14.3 角的平分线-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 14.3 角的平分线——课时 1 角平分线的性质 知识点 1 角平分线的作法 1.如图，以点𝑂 为圆心，适当长为半径作弧，交𝑂𝑀于点𝐴，交𝑂𝑁于点𝐵，分别以点𝐴，𝐵为圆 心，大于 1 2 𝐴𝐵 的长为半径作弧，两弧在∠𝑀𝑂𝑁的内部相交于点𝐶，作射线𝑂𝐶 . （1）根据以上尺规作图的过程可得到结论：射线𝑂𝐶为∠𝑀𝑂𝑁 的_____________ . （2）连接𝐴𝐶，𝐵𝐶 ，运用三角形全等的相关判定方法证明（1）中的结论. 2.分别画出已知钝角和平角的平分线. 知识点 2 角平分线的性质 3.点𝑃在∠𝐴𝑂𝐵的平分线上，点𝑃到𝑂𝐴边的距离等于 6，点𝑄 是𝑂𝐵 边上的任意一点，则下列选 项正确的是( ) A.𝑃𝑄 > 6 B.𝑃𝑄 ≥ 6 C.𝑃𝑄 < 6 D.𝑃𝑄 ≤ 6 4.如图，已知△𝐴𝐵𝐶的周长是 34，𝐵𝑂，𝐶𝑂分别平分∠𝐴𝐵𝐶 和∠𝐴𝐶𝐵，𝑂𝐷 ⊥ 𝐵𝐶于𝐷，且𝑂𝐷 = 4， 则△𝐴𝐵𝐶 的面积是( ) A.17 B.34 C.38 D.68 36/115 8 数上 基本功 5.如图，在平面直角坐标系中，以𝑂 为圆心，适当长为半径作弧，交𝑥轴负半轴于点𝑀，交𝑦 轴 正半轴于点𝑁，分别以点𝑀，𝑁为圆心，大于 1 2 𝑀𝑁 的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点𝑃. 若点𝑃的坐标为(𝑎, 𝑏)，则𝑎与𝑏 的数量关系为 ( ) A.𝑎 = 𝑏 B.𝑎 − 𝑏 = 1 C.𝑎 + 𝑏 = −1 D.𝑎 + 𝑏 = 0 6.如图，点𝑃是∠𝐴𝑂𝐵的平分线𝑂𝐶上一点，𝑃𝑁 ⊥ 𝑂𝐵于点𝑁，点𝑀是线段𝑂𝑁 上一点. 已知𝑂𝑀 = 3，𝑂𝑁 = 5，点𝐷为𝑂𝐴上一点，若满足𝑃𝐷 = 𝑃𝑀，则𝑂𝐷 的长度为_____________. 7.如图，已知∠𝐴𝑂𝐵 = 𝛼 ，点𝐶在∠𝐴𝑂𝐵 的平分线𝑂𝑃上，∠𝐷𝐶𝐸 = 180° − 𝛼 ，且∠𝐷𝐶𝐸的两边 分别与𝑂𝐴，𝑂𝐵交于点𝐷 和点𝐸，求证：𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 . 37/115 8 数上 基本功 14.3 角的平分线——课时 2 角平分线的判定 知识点 角平分线的判定 1.两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵,𝐴𝐶重合，它 们的顶点重合于点𝑀 ，则点𝑀 一定在( ) A.∠𝐴的平分线上 B.𝐴𝐶 边上的高上 C.𝐵𝐶边上的高上 D.𝐴𝐵 边上的中线上 2.如图，点𝑂在△𝐴𝐵𝐶 内，且到三边的距离相等，连接𝑂𝐵，𝑂𝐶，若∠𝐵𝑂𝐶 = 110° ，则∠𝐴 的 大小是( ) A.35° B.40° C.45° D.70° 3.如图，平面内三条直线𝑎,𝑏,𝑐两两相交，在平面内找出一点𝑃 ，使得点𝑃到三条直线的距离相 等，那么符合条件的点𝑃 有__________处. 38/115 8 数上 基本功 4.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线𝑂𝐵重合，且另一边与射线𝑂𝐴交 于点𝐶 ，另一把直尺的一个直角顶点在射线𝑂𝐴 上，且与第一把直尺交于点𝑃，作射线𝑂𝑃，已 知∠𝑃𝑂𝐵 = 40° ，则∠𝐴𝐶𝑃 的度数是___________． 5.如图，在△𝐴𝐶𝐵和△𝐷𝐶𝐸 中，𝐶𝐴 = 𝐶𝐵，𝐶𝐷 = 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐷𝐶𝐸 = 40° ，𝐴𝐷，𝐵𝐸 交于 点𝐻，连接𝐶𝐻 . （1）求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸 ； （2）求证：𝐻𝐶平分∠𝐴𝐻𝐸 . 39/115 8 数上 基本功 6.如图，已知等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90° ，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，点𝐷是腰𝐴𝐶上的一点（不与𝐴，𝐶重 合），连接𝐵𝐷，过点𝐴作𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐷 ，交𝐵𝐷的延长线于点𝐸 . 图（1） 图（2） （1）如图（1），若𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝐶的平分线，求证：𝐵𝐷 = 2𝐴𝐸 . （2）如图（2），连接𝐶𝐸，当点𝐷在线段𝐴𝐶上运动时（不与𝐴，𝐶重合），∠𝐵𝐸𝐶 的大小是否发 生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值. 40/115 8数上基本功 14.3角的平分线 课时1角平分线的性质 知识点1角平分线的作法 1如图，以点0为圆心，适当长为半径作弧，交OM于点A,交ON于点B,分别以点A,B为圆 心，大于AB的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部相交于点C,作射线0C· (1)根据以上尺规作图的过程可得到结论：射线0C为∠MON的一· 【解】由作过程可知，射线0C为∠MON的平分线故答案为平分线， (2)连接AC,BC,运用三角形全等的相关判定方法证明(1)中的结论. OA=0B, 【证明】由作图过程可得，OA=OB,AC=BC.在△AOC和△BOC中 0C=0C, AC=BC, ·△AOC兰△BOC(SSS,·∠AOC=∠BOC,÷射线0C为∠MON的平分线 2.分别画出已知钝角和平角的平分线 B B 【解】如图所示，射线0C即为角平分线 B 知识点2角平分线的性质 3.点P在LAOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是0B边上的任意一点，则下列选 项正确的是( 56/176 8数上基本功 A.PQ>6 B.PQ≥6 C.PQ<6 D.PQ≤6 M P 【解析】如图， OP平分∠AOB,PM=6,PM1OA,过点P作PN⊥OB于N,则PM=PN=6. :点Q是0B边上的任意一点，∴PQ≥6故选B. 4.如图，已知△ABC的周长是34，B0,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD1BC于D,且OD=4, 则△ABC的面积是() 0 B D A.17 B.34 C.38 D.68 【解析】如图，过点0作OE1AB于E,OF1AC于F,连接0A E B C B0,C0分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC,:OE=OD,OD=OF,即0E=OF=OD=4, :△ABC的面积为S△AOB+S△MOC+S△OBC -xABXOE+XACXOF+XBCxOD 1 =×4×(AB+AC+BC)=×4×34=68故选D. 57/176 8数上基本功 归纳总结 已知三角形的角平分线的交点到一边的距离及三角形的周长求面积时，一般利用角平分线的性 质得三角形的角平分线的交点到三角形三边的距离相等，利用三角形的面积公式列式求解本 题中，0为三角形三条内角平分线的交点，一般结论为SAABC=(AB+BC+CA)·OD· 5如图，在平面直角坐标系中，以0为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点M,交y轴 正半轴于点W,分别以点M,N为圆心，大于号MN的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点P, 若点P的坐标为(a,b),则a与b的数量关系为() A.a=b B.a-b=1 C.a+b=-1 D.a+b=0 【解析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，…点P到轴、y轴的距离相等， a=-b,a+b=0,故选D 6.如图，点P是LAOB的平分线0C上一点，PN⊥OB于点N,点M是线段0N上一点 已知OM=3,ON=5,点D为OA上一点，若满足PD=PM,则OD的长度为 P 0 M N B 答案：3或7 58/176 8数上基本功 A 【解析】如图，过点P作PE10A于点E.O MN B :OC平分LAOB,PE⊥OA,PN1OB,PE=PN.OP=OP,Rt△OPE≌Rt△OPN(HL), OE=ON=5.OM=3,ON=5,MN=2若点D在线段0E上，PM=PD,PE=PN, Rt△PMN≌Rt△PDE(HL),.DE=MN=2,·OD=OE-DE=3.若点D在射线EA上， 同理可得D'E=MN=2,·OD'=OE+D'E=7故答案为3或7. 7如图，已知∠AOB=a,点C在∠AOB的平分线0P上，∠DCE=180°-a,且∠DCE的两边 分别与OA,OB交于点D和点E,求证：CD=CE. B D B G 【证明】如图， 过点C作CF1OA于点F,CG⊥OB于点G,则∠OFC=∠OGC=90 '∠0FC+∠0GC+∠FOG+∠FCG=360°，∴∠F0G+∠FCG=180°. ?∠DCE=180°-a,∠A0B=&,÷∠DCE+∠A0B=180°，÷.∠FCG=∠DCE, 即∠FCE+∠ECG=LFCE+∠DCF,∠ECG=∠DCF 又OP为∠AOB的平分线，CF1OA,CG1OB,CF=CG, ·△CEG≌△CDF(ASA),÷CD=CE, 59/176 8数上基本功 14.3角的平分线 课时2角平分线的判定 知识点角平分线的判定 1两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB,AC重合，它 们的顶点重合于点M,则点M一定在( A.∠A的平分线上 B.AC边上的高上 C.BC边上的高上 D.AB边上的中线上 【解析】如图，ME1AB,MF1AC,ME=MF,·点M在∠A的平分线上，故选A 2.如图，点0在△ABC内，且到三边的距离相等，连接0B,0C,若LB0C=110°，则∠A的 大小是( A.35 B.40° C.45° D.70° 【解折】：∠B0C=110°，÷∠0BC+∠0CB=180°-110°=70 :点O在△ABC内，且到三边的距离相等，OB平分LABC,OC平分LACB, ·∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB, ·LABC+LACB=2(L0BC+∠0CB)=140°， ∠A=180°-（∠ABC+∠ACB)=180°-140°=40°故选B. 60/176 8数上基本功 3.如图，平面内三条直线a,b,c两两相交，在平面内找出一点P,使得点P到三条直线的距离相 等，那么符合条件的点P有处 【解析】：点P到三条直线的距离相等，·点P是三条直线，b,c所形成的角的平分线的交点， 如图所示，图中点P,点P',点P",点P"即为所求，故答案为4， D 4如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺的一边与射线0B重合，且另一边与射线0A交 于点C,另一把直尺的一个直角顶点在射线0A上，且与第一把直尺交于点P,作射线0P,已 知∠P0B=40°，则∠ACP的度数是 P 答案：80 【解析】由题意，得0P平分LAOB,÷∠AOB=2LP0B=2×40°=80°， 由长方形直尺可知CP/OB,:∠ACP=∠AOB=80°故答案为80°. 61/176 8数上基本功 5.如图，在△ACB和△DCE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=40°，AD,BE交于 点H,连接CH, (1)求证：△ACD≌△BCE; B 【证明】∠ACB=∠DCE,÷∠ACD=∠BCE. CA=BC, 在△ACD和△BCE中 LACD=LBCE,∴△ACD≌△BCE(SAS)· CD=CE, (2)求证：HC平分LAHE 【解】如图过点C作CM L AD于M,CN⊥BE于N.:△ACD≌△BCE, ∠AMC=∠BNC=90°， ·∠CAM=∠CBN.在△ACM和△BCN中 ∠CAM=LCBN, AC=BC, ·△ACM≌△BCN(AAS),÷CM=CN又CM1AD,CN⊥BE,HC平分LAHE. B 6如图，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是腰AC上的一点（不与A,C重 合)，连接BD,过点A作AE 1 BD,交BD的延长线于点E, B 图(1) 图(2) 62/176 8数上基本功 (1)如图(1)，若BD是∠ABC的平分线，求证：BD=2AE 【证明】如图(1)，延长BC,AE,相交于点F.:AE1BE,÷∠AEB=90. :∠ACB=90°=∠AEB,∠BDC=∠ADE,÷∠CBD=∠CAE 又：BC=AC,∠BCD=∠ACF=90°，÷△BCD≌△ACF(ASA),BD=AF :BD是∠ABC的平分线，÷∠ABE=LFBE.AE⊥BD,÷LAEB=∠FEB=90° 又：BE=BE,÷△ABE≌△FBE(ASA),÷AE=FE,÷AF=2AE,BD=2AE. 图(1) 图(2) (2)如图(2)，连接CE,当点D在线段AC上运动时（不与A,C重合），∠BEC的大小是否发 生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值 【解】∠BEC的大小不变如图(2)，过点C作CM1BD于点M,CN1AE, 交AE的延长线于点N,则∠BMC=∠ANC=90°.：AE1BD,∠BEN=90° 由(1)知∠CBD=∠CAE.又：AC=BC,÷△BCM≌△ACN(AAS), CM=CN,EC是∠BEN的平分线，∠BEC=∠BEN=×90°=45°， 即∠BEC的大小不变，为定值45° 63/176