14.2 三角形全等的判定-【基本功】2025-2026学年新教材八年级数学上册同步练习（人教版2024）

8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 ——课时 1 两边及夹角证全等(SAS) 知识点 1 用“𝐒𝐀𝐒 ”判定两个三角形全等 1.下列全等的两个三角形是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏.游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供 的三个条件画出形状和大小都确定的三角形.已知乙同学说出的前两个条件是“𝐴𝐵 = 4，𝐵𝐶 = 2 ”.为了让甲同学画出形状和大小都确定的△𝐴𝐵𝐶，乙同学从下列三个条件：①∠𝐴 = 45∘ ； ②∠𝐵 = 45∘ ；③∠𝐶 = 45∘ 中,可以选择的条件的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3.如图，在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹 中，∠𝐵 = ∠𝐶，𝐴𝐵 = 𝐷𝐶，若要利用SAS证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹 ，还需 要添加一个条件：_______________________.（只填一个即可） 23/115 8 数上 基本功 4.如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶 的顶点都在网格线的交点上，请利用无刻度的直尺画出 △𝐴𝐵1𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵1𝐶 全等. 知识点 2 “𝐒𝐀𝐒 ”判定定理的应用 5.如图，点𝐸在𝐴𝐵上，点𝐹在𝐴𝐶上，且𝐴𝐸 = 𝐴𝐹，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ，𝐵𝐹 = 5，𝐷𝐸 = 1，则𝐷𝐶 的长 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，在3 × 3 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，则∠1和∠2 的关系为( ) A.∠1 = ∠2 B.∠2 = 2∠1 C.∠1 + 90∘ = ∠2 D.∠1 + ∠2 = 180∘ 24/115 8 数上 基本功 7.如图，在平面直角坐标系中，𝐴(3,0) ,𝐵(0,4)，连接𝐴𝐵，在平面直角坐标系中找一点𝐶（点𝐶 不在坐标轴上），使△𝐴𝑂𝐶与△𝐴𝑂𝐵全等，则𝐶 点的坐标为________________. 8.如图，△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，𝐴,𝐶 ,𝐷三点在同一直线上，连接𝐵𝐷,𝐴𝐸，延长𝐴𝐸 交𝐵𝐷于𝐹 . （1）求证：𝐴𝐸 = 𝐵𝐷 . （2）试判断直线𝐴𝐸与𝐵𝐷 的位置关系，并说明理由. 25/115 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 ——课时 2 两角及一边证全等(ASA,AAS) 知识点 1 用“𝐀𝐒𝐀”“𝐀𝐀𝐒 ”判定三角形全等 1.如图，已知△𝐴𝐵𝐶 的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△𝐴𝐵𝐶 全等的 图形是( ) A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 2. 如图,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，下列条件:①∠𝐵 = ∠𝐶 ；②∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝐷𝐶；③𝐴𝐸 = 𝐴𝐷；④𝐵𝐸 = 𝐶𝐷 中， 若只添加一个条件就可以证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷 ，则所有符合的条件序号是________. 3. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，动点𝐷,𝐸,𝐹 分别在𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴𝐶上移动，移动过程中始终保持𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 ，∠𝐷𝐸𝐹 = ∠𝐵，请你判断是否存在始终与△𝐵𝐷𝐸 全等的三角形，并说明理由. 26/115 8 数上 基本功 知识点 2 “𝐀𝐒𝐀”和“𝐀𝐀𝐒 ”判定定理的应用 4. 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与 之大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是( ) A.（1）和（3） B.（3）和（4） C.（1）和（4） D.（1）和（2） 5. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了△𝐴𝐵𝐶 和△𝐷𝐸𝐹，其尺寸如图，如果把△𝐴𝐵𝐶的面积 记作𝑝，△𝐷𝐸𝐹的面积记作𝑞，那么𝑝 与𝑞 的大小关系为( ) A.𝑝 > 𝑞 B.𝑝 = 𝑞 C.𝑝 < 𝑞 D.不能确定 6. 如图，为了测量池塘两侧𝐴，𝐵之间的距离，选取点𝐶 （与𝐵在池塘同侧），经测量∠𝐵𝐴𝐶 = 70∘ ， 然后在𝐵𝐶的一侧找到一点𝐷，使得𝐵𝐶 为∠𝐴𝐵𝐷的平分线，且∠𝐵𝐷𝐶 = 70∘ .若𝐵𝐷的长为 8 米， 求池塘两侧𝐴，𝐵 之间的距离. 27/115 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 ——课时 3 三边证全等(SSS) 知识点 1 用“𝐒𝐒𝐒 ”判定三角形全等 1.一个三角形的三边长为 5，𝑥 ，14，另一个三角形的三边长为 5，10，𝑦，如果由“SSS”可以 判定这两个三角形全等，那么𝑥 + 𝑦 的值为( ) A.15 B.19 C.24 D.25 2.如图，在方格纸中，以𝐴𝐵 为一边作△𝐴𝐵𝑃，使之与△𝐴𝐵𝐶全等，在方格的格点中找出符合条 件的𝑃 点（不与点𝐴，𝐵，𝐶 重合）的位置共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.肖老师为班级中每名同学准备了长分别为𝑎,𝑏,𝑐 的三根木条，所有同学都用这三根木条首尾 顺次拼接成三角形.这时小陈同学说：“我们所有人拼成的三角形的形状和大小是完全一样的.” 小陈同学的说法依据是________. 4.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐷，𝐸是边𝐵𝐶 的三等分点，且𝐴𝐷 = 𝐴𝐸. 求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸 . 28/115 8 数上 基本功 知识点 2 已知三边作三角形 5.如图，已知∠𝐴𝐵𝐶，以点𝐵 为圆心，适当长为半径作弧，分别交𝐴𝐵,𝐵𝐶于𝑃，𝐷；作一条射线 𝐹𝐸，以点𝐹为圆心，𝐵𝐷长为半径作弧𝑙，交𝐸𝐹 于点𝐻；以点𝐻为圆心，𝑃𝐷长为半径作弧，交 弧𝑙于点𝑄；过点𝑄作射线𝐹𝐺 .这样可得∠𝐺𝐹𝐸 = ∠𝐴𝐵𝐶，根据上述操作可判定△𝑃𝐵𝐷≌△𝑄𝐹𝐻 , 其依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 6.用无刻度的直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 . 求作：△𝑃𝐸𝐹，使𝑃𝐸 = 𝐴𝐵，𝐸𝐹 = 𝐵𝐶 . 知识点 3 “𝐒𝐒𝐒 ”判定定理的应用 7.如图，𝑀为比赛出发点，𝑃,𝑄 两点为标志物，且到𝑀点的距离相等，选手小明从𝑀点出发， 计划沿∠𝑃𝑀𝑄 的平分线骑摩托车行驶，若小明沿射线𝑀𝑁行驶，在𝑁点处经红外线设备测得他 到标志物𝑃,𝑄 两点的距离相等，判断小明的行驶路线是否偏离预定路线，并说明理由. 29/115 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定——课时 4 尺规作图 知识点 1 作一个角等于已知角 1. 如图，用尺规作∠𝐻𝐹𝐺 = ∠𝐴𝐵𝐶，作图痕迹中弧𝑀𝑁 是( ) A.以点𝐹为圆心，𝐵𝐸长为半径的弧 B.以点𝐹为圆心，𝐷𝐸 长为半径的弧 C.以点𝐺为圆心，𝐵𝐸长为半径的弧 D.以点𝐺为圆心，𝐷𝐸 长为半径的弧 2. 如图，作∠𝐺𝐴𝐵等于已知角∠𝑀𝑂𝑁 （尺规作图）的正确顺 序是____________.（填序号） ① ② ③ ④ ⑤ 30/115 8 数上 基本功 知识点 2 过直线外一点作平行线 3. 下面四幅图是小明用直尺和圆规过点𝐶作𝐴𝐵 的平行线所留下的作图痕迹， 其中正确的是( ) A B C D A.A B.B C.C D.D 4. 如图，已知直线𝐴𝐵及直线外一点𝑃 . （1）请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺，过点𝑃作直线𝐶𝐷 ，使得𝐶𝐷//𝐴𝐵 .（保留作图 痕迹，不写作法） （2）在（1）中，𝐶𝐷//𝐴𝐵 的依据是___________________________. 31/115 8 数上 基本功 知识点 3 作三角形 5. 下列关于尺规作图的结论中错误的是( ) A.已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B.已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C.已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D.已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 6.如图，已知线段𝑎和∠𝛼 .求作△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎 ,∠𝐴 = ∠𝛼 .（尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法） 7.一个三角形残片如图所示，请你利用直尺和圆规作一个和原三角形全等的三角形，并说明作 图依据.（保留作图痕迹，不写作法） 32/115 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 课时 5 斜边及一直角边证全等(HL) 知识点 1 用“𝐇𝐋 ”判定直角三角形全等 1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 2.如图，𝐴𝐵 ⊥ 𝐸𝐹于点𝐵，𝐶𝐷 ⊥ 𝐸𝐹于点𝐷，𝐵𝐸 = 𝐷𝐹 .若要直接用“HL”判定Rt △ 𝐴𝐵𝐹≌Rt△𝐶𝐷𝐸 ， 则需要添加的条件为_________. 3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶 上一点，𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，垂足分别为𝐸,𝐹，且 𝐷𝐸 = 𝐷𝐹 .请选择一对你认为全等的三角形并加以证明. 33/115 8 数上 基本功 知识点 2 “𝐇𝐋 ”判定定理的应用 4.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度𝐴𝐶 与右边滑梯水平方向的长度𝐷𝐹相等，两 个滑梯的倾斜角∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐷𝐹𝐸 之间的关系是( ) A.∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐹𝐸 B.∠𝐴𝐵𝐶 > ∠𝐷𝐹𝐸 C.∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐷𝐹𝐸 = 100∘ D.∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐷𝐹𝐸 = 90∘ 5.如图，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐶，𝐴𝐶 = 6 ，𝐵𝐶 = 3，连接𝐴𝐵，射线𝐴𝑋 ⊥ 𝐴𝐶于点𝐴，点𝑃在线段𝐴𝐶 上 移动，点𝑄在射线𝐴𝑋上随着点𝑃移动，且始终保持𝑃𝑄 = 𝐴𝐵，当𝐴𝑃 = ______时，才能使△𝑃𝑄𝐴 与△𝐴𝐵𝐶 全等. 6. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ .点𝐷在△𝐴𝐵𝐶 外，连接𝐴𝐷，作𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐸，延长𝐷𝐸交 𝐵𝐶于点𝐹，𝐴𝐷 = 𝐴𝐵，𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 . （1）求证：𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 ； （2）若𝐵𝐹 = 2,𝐶𝐹 = 1，求𝐷𝐹 的长. 34/115 8 数上 基本功 7.如图，∠𝐴 = ∠𝐷 = 90∘ ，𝐴𝐵 = 𝐷𝐶，点𝐸，𝐹在直线𝐵𝐶上，且𝐵𝐸 = 𝐶𝐹 . （1）求证：∠𝐸 = ∠𝐹 ； （2）若𝑃𝑂平分∠𝐸𝑃𝐹，则𝑃𝑂与𝐵𝐶 有什么位置关系？并说明理由. 35/115 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 ——课时 1 两边及夹角证全等(SAS) 知识点 1 用“𝐒𝐀𝐒 ”判定两个三角形全等 1.下列全等的两个三角形是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案：A 解析：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐹𝐺𝐸 中, { 𝐴𝐵 = 𝐹𝐺, ∠𝐴 = ∠𝐹, 𝐴𝐶 = 𝐹𝐸, ∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐹𝐺𝐸(SAS)，∴ 全等的两个三角形是①②. 2.在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏.游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供 的三个条件画出形状和大小都确定的三角形.已知乙同学说出的前两个条件是“𝐴𝐵 = 4，𝐵𝐶 = 2 ”.为了让甲同学画出形状和大小都确定的△𝐴𝐵𝐶，乙同学从下列三个条件：①∠𝐴 = 45∘ ； ②∠𝐵 = 45∘ ；③∠𝐶 = 45∘ 中,可以选择的条件的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案：C 解析：由“SAS”可知选择∠𝐵 = 45∘ 能画出形状和大小都确定的△𝐴𝐵𝐶. ∵ ∠𝐶 = 45∘ ，𝐴𝐵 = 4,𝐵𝐶 = 2,而4 > 2, ∴ 选择∠𝐶 = 45∘ 能画出形状和大小都确定的△𝐴𝐵𝐶 ， 35/176 8 数上 基本功 故乙同学可以选择的条件的个数有 2 个，故选 C. 3.如图，在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹 中，∠𝐵 = ∠𝐶，𝐴𝐵 = 𝐷𝐶，若要利用SAS证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹 ，还需 要添加一个条件：_______________________.（只填一个即可） 答案：𝐵𝐸 = 𝐶𝐹（或𝐵𝐹 = 𝐶𝐸） 解析：若要利用SAS证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹,则在△𝐴𝐵𝐸和△𝐷𝐶𝐹中，{ 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶, ∠𝐵 = ∠𝐶, 𝐵𝐸 = 𝐶𝐹, ∴ 要证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，还需要添加一个条件:𝐵𝐸 = 𝐶𝐹或𝐵𝐹 = 𝐶𝐸 . 故答案为𝐵𝐸 = 𝐶𝐹（或𝐵𝐹 = 𝐶𝐸 ）. 4.如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶 的顶点都在网格线的交点上，请利用无刻度的直尺画出 △𝐴𝐵1𝐶，使得△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐵1𝐶 全等. 【解】如图，△𝐴𝐵1𝐶 即为所求. 36/176 8 数上 基本功 ∵ 𝐴𝐵1//𝐵𝐶，∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐶𝐴𝐵1. ∵ 𝐴𝐶 = 𝐴𝐶,𝐵𝐶 = 𝐴𝐵1，∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐵1𝐴(SAS) . 知识点 2 “𝐒𝐀𝐒 ”判定定理的应用 5.如图，点𝐸在𝐴𝐵上，点𝐹在𝐴𝐶上，且𝐴𝐸 = 𝐴𝐹，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ，𝐵𝐹 = 5，𝐷𝐸 = 1，则𝐷𝐶 的长 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解析：在△𝐵𝐴𝐹和△𝐶𝐴𝐸中,{ 𝐴𝐹 = 𝐴𝐸, ∠𝐵𝐴𝐹 = ∠𝐶𝐴𝐸, 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, ∴ △𝐵𝐴𝐹≌△𝐶𝐴𝐸(SAS)，∴ 𝐵𝐹 = 𝐶𝐸. ∵ 𝐵𝐹 = 5，𝐷𝐸 = 1 ， ∴ 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 − 𝐷𝐸 = 𝐵𝐹 − 𝐷𝐸 = 5 − 1 = 4 .故选 D. 6.如图，在3 × 3 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，则∠1和∠2 的关系为( ) A.∠1 = ∠2 B.∠2 = 2∠1 C.∠1 + 90∘ = ∠2 D.∠1 + ∠2 = 180∘ 37/176 8 数上 基本功 答案：D 解析：如图.由题意得𝐴𝐵 = 𝐸𝐷，𝐵𝐶 = 𝐷𝐹 ，∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐸𝐷𝐹 = 90∘ ， ∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐷𝐹(SAS) ，∴ ∠𝐷𝐸𝐹 = ∠1，∴ ∠1 + ∠2 = 180∘ .故选 D. 7.如图，在平面直角坐标系中，𝐴(3,0) ,𝐵(0,4)，连接𝐴𝐵，在平面直角坐标系中找一点𝐶（点𝐶 不在坐标轴上），使△𝐴𝑂𝐶与△𝐴𝑂𝐵全等，则𝐶 点的坐标为________________. 答案： (3,4)或(3, −4) 解析：∵ 𝐴(3,0)，𝐵(0,4)，且𝑂𝐵 ⊥ 𝑂𝐴，∴ 𝑂𝐴 = 3,𝑂𝐵 = 4,∠𝐴𝑂𝐵 = 90∘ . 当𝐶 点在第一象限时，过点𝐴作𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝑂，且𝐴𝐶 = 𝐵𝑂 = 4， 连接𝑂𝐶. ∵ 𝐴𝑂 = 𝐴𝑂 ,∠𝐴𝑂𝐵 = ∠𝐶𝐴𝑂 = 90∘ ，𝐵𝑂 = 𝐴𝐶,∴ △𝐴𝑂𝐶≌△𝑂𝐴𝐵， 此时，𝐶点坐标为(3,4) .同理可得，当𝐶点在第四象限时，𝐶点坐标为(3, −4). 综上，𝐶点坐标为(3,4) 或(3, −4).故答案为(3,4)或(3, −4) . 8.如图，△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，𝐴,𝐶 ,𝐷三点在同一直线上，连接𝐵𝐷,𝐴𝐸，延长𝐴𝐸 交𝐵𝐷于𝐹 . 38/176 8 数上 基本功 （1）求证：𝐴𝐸 = 𝐵𝐷 . 【证明】∵ △𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，∴ 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，𝐶𝐸 = 𝐶𝐷，∠𝐴𝐶𝐸 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 90∘ 在△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐶𝐷 中，{ 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, ∠𝐴𝐶𝐸 = ∠𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐸 = 𝐶𝐷, ∴ △𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS),∴ 𝐴𝐸 = 𝐵𝐷 . （2）试判断直线𝐴𝐸与𝐵𝐷 的位置关系，并说明理由. 【解】直线𝐴𝐸与𝐵𝐷互相垂直.理由：∵ △𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，∴ ∠𝐸𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐵𝐶 . 又∵ ∠𝐷𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐷𝐵 = 90∘ ，∴ ∠𝐸𝐴𝐶 + ∠𝐶𝐷𝐵 = 90∘ ，∴ ∠𝐴𝐹𝐷 = 90∘ ，∴ 𝐴𝐹 ⊥ 𝐵𝐷 ， 即直线𝐴𝐸与𝐵𝐷 互相垂直. 39/176 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 ——课时 2 两角及一边证全等(ASA,AAS) 知识点 1 用“𝐀𝐒𝐀”“𝐀𝐀𝐒 ”判定三角形全等 1.如图，已知△𝐴𝐵𝐶 的三条边和三个角，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△𝐴𝐵𝐶 全等的 图形是( ) A.只有乙 B.只有丙 C.甲和乙 D.乙和丙 答案：D 解析：甲三角形只知道一条边长和一个内角度数，无法判断是否与△𝐴𝐵𝐶 全等；乙三角形夹50∘ 内角的两边分别与△𝐴𝐵𝐶对应相等，故乙与△𝐴𝐵𝐶 全等；丙三角形72∘ 内角及所对边与△𝐴𝐵𝐶 对应相等且均有50∘ 内角，可根据“AAS ”判定丙与△𝐴𝐵𝐶全等.故与△𝐴𝐵𝐶 全等的有乙和丙. 2. 如图,𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，下列条件:①∠𝐵 = ∠𝐶 ；②∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝐷𝐶；③𝐴𝐸 = 𝐴𝐷；④𝐵𝐸 = 𝐶𝐷 中， 若只添加一个条件就可以证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷 ，则所有符合的条件序号是________. 答案：①②③ 解析：∠𝐵 = ∠𝐶，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，∠𝐴 = ∠𝐴，符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷， 40/176 8 数上 基本功 故①符合;∠𝐴𝐸𝐵 = ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴 = ∠𝐴，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出 △𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，故②符合;𝐴𝐸 = 𝐴𝐷，∠𝐴 = ∠𝐴 ，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，符合全等三角形的判定定理SAS， 能推出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷 ，故③符合;𝐵𝐸 = 𝐶𝐷，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，∠𝐴 = ∠𝐴 ，不符合全等三角形的判 定定理，不能推出△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，故④不符合. 综上,能证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐶𝐷 的条件序号是①②③. 3. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，动点𝐷,𝐸,𝐹 分别在𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐴𝐶上移动，移动过程中始终保持𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 ，∠𝐷𝐸𝐹 = ∠𝐵，请你判断是否存在始终与△𝐵𝐷𝐸 全等的三角形，并说明理由. 【解】存在始终与△𝐵𝐷𝐸 全等的三角形.理由如下： ∵ ∠𝐶𝐸𝐷 = ∠𝐵 + ∠𝐵𝐷𝐸 = ∠𝐷𝐸𝐹 + ∠𝐹𝐸𝐶，∠𝐷𝐸𝐹 = ∠𝐵 ， ∴ ∠𝐶𝐸𝐹 = ∠𝐵𝐷𝐸. ∵ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，∴ ∠𝐵 = ∠𝐶.在△𝐶𝐸𝐹和△𝐵𝐷𝐸 中， { ∠𝐶 = ∠𝐵, 𝐶𝐸 = 𝐵𝐷, ∠𝐶𝐸𝐹 = ∠𝐵𝐷𝐸, ∴ △𝐶𝐸𝐹≌△𝐵𝐷𝐸(ASA),∴ △𝐶𝐸𝐹始终与△𝐵𝐷𝐸 全等. 知识点 2 “𝐀𝐒𝐀”和“𝐀𝐀𝐒 ”判定定理的应用 4. 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与 之大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是( ) A.（1）和（3） B.（3）和（4） C.（1）和（4） D.（1）和（2） 41/176 8 数上 基本功 答案：D 解析：由题图可知，（1）和（2）或（2）和（4）包含三角形模具的两个完整的角和这两个角 的夹边，根据ASA 可以得到与之大小和形状完全相同的模具.故选 D. 5. 数学活动课上，小敏、小颖分别画了△𝐴𝐵𝐶 和△𝐷𝐸𝐹，其尺寸如图，如果把△𝐴𝐵𝐶的面积 记作𝑝，△𝐷𝐸𝐹的面积记作𝑞，那么𝑝 与𝑞 的大小关系为( ) A.𝑝 > 𝑞 B.𝑝 = 𝑞 C.𝑝 < 𝑞 D.不能确定 答案：B 解析：如图（1），过点𝐴作𝐴𝐺 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐺，如图（2），过点𝐷作𝐷𝐻 ⊥ 𝐹𝐸 交𝐹𝐸的延长线于点𝐻， 则∠𝐷𝐸𝐻 = 180∘ − 130∘ = 50∘ . 在△𝐴𝐵𝐺和△𝐷𝐸𝐻 中，{ ∠𝐴𝐺𝐵 = ∠𝐷𝐻𝐸 = 90∘, ∠𝐴𝐵𝐺 = ∠𝐷𝐸𝐻 = 50∘, 𝐴𝐵 = 𝐷𝐸 = 5, ∴ △𝐴𝐵𝐺≌△𝐷𝐸𝐻(AAS)，∴ 𝐴𝐺 = 𝐷𝐻. ∵ 𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 = 4 ， ∴ 1 2 × 𝐵𝐶 × 𝐴𝐺 = 1 2 × 𝐸𝐹 × 𝐷𝐻,∴ 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 𝑆△𝐷𝐸𝐹，即𝑝 = 𝑞 .故选 B. 图（1） 图（2） 42/176 8 数上 基本功 6. 如图，为了测量池塘两侧𝐴，𝐵之间的距离，选取点𝐶 （与𝐵在池塘同侧），经测量∠𝐵𝐴𝐶 = 70∘ ， 然后在𝐵𝐶的一侧找到一点𝐷，使得𝐵𝐶 为∠𝐴𝐵𝐷的平分线，且∠𝐵𝐷𝐶 = 70∘ .若𝐵𝐷的长为 8 米， 求池塘两侧𝐴，𝐵 之间的距离. 【解】∵ 𝐵𝐶为∠𝐴𝐵𝐷 的平分线，∴ ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐵𝐶 . 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶中，{ ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐷𝐶 = 70∘, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐵𝐶, 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶, ∴ △𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐵𝐶(AAS)，∴ 𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 8米，即池塘两侧𝐴，𝐵 之间的距离为 8 米. 43/176 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 ——课时 3 三边证全等(SSS) 知识点 1 用“𝐒𝐒𝐒 ”判定三角形全等 1.一个三角形的三边长为 5，𝑥 ，14，另一个三角形的三边长为 5，10，𝑦，如果由“SSS”可以 判定这两个三角形全等，那么𝑥 + 𝑦 的值为( ) A.15 B.19 C.24 D.25 答案：C 解析：∵ 由“SSS”可以判定这两个三角形全等，∴ 𝑥 = 10，𝑦 = 14 ， ∴ 𝑥 + 𝑦 = 10 + 14 = 24 ，故选 C. 2.如图，在方格纸中，以𝐴𝐵 为一边作△𝐴𝐵𝑃，使之与△𝐴𝐵𝐶全等，在方格的格点中找出符合条 件的𝑃 点（不与点𝐴，𝐵，𝐶 重合）的位置共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：C 解析：如图所示，共 3 个，故选 C. 44/176 8 数上 基本功 3.肖老师为班级中每名同学准备了长分别为𝑎,𝑏,𝑐 的三根木条，所有同学都用这三根木条首尾 顺次拼接成三角形.这时小陈同学说：“我们所有人拼成的三角形的形状和大小是完全一样的.” 小陈同学的说法依据是____. 答案：SSS 4.如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐷，𝐸是边𝐵𝐶 的三等分点，且𝐴𝐷 = 𝐴𝐸. 求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸 . 【证明】∵ 𝐷，𝐸是边𝐵𝐶的三等分点，∴ 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 = 1 3 𝐵𝐶. 在△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐶𝐸 中，{ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶, 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸, 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸, ∴ △𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸(SSS) . 知识点 2 已知三边作三角形 5.如图，已知∠𝐴𝐵𝐶，以点𝐵 为圆心，适当长为半径作弧，分别交𝐴𝐵,𝐵𝐶于𝑃，𝐷；作一条射线 𝐹𝐸，以点𝐹为圆心，𝐵𝐷长为半径作弧𝑙，交𝐸𝐹 于点𝐻；以点𝐻为圆心，𝑃𝐷长为半径作弧，交 弧𝑙于点𝑄；过点𝑄作射线𝐹𝐺 .这样可得∠𝐺𝐹𝐸 = ∠𝐴𝐵𝐶，根据上述操作可判定△𝑃𝐵𝐷≌△𝑄𝐹𝐻 , 其依据是( ) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 答案：A 45/176 8 数上 基本功 解析：根据题意得，𝐵𝑃 = 𝐵𝐷 = 𝐹𝑄 = 𝐹𝐻，𝐷𝑃 = 𝑄𝐻. 在△𝑃𝐵𝐷和△𝑄𝐹𝐻 中，{ 𝐵𝑃 = 𝐹𝑄, 𝐵𝐷 = 𝐹𝐻, 𝐷𝑃 = 𝑄𝐻, ∴ △𝑃𝐵𝐷≌△𝑄𝐹𝐻(SSS)，∴ ∠𝐺𝐹𝐸 = ∠𝐴𝐵𝐶 ，故选 A. 6.用无刻度的直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 . 求作：△𝑃𝐸𝐹，使𝑃𝐸 = 𝐴𝐵，𝐸𝐹 = 𝐵𝐶 . 【解】如图，△𝑃𝐸𝐹 即为所求. 知识点 3 “𝐒𝐒𝐒 ”判定定理的应用 7.如图，𝑀为比赛出发点，𝑃,𝑄 两点为标志物，且到𝑀点的距离相等，选手小明从𝑀点出发， 计划沿∠𝑃𝑀𝑄 的平分线骑摩托车行驶，若小明沿射线𝑀𝑁行驶，在𝑁点处经红外线设备测得他 到标志物𝑃,𝑄 两点的距离相等，判断小明的行驶路线是否偏离预定路线，并说明理由. 【解】小明的行驶路线没有偏离预定路线.理由： 如图 连接𝑃𝑁,𝑄𝑁 . 由题意得𝑃𝑁 = 𝑄𝑁,𝑃𝑀 = 𝑄𝑀.又∵ 𝑀𝑁 = 𝑀𝑁，∴ △𝑃𝑀𝑁≌△𝑄𝑀𝑁 ， ∴ ∠𝑃𝑀𝑁 = ∠𝑄𝑀𝑁，∴ 𝑀𝑁是∠𝑃𝑀𝑄的平分线，∴ 小明的行驶路线没有偏离预定路线. 46/176 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定——课时 4 尺规作图 知识点 1 作一个角等于已知角 1. 如图，用尺规作∠𝐻𝐹𝐺 = ∠𝐴𝐵𝐶，作图痕迹中弧𝑀𝑁 是( ) A.以点𝐹为圆心，𝐵𝐸长为半径的弧 B.以点𝐹为圆心，𝐷𝐸 长为半径的弧 C.以点𝐺为圆心，𝐵𝐸长为半径的弧 D.以点𝐺为圆心，𝐷𝐸 长为半径的弧 答案：D 【解析】由题图可知作图方法是（1）以点𝐵 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 𝐵𝐴,𝐵𝐶于点𝐷,𝐸；（2）作射线𝐹𝑃，以点𝐹为圆心，𝐵𝐸（或𝐵𝐷 ）长为半径作弧， 交射线𝐹𝑃于点𝐺；（3）以点𝐺为圆心，𝐷𝐸 长为半径的作弧，交上一步作的弧于点 𝐻；（4）过点𝐻作射线𝐹𝐽，故弧𝑀𝑁是以点𝐺为圆心，𝐷𝐸 长为半径的弧.故选 D. 2. 如图，作∠𝐺𝐴𝐵等于已知角∠𝑀𝑂𝑁 （尺规作图）的正确顺 序是____________.（填序号） ① ② 47/176 8 数上 基本功 ③ ④ ⑤ 答案：⑤①②④③ 【解析】根据用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确顺序是⑤① ②④③.故答案为⑤①②④③. 知识点 2 过直线外一点作平行线 3. 下面四幅图是小明用直尺和圆规过点𝐶作𝐴𝐵 的平行线所留下的作图痕迹， 其中正确的是( ) A B C D A.A B.B C.C D.D 答案：A 【解析】由同位角相等，两直线平行及作一个角等于已知角的作法可知，选项 A 符 合题意，故选 A. 48/176 8 数上 基本功 4. 如图，已知直线𝐴𝐵及直线外一点𝑃 . （1）请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺，过点𝑃作直线𝐶𝐷 ，使得𝐶𝐷//𝐴𝐵 .（保留作图 痕迹，不写作法） 【解】如图，直线𝐶𝐷 即为所求.（作法不唯一） （2）在（1）中，𝐶𝐷//𝐴𝐵 的依据是___________________________. 答案：内错角相等，两直线平行.（答案不唯一，需与（1）对应） 知识点 3 作三角形 5. 下列关于尺规作图的结论中错误的是( ) A.已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出 B.已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出 C.已知一个直角三角形的两条直角边，那么这个三角形一定可以作出 D.已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出 49/176 8 数上 基本功 答案：B 【解析】A 选项，已知一个三角形的两角与一边，根据AAS或ASA ，这个三角形一定可以作出， 所以本选项不符合题意；B 选项，已知一个三角形的两边与一角，不一定可以作出这个三角形， 所以本选项符合题意；C 选项，已知一个直角三角形的两条直角边，根据SAS ，这个三角形一 定可以作出，所以本选项不符合题意；D 选项，已知一个三角形的三条边，根据SSS ，这个三 角形一定可以作出，所以本选项不符合题意.故选 B. 6.如图，已知线段𝑎和∠𝛼 .求作△𝐴𝐵𝐶，使𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎 ,∠𝐴 = ∠𝛼 .（尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法） 【解】如图所示. 7.一个三角形残片如图所示，请你利用直尺和圆规作一个和原三角形全等的三角形，并说明作 图依据.（保留作图痕迹，不写作法） 50/176 8 数上 基本功 【解】如图所示，△𝐶𝐷𝐸 即为所求. ∵ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵，∠𝐸𝐶𝐷 = ∠𝐴,∠𝐸𝐷𝐶 = ∠𝐵， ∴ △𝐶𝐷𝐸 是和原三角形全等的三角形，作图依据是ASA . 51/176 8 数上 基本功 14.2 三角形全等的判定 课时 5 斜边及一直角边证全等(HL) 知识点 1 用“𝐇𝐋 ”判定直角三角形全等 1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.斜边和一条直角边分别相等 B.一个锐角和斜边分别相等 C.两条直角边分别相等 D.两个锐角分别相等 答案：D 【解析】A 选项，利用HL 可以判定两个直角三角形全等，不符合题意；B 选项，利用AAS可 以判定两个直角三角形全等，不符合题意；C 选项，利用SAS 可以判定两个直角三角形全等， 不符合题意；D 选项，利用AAA 不能判定两个直角三角形全等，符合题意.故选 D. 2.如图，𝐴𝐵 ⊥ 𝐸𝐹于点𝐵，𝐶𝐷 ⊥ 𝐸𝐹于点𝐷，𝐵𝐸 = 𝐷𝐹 .若要直接用“HL”判定Rt △ 𝐴𝐵𝐹≌Rt△𝐶𝐷𝐸 ， 则需要添加的条件为_________. 答案：𝐴𝐹 = 𝐶𝐸 【解析】需要添加的条件为𝐴𝐹 = 𝐶𝐸. ∵ 𝐵𝐸 = 𝐷𝐹，∴ 𝐵𝐸 + 𝐵𝐷 = 𝐹𝐷 + 𝐵𝐷 ， 即𝐷𝐸 = 𝐵𝐹. ∵ 𝐴𝐵 ⊥ 𝐸𝐹，𝐶𝐷 ⊥ 𝐸𝐹，∴ ∠𝐴𝐵𝐹 = ∠𝐶𝐷𝐸 = 90∘ . 又∵ 𝐴𝐹 = 𝐶𝐸 ，∴ Rt △ 𝐴𝐵𝐹≌Rt△𝐶𝐷𝐸(HL).故答案为𝐴𝐹 = 𝐶𝐸 . 52/176 8 数上 基本功 3.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，𝐷为𝐵𝐶 上一点，𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，垂足分别为𝐸,𝐹，且 𝐷𝐸 = 𝐷𝐹 .请选择一对你认为全等的三角形并加以证明. 【解】△𝐴𝐸𝐷≌△𝐴𝐹𝐷 .证明:∵ 𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，𝐷𝐹 ⊥ 𝐴𝐶，∴ △𝐴𝐸𝐷和△𝐴𝐹𝐷是直角三角形. 在Rt △ 𝐴𝐸𝐷 和Rt △ 𝐴𝐹𝐷中，{ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐷, 𝐷𝐸 = 𝐷𝐹, ∴ Rt △ 𝐴𝐸𝐷≌Rt△𝐴𝐹𝐷(HL) .（答案不唯一） 知识点 2 “𝐇𝐋 ”判定定理的应用 4.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度𝐴𝐶 与右边滑梯水平方向的长度𝐷𝐹相等，两 个滑梯的倾斜角∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐷𝐹𝐸 之间的关系是( ) A.∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐷𝐹𝐸 B.∠𝐴𝐵𝐶 > ∠𝐷𝐹𝐸 C.∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐷𝐹𝐸 = 100∘ D.∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐷𝐹𝐸 = 90∘ 答案：D 【解析】由题意可知𝐵𝐶 = 𝐹𝐸，𝐴𝐶 = 𝐷𝐹，𝐴𝐶 ⊥ 𝐴𝐵，𝐷𝐸 ⊥ 𝐷𝐹， ∴ △𝐴𝐵𝐶 与△𝐷𝐸𝐹均为直角三角形. 在Rt △ 𝐴𝐵𝐶与Rt △ 𝐷𝐸𝐹 中，{ 𝐵𝐶 = 𝐸𝐹, 𝐴𝐶 = 𝐷𝐹, ∴ Rt △ 𝐴𝐵𝐶≌Rt△𝐷𝐸𝐹(HL) ， 53/176 8 数上 基本功 ∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐷𝐹𝐸. ∵ ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，∴ ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐷𝐹𝐸 = 90∘ .故选 D. 5.如图，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶于点𝐶，𝐴𝐶 = 6 ，𝐵𝐶 = 3，连接𝐴𝐵，射线𝐴𝑋 ⊥ 𝐴𝐶于点𝐴，点𝑃在线段𝐴𝐶 上 移动，点𝑄在射线𝐴𝑋上随着点𝑃移动，且始终保持𝑃𝑄 = 𝐴𝐵，当𝐴𝑃 = ______时，才能使△𝑃𝑄𝐴 与△𝐴𝐵𝐶 全等. 答案：3 或 6 【解析】∵ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶，𝐴𝑋 ⊥ 𝐴𝐶 ，∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝑃𝐴𝑄 = 90∘. ∵ 𝑃𝑄 = 𝐴𝐵， ∴ 当𝐴𝑃 = 𝐵𝐶 = 3或𝐴𝑃 = 𝐴𝐶 = 6 时，可以根据HL证明△𝑃𝑄𝐴与△𝐴𝐵𝐶 全等. 故答案为 3 或 6. 6. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ .点𝐷在△𝐴𝐵𝐶 外，连接𝐴𝐷，作𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵于点𝐸，延长𝐷𝐸交 𝐵𝐶于点𝐹，𝐴𝐷 = 𝐴𝐵，𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 . （1）求证：𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 ； 【证明】∵ ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘ ，𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐸𝐷 = 90∘ .在Rt △ 𝐴𝐸𝐷 和 Rt △ 𝐴𝐶𝐵中，{ 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵, 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶, ∴ Rt △ 𝐴𝐸𝐷≌Rt△𝐴𝐶𝐵(HL)，∴ 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 . （2）若𝐵𝐹 = 2,𝐶𝐹 = 1，求𝐷𝐹 的长. 54/176 8 数上 基本功 【解】如图，连接𝐴𝐹 . ∵ 𝐵𝐹 = 2，𝐶𝐹 = 1，∴ 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 = 2 + 1 = 3. ∵ Rt △ 𝐴𝐸𝐷≌Rt△𝐴𝐶𝐵,∴ 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 . 在Rt △ 𝐴𝐸𝐹和Rt △ 𝐴𝐶𝐹中，{ 𝐴𝐹 = 𝐴𝐹, 𝐴𝐸 = 𝐴𝐶, ∴ Rt △ 𝐴𝐸𝐹≌Rt△𝐴𝐶𝐹(HL) ， ∴ 𝐸𝐹 = 𝐶𝐹 = 1，∴ 𝐷𝐹 = 𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 = 3 + 1 = 4 . 7.如图，∠𝐴 = ∠𝐷 = 90∘ ，𝐴𝐵 = 𝐷𝐶，点𝐸，𝐹在直线𝐵𝐶上，且𝐵𝐸 = 𝐶𝐹 . （1）求证：∠𝐸 = ∠𝐹 ； 【证明】∵ 𝐵𝐸 = 𝐶𝐹，∴ 𝐵𝐸 + 𝐵𝐶 = 𝐶𝐹 + 𝐵𝐶，∴ 𝐵𝐹 = 𝐶𝐸 . 在Rt △ 𝐴𝐵𝐹与Rt △ 𝐷𝐶𝐸中，{ 𝐵𝐹 = 𝐶𝐸, 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶, ∴ Rt △ 𝐴𝐵𝐹≌Rt△𝐷𝐶𝐸(HL)，∴ ∠𝐸 = ∠𝐹 . （2）若𝑃𝑂平分∠𝐸𝑃𝐹，则𝑃𝑂与𝐵𝐶 有什么位置关系？并说明理由. 【解】𝑃𝑂 ⊥ 𝐵𝐶 .理由如下：由（1）得∠𝐸 = ∠𝐹 . ∵ 𝑃𝑂平分∠𝐸𝑃𝐹，∴ ∠𝐸𝑃𝑂 = ∠𝐹𝑃𝑂 . 在△𝐸𝑃𝑂和△𝐹𝑃𝑂中，{ ∠𝐸 = ∠𝐹, ∠𝐸𝑃𝑂 = ∠𝐹𝑃𝑂, 𝑃𝑂 = 𝑃𝑂, ∴ △𝐸𝑃𝑂≌△𝐹𝑃𝑂(AAS)，∴ ∠𝐸𝑂𝑃 = ∠𝐹𝑂𝑃 . ∵ ∠𝐸𝑂𝑃 + ∠𝐹𝑂𝑃 = 180∘ ，∴ ∠𝐸𝑂𝑃 = ∠𝐹𝑂𝑃 = 90∘ ，∴ 𝑃𝑂 ⊥ 𝐵𝐶 . 55/176