等腰三角形 （全等的等腰三角形视为一种），并分别求出所画三角形的面积. 备用图（1） 备用图（2） 60/115 8数上基本功 15.3.1等腰三角形 课时1等腰三角形的性质 知识点1等腰三角形等边对等角”性质的应用 1若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为( A.80°，20 B.50°，50° C.80°，20°或50°，50 D.30°，70°或10°，90 解析：①当80°的角是顶角时，两个底角的度数为50°，50°；②当80°的角是底角时，顶角 的度数为20°故它的其余两个角的度数为50°，50°或80°，20°故选C. 2如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°，则∠DA0+ ∠DC0的大小是() 】 A.70 B.110° C.140° D.150° 解析：'0OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°， ·∠AB0=∠BAO,∠OBC=∠OCB, ·∠A0B+∠B0C=360°-2（∠AB0+∠0BC)=220°， ÷∠A0C=360°-220°=140°.：0AD+∠ADC+∠0CD+∠A0C=360° ÷∠DA0+∠DC0=150°故选D. 84/176 8数上基本功 3.如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧， 交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是() B A.10° B.120° C.10°或100 D.60°或120° KD' A 解析：如图B 在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，.∠ACB=180°-40°-80°=60°. ①由作图可知AC=AD,·∠ACD=∠ADC=2×(180°-80)=50°， ·∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50°=10°；②由作图可知AC=AD', ·∠ACD'=∠AD'C.'∠ACD'+∠AD'C=∠BAC=80°，÷∠AD'C=40°， .∠BCD'=180°-∠ABC-∠AD'C=180°-40°-40°=100°. 综上所述，∠BCD的度数是10°或100°故选C. 4.如图，在第一个三角形A1BC中，∠B=30°，A1B=CB,在边A1B上任取一点D,延长CA1到 A2,使A1A2=A1D,得到第二个三角形A1A2D,在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使 A2A3=A2E,得到第三个三角形A2A3E,·，按此作法继续下去，第n个等腰三角形的底角 的度数是 。.(n为正整数) B D E +A A 85/176 8数上基本功 解析：：在△CBA1中，∠B=30°，CB=A1B,∠BA1C=180-B=75° 2 A1A2=A1D,∠BA1C是△A1A2D的外角 ·∠DA2A1=∠BA1C=×75°=37.5同理可得，∠EA3A2=(，∠FA4A3=(得， ·第n个等腰三角形的底角的度数是（汽） 知识点2等腰三角形“三线合一”性质的应用 5如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结 论：①LBAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等；③BD=CD;④若点P在 直线AD上，则PB=PC其中正确的是( A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ E D 解析：：AB=AC,AD⊥BC于点D,÷AD平分∠BAC,即∠BAD=∠CAD,BD=CD,①③正 确；AD平分∠BAC,÷AD上任意一点到AB,AC的距离相等，②正确；：AD⊥BC,BD=CD, AD为BC的垂直平分线：点P在直线AD上，PB=PC,④正确故选D. 6如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰三角形，AB=AC,BC//x轴，若点A(2,5), B(-1,1),则点C的坐标为( A.(2,3) B.(3,1) C.(5,1) D.(1,5) B 0 86/176 8数上基本功 B 解析：过点A作AD⊥BC于D,如图 AB=AC,AD⊥BC,BD=CD.点A(2,5),B(-1,1),BC/x轴， ·点D(2,1)设点C(m,1),则CD=m-2.'BD=2-(-1)=3,m-2=3,m=5, 点C的坐标为(5,1)，故选C. 7如图，AC=AB=BD,∠ABD=90°，BC=6,则△BCD的面积为· B 解析： D E B 如图，作AE⊥BC于E,作DF⊥CB交CB的延长线于F.:AB=AC,BC=6, CE=BE=BC=3.:LABD=90°，DF1CB, ·∠ABC+∠DBF=∠BDF+∠DBF,÷∠ABC=∠BDF.'AE⊥BC, ·∠AEB=∠BFD=90°， LABC=∠BDF, 在△ABE和△BDF中， ∠AEB=∠BFD,△ABE≌△BDF(AAS),·DF=BE=3, AB BD, SABCD=BC,DF=×6×3=9故答案为9. 87/176 8数上基本功 8如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠A=20°，BP平分∠ABC,点D是射线BP上一点， 如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么LBDC的度数是 A 解析：①当BC=CD时如图(1)所示B ∠A=20°，AB=AC, ÷∠ABC=80°.'BP平分LABC,∠CBD=40°.'BC=CD,·∠CBD=∠BDC=40°. A 0 D ②当BD=-BC时，如图(2)所示B C 由①可知∠CBD=40°.￥BD=BC,∠BDC=70°. 88/176 8数上基本功 A D ③当DB=DC时，如图(3)所示B 由①可知∠CBD=40°.：BD=CD,÷∠BDC=100°. 故答案为40°或70°或100°. 89/176 8数上基本功 153.1等腰三角形 课时2等腰三角形的判定 知识点1等腰三角形的判定 1.如图所示，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE/AB,交BC于点E,若CE=4,DE=3, 则边BC的长为( A.6 B.7 C.8 D.9 D B E 解析：：BD是△ABC的角平分线， ∠ABD=∠EBD.'DE/IAB,÷∠ABD=∠EDB, ÷∠EBD=∠EDB,DE=BE.'CE=4,DE=3, ·BC=BE+CE=DE+CE=3+4=7故选B. 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，若某个三角形能与△ABC拼成一个等腰三 角形（无重叠），则这样的三角形共有( B A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 解析：如图所示，这样的三角形共有7个，故选C. 90/176 8数上基本功 B B B 409 409 40 40 659 ■ 150 80则 B B B 40 40° 40 409 70° 40° 3如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分LABC交AC于E,CD平分LACB交BE于D ,图中有个等腰三角形 A E D 解析：AB=AC,∠A=36°，·△ABC是等腰三角形， ·∠ACB=∠ABC=72°.：BD平分LABC交AC于E, ·∠ABE=∠EBC=36°，·∠A=∠ABE=36°，·△ABE是等腰三角形 :∠BEC=∠A+∠ABE=72°=∠ACB,·△BEC是等腰三角形.'CD平分LACB, ·∠DCB=36°.∠DBC=∠DCB=36°，÷△BCD是等腰三角形 :∠EDC=∠DBC+∠DCB=72°=∠DEC,△CDE是等腰三角形，·共有5个等腰三角形 4.已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM与OB重合，顶 点D落在OA上，DN与OC交于点P. 91/176 8数上基本功 C D P H 0 2 3 4 E B M (1)猜想△DOP是 三角形： 解：猜想△DOP是等腰三角形，故答案为等腰 (2)请将猜想到的结论进行证明， 【证明】OC平分∠AOB,÷∠DOP=∠BOP.￥DN/EM,∠DP0=∠BOP, ÷∠DOP=∠DPO,÷OD=PD,÷△DOP是等腰三角形 知识点2尺规作图—作等腰三角形 5.由下列尺规作图可得△ABC为等腰三角形，且AB=BC的是( ②B 4 A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 解析：①根据作图得∠A=∠C,故AB=BC,符合题意； ②根据作图得AB=AC,不符合题意；③如图.根据作图得AC平分∠BAD,BC/AD, ·∠BAC=∠CAD,∠BCA=∠CAD,·∠BAC=∠BCA,·BA=BC,符合题意； ④根据作图得CA=CB,不符合题意，故符合题意的有①③，故选C. 92/176 8数上基本功 6.在平面直角坐标系中，已知A(4,1),在坐标轴上确定一点P使得△A0P为等腰三角形，则满 足条件的点P有( A.4个 B.6个 C.8个 D.7个 解析：如图，①以4为圆心，0A长为半径作圆，交坐标轴于P,P2两点(0除外)： ②以0为圆心，OA长为半径作圆，交坐标轴于P3,P4,P,P6四点； ③作线段A0的垂直平分线，交坐标轴于P,P两点， ·满足条件的点P有2+4+2=8（个），故选C. 8 6 D 2345678 两圆一中垂构造等腰三角形如图，已知线段AB,在平面内找一点C,使得△ABC为等腰三角形 ①当AB=AC时，点C在以点A为圆心，AB长为半径的圆上（不与点B,M重合）； ②当AB=BC时，点C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上（不与点A,N重合）： ③当AC=BC时，点C在线段AB的垂直平分线上（不在线段AB上）· 93/176