6.3.2 角的比较与运算-【基本功】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步练习（人教版2024）

第 6 章 几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 课时 1 角的比较与运算 知识点 1 角的比较 1.在小于平角的∠𝐴𝑂𝐵的内部取一点𝐶，并作射线𝑂𝐶 ，则一定有( ) A.∠𝐴𝑂𝐶 >∠𝐵𝑂𝐶 B.∠𝐴𝑂𝐶 =∠𝐵𝑂𝐶 C.∠𝐵𝑂𝐶 > ∠𝐴𝑂𝐶 D.∠𝐴𝑂𝐵 > ∠𝐴𝑂𝐶 解析：如图， 因为𝐶点是∠𝐴𝑂𝐵内部任意一点，并作射线𝑂𝐶 ,所以∠𝐴𝑂𝐶与 ∠𝐵𝑂𝐶的大小无法确定，∠𝐴𝑂𝐵 > ∠𝐴𝑂𝐶 ，故选 D. 2.如图（1）、图（2）所示，把两个三角板先后放在∠𝐴𝑂𝐵 上，∠𝐴𝑂𝐶 = 45∘ ,∠𝐴𝑂𝐷 = 30∘ , 则∠𝐴𝑂𝐵 的度数可能是( ) 图（1） 图（2） A.60∘ B.50∘ C.40∘ D.30∘ 解析：根据题意，可知30∘ < ∠𝐴𝑂𝐵 < 45∘ ，所以选项 A、B、D不符合题意，选项 C符合题 意.故选 C. 3.如图所示，正方形网格中有∠𝛼 和∠𝛽 ，如果每个小正方形的边长都为 1，则∠𝛼 与∠𝛽 的大小关系为( ) 134/144 第 6 章 几何图形初步 A.∠𝛼 <∠𝛽 B.∠𝛼 =∠𝛽 C.∠𝛼 >∠𝛽 D.无法估测 解析：如图，作∠𝛾 = ∠𝛽 ，所以∠𝛾 > ∠𝛼 ，即∠𝛼 < ∠𝛽 .故选 A. 4.足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门𝐴𝐵 的张角大小时，张角越大，射门越好. 如图的正方形网格中，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸均在格点上，球员带球沿𝐶𝐷 方向进攻，最好的射 点在( ) A.点𝐶 B.点𝐷或点𝐸 C.线段𝐷𝐸（异于端点）上一点 D.线段𝐶𝐷 （异于端点）上一点 解析：如图， 连接𝐵𝐶,𝐴𝐶,𝐵𝐷,𝐴𝐷,𝐴𝐸,𝐵𝐸,在线段𝐷𝐸 间 任取一点𝐹，连接𝐴𝐹,𝐵𝐹 ,通过测量可知∠𝐴𝐶𝐵 < ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐸𝐵 <∠𝐴𝐹𝐵,因而射门点在线 段𝐷𝐸 （异于端点）上一点时角最大.故选 C. 135/144 第 6 章 几何图形初步 5.如图,直线𝑚外有一定点𝑂，𝐴是𝑚 上的一个动点，当点𝐴从左向右运动时，∠𝛼 的变化情 况是__________.（填“逐渐变大”“逐渐变小”“保持不变”或“无法确定”） 解析：当点𝐴从左向右运动时，∠𝛼 逐渐变小. 6.比较两个角的大小关系：小明用度量法测得∠𝐴𝑂𝐵 = 45∘ ，∠𝐶𝑂𝐷 = 50∘ ；小丽用叠合法 比较，将两个角的顶点重合，边𝑂𝐵 与𝑂𝐷重合，边𝑂𝐴和𝑂𝐶置于重合边的同侧，则边𝑂𝐴____. （填序号：①在∠𝐶𝑂𝐷 的内部；②在∠𝐶𝑂𝐷的外部；③与边𝐶 重合） 解析：如图，因为∠𝐴𝑂𝐵 < ∠𝐶𝑂𝐷，所以边𝑂𝐴在∠𝐶𝑂𝐷 的内部，故答案为①. 知识点 2 角的和差运算 7. 一副三角尺如图摆放，图中不含15∘ 角的个数是( ) ① ② ③ A.0 B.1 C.2 D.3 解析：B 8.如图，已知点𝑂在直线𝐴𝐵上，∠1 = 65∘15′，∠2 = 78∘30′，则∠1 +∠2 = __________， ∠3 = _______. 136/144 第 6 章 几何图形初步 解析：因为∠1 = 65∘15′，∠2 = 78∘30′ ，所以∠1 +∠2 = 65∘15′ + 78∘30′ = 143∘ 45′ ，所以 ∠3 = 180∘ − (∠1 +∠2) = 180∘ − 143∘45′ = 36∘15′ . 9.将两块直角三角尺的直角顶点重合，按如图的位置摆放，若∠𝐶𝑂𝐵:∠𝐴𝑂𝐷 = 1: 4，则∠𝐵𝑂𝐶 =____∘ . 解析：设∠𝐶𝑂𝐵 = 𝑎∘ .因为∠𝐶𝑂𝐵:∠𝐴𝑂𝐷 = 1: 4，所以∠𝐴𝑂𝐷 = 4𝑎∘ .因为∠𝐴𝑂𝐵 +∠𝐶𝑂𝐷 = 180∘ ，所以∠𝐶𝑂𝐵 +∠𝐴𝑂𝐷 = 180∘ ，即𝑎∘ + 4𝑎∘ = 180∘ ，所以𝑎 = 36，所以∠𝐵𝑂𝐶 = 36∘ .故答案为 36. 10.已知∠𝐴𝑂𝐵 = 80∘ ，在其顶点𝑂处引一条射线𝑂𝐶，且∠𝐵𝑂𝐶 = 30∘ ，则∠𝐴𝑂𝐶 =______． 解析：分为两种情况： ①如图（1）， 当𝑂𝐶在∠𝐵𝑂𝐴内部时，∠𝐴𝑂𝐶 =∠𝐴𝑂𝐵 −∠𝐵𝑂𝐶 = 80∘ − 30∘ = 50∘ ； ②如图（2）， 当𝑂𝐶在∠𝐵𝑂𝐴外部时，∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐴𝑂𝐵 +∠𝐵𝑂𝐶 = 80∘ + 30∘ = 110∘ .故答案为50∘ 或110∘ . 137/144 第 6 章 几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 课时 2 角平分线 知识点 1 角平分线 1.已知𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵内的一条射线，下列条件中不能确定𝑂𝐶 是∠𝐴𝑂𝐵 的平分线的是( ) A.∠𝐴𝑂𝐶 =∠𝐵𝑂𝐶 B.∠𝐴𝑂𝐵 = 2∠𝐴𝑂𝐶 C.∠𝐴𝑂𝐶 +∠𝐶𝑂𝐵 =∠𝐴𝑂𝐵 D.∠𝐵𝑂𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐵 解析：如图，A选项，∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐶能确定𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵 ，故此选项不符合题意；B选项， ∠𝐴𝑂𝐵 = 2∠𝐴𝑂𝐶能确定𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵 ，故此选项不符合题意；C 选项，∠𝐴𝑂𝐶 +∠𝐶𝑂𝐵 = ∠𝐴𝑂𝐵不能确定𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵 ，故此选项符合题意；D选项，∠𝐵𝑂𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐵能确定𝑂𝐶平 分∠𝐴𝑂𝐵 ，故此选项不符合题意.故选 C. 2.如图，直线𝐴𝐵，𝐶𝐷相交于点𝑂 ，𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐷，𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐷.当直线𝐶𝐷绕点𝑂 顺时针 旋转𝛼(0∘ < 𝛼 < 180∘)时，下列各角的度数与∠𝐵𝑂𝐷 的度数变化无关的角是（ ） A.∠𝐴𝑂𝐷 B.∠𝐴𝑂𝐶 C.∠𝐸𝑂𝐹 D.∠𝐷𝑂𝐹 解析：因为𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐷，𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐷 ，所以∠𝐸𝑂𝐷 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐷，∠𝐷𝑂𝐹 = 1 2 ∠𝐵𝑂𝐷. 因为∠𝐴𝑂𝐷 +∠𝐵𝑂𝐷 = 180∘ ，所以∠𝐸𝑂𝐷 +∠𝐷𝑂𝐹 = 90∘ ，即∠𝐸𝑂𝐹 = 90∘ ，所以直线𝐶𝐷 绕点𝑂 顺时针旋转𝛼(0∘ < 𝛼 < 180∘)时，∠𝐸𝑂𝐹的度数与∠𝐵𝑂𝐷 的度数变化无关.故选 C. 138/144 第 6 章 几何图形初步 3.如图，∠𝐵𝑂𝐷 = 118∘ ，∠𝐶𝑂𝐷是直角，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵 ，则∠𝐴𝑂𝐵 的度数为____. 解析：因为∠𝐵𝑂𝐷 = 118∘ ，∠𝐶𝑂𝐷 是直角，所以∠𝐵𝑂𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐷 −∠𝐶𝑂𝐷 = 118∘ − 90∘ = 28∘ .因为𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵 ，所以∠𝐴𝑂𝐵 = 2∠𝐵𝑂𝐶 = 56∘ .故答案为56∘ . 4.如图，点𝐴，𝑂，𝐵 在同一直线上，∠𝐵𝑂𝐶 = 78∘ ，∠𝐷𝑂𝐸 = 77∘ ，𝑂𝐷是∠𝐵𝑂𝐶 的一条靠 近𝑂𝐶 边的三等分线. （1）求∠𝐶𝑂𝐸 的度数； 解：因为𝑂𝐷是∠𝐵𝑂𝐶的一条靠近𝑂𝐶边的三等分线，∠𝐵𝑂𝐶 = 78∘ ， 所以∠𝐶𝑂𝐷 = 1 3 ∠𝐵𝑂𝐶 = 1 3 × 78∘ = 26∘ .因为∠𝐷𝑂𝐸 = 77∘ ， 所以∠𝐶𝑂𝐸 = ∠𝐷𝑂𝐸 −∠𝐶𝑂𝐷 = 77∘ − 26∘ = 51∘ ，即∠𝐶𝑂𝐸的度数为51∘ . （2）𝑂𝐸是∠𝐴𝑂𝐶 的平分线吗？说明你的理由. 解：𝑂𝐸是∠𝐴𝑂𝐶的平分线.理由：因为∠𝐶𝑂𝐸 = 51∘ ，∠𝐵𝑂𝐶 = 78∘ ，点𝐴,𝑂,𝐵 在同一直线上，所以∠𝐴𝑂𝐸 = 180∘ −∠𝐶𝑂𝐸 −∠𝐵𝑂𝐶 = 180∘ − 51∘ − 78∘ = 51∘ ， 所以∠𝐴𝑂𝐸 = ∠𝐶𝑂𝐸，所以𝑂𝐸是∠𝐴𝑂𝐶 的平分线. 139/144 第 6 章 几何图形初步 知识点 2 角平分线的应用 5.如图，把一个蛋糕分成𝑛 等份，要使每份中的角是45∘ ，则𝑛 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析：根据题意，得𝑛 = 360∘ ÷ 45∘ = 8 .故选 C. 6.把一个平角 16等分，则每份（用度、分表示）为_________. 解析：180∘ ÷ 16 = 11.25∘ .因为0.25∘ = (0.25 × 60)′ = 15′ ，所以11.25∘ = 11∘15′，故 答案为11∘15′ . 7.图（1）中的水车是一种古老的灌溉工具，图（2）是它的示意图，水车的主体的纵截面是一 个圆形，且被等分成了 8 份，三角形𝑂𝐴𝐵 是水车的支架，∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘ .水车的支架固定不 动，水车的主体可绕着圆心𝑂 旋转. （1）求∠𝐶𝑂𝐷 的度数； 解：由题意得∠𝐶𝑂𝐷 = 360∘ 8 = 45∘ . （2）在图（2）中，若𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，求∠𝐵𝑂𝐷 的度数； 解：因为∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘ ，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，所以∠𝐵𝑂𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐵 = 30∘ ，所以 ∠𝐵𝑂𝐷 = ∠𝐶𝑂𝐷 −∠𝐵𝑂𝐶 = 15∘ . 140/144 第 6 章 几何图形初步 （3）在水车的旋转过程中，当∠𝐴𝑂𝐵与∠𝐶𝑂𝐷有重合部分时，设∠𝐵𝑂𝐷 的度数为𝑥∘ ，直接 写出∠𝐴𝑂𝐶的度数（用含𝑥 的代数式表示）. 图（1） 解：∠𝐴𝑂𝐶的度数为𝑥∘ − 15∘ 或15∘ − 𝑥∘ 或𝑥∘ + 15∘ .当𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵 内，𝑂𝐷在∠𝐴𝑂𝐵外时， 如图（1）所示.因为∠𝐵𝑂𝐷 = 𝑥∘ ，∠𝐶𝑂𝐷 = 45∘ ，所以∠𝐵𝑂𝐶 = ∠𝐶𝑂𝐷 −∠𝐵𝑂𝐷 = 45∘ − 𝑥∘ .因为∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘ ，所以∠𝐴𝑂𝐶 =∠𝐴𝑂𝐵 −∠𝐵𝑂𝐶 = 15∘ + 𝑥∘ ； 当𝑂𝐶，𝑂𝐷都在∠𝐴𝑂𝐵内时，如图（2）所示.因为∠𝐵𝑂𝐷 = 𝑥∘ ，∠𝐶𝑂𝐷 = 45∘ ，∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘ ，所以∠𝐴𝑂𝐶 =∠𝐴𝑂𝐵 −∠𝐵𝑂𝐷 −∠𝐶𝑂𝐷 = 15∘ − 𝑥∘ ； 当𝑂𝐶在∠𝐴𝑂𝐵外，𝑂𝐷在∠𝐴𝑂𝐵内时，如图（3）所示.因为∠𝐵𝑂𝐷 = 𝑥∘ ,∠𝐶𝑂𝐷 = 45∘ ,∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘ ,所以∠𝐴𝑂𝐶 =∠𝐵𝑂𝐷 +∠𝐶𝑂𝐷 −∠𝐴𝑂𝐵 = 𝑥∘ − 15∘ . 图（2） 图（3） 综上所述，∠𝐴𝑂𝐶的度数为𝑥∘ − 15∘ 或15∘ − 𝑥∘ 或15∘ + 𝑥∘ . 141/144 第 6 章 几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 课时 1 角的比较与运算 知识点 1 角的比较 1.在小于平角的∠𝐴𝑂𝐵的内部取一点𝐶，并作射线𝑂𝐶 ，则一定有( ) A.∠𝐴𝑂𝐶 >∠𝐵𝑂𝐶 B.∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐶 C.∠𝐵𝑂𝐶 > ∠𝐴𝑂𝐶 D.∠𝐴𝑂𝐵 > ∠𝐴𝑂𝐶 2.如图（1）、图（2）所示，把两个三角板先后放在∠𝐴𝑂𝐵 上，∠𝐴𝑂𝐶 = 45∘ ,∠𝐴𝑂𝐷 = 30∘ , 则∠𝐴𝑂𝐵 的度数可能是( ) 图（1） 图（2） A.60∘ B.50∘ C.40∘ D.30∘ 3.如图所示，正方形网格中有∠𝛼 和∠𝛽 ，如果每个小正方形的边长都为 1，则∠𝛼 与∠𝛽 的大小关系为( ) A.∠𝛼 <∠𝛽 B.∠𝛼 = ∠𝛽 C.∠𝛼 >∠𝛽 D.无法估测 4.足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门𝐴𝐵 的张角大小时，张角越大，射门越好. 如图的正方形网格中，点𝐴，𝐵，𝐶，𝐷，𝐸均在格点上，球员带球沿𝐶𝐷 方向进攻，最好的射 点在( ) A.点𝐶 B.点𝐷或点𝐸 C.线段𝐷𝐸（异于端点）上一点 D.线段𝐶𝐷 （异于端点）上一点 97/103 第 6 章 几何图形初步 5.如图,直线𝑚外有一定点𝑂，𝐴是𝑚 上的一个动点，当点𝐴从左向右运动时，∠𝛼 的变化情 况是__________.（填“逐渐变大”“逐渐变小”“保持不变”或“无法确定”） 6.比较两个角的大小关系：小明用度量法测得∠𝐴𝑂𝐵 = 45∘ ，∠𝐶𝑂𝐷 = 50∘ ；小丽用叠合法 比较，将两个角的顶点重合，边𝑂𝐵 与𝑂𝐷重合，边𝑂𝐴和𝑂𝐶置于重合边的同侧，则边𝑂𝐴____. （填序号：①在∠𝐶𝑂𝐷 的内部；②在∠𝐶𝑂𝐷的外部；③与边𝐶 重合） 知识点 2 角的和差运算 7. 一副三角尺如图摆放，图中不含15∘ 角的个数是( ) ① ② ③ A.0 B.1 C.2 D.3 8.如图，已知点𝑂在直线𝐴𝐵上，∠1 = 65∘15′，∠2 = 78∘30′，则∠1 +∠2 = __________， ∠3 = _______. 98/103 第 6 章 几何图形初步 9.将两块直角三角尺的直角顶点重合，按如图的位置摆放，若∠𝐶𝑂𝐵:∠𝐴𝑂𝐷 = 1: 4，则∠𝐵𝑂𝐶 =____∘ . 10.已知∠𝐴𝑂𝐵 = 80∘ ，在其顶点𝑂处引一条射线𝑂𝐶，且∠𝐵𝑂𝐶 = 30∘ ，则∠𝐴𝑂𝐶 =______． 99/103 第 6 章 几何图形初步 6.3.2 角的比较与运算 课时 2 角平分线 知识点 1 角平分线 1.已知𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵内的一条射线，下列条件中不能确定𝑂𝐶 是∠𝐴𝑂𝐵 的平分线的是( ) A.∠𝐴𝑂𝐶 = ∠𝐵𝑂𝐶 B.∠𝐴𝑂𝐵 = 2∠𝐴𝑂𝐶 C.∠𝐴𝑂𝐶 +∠𝐶𝑂𝐵 = ∠𝐴𝑂𝐵 D.∠𝐵𝑂𝐶 = 1 2 ∠𝐴𝑂𝐵 2.如图，直线𝐴𝐵，𝐶𝐷相交于点𝑂 ，𝑂𝐸平分∠𝐴𝑂𝐷，𝑂𝐹平分∠𝐵𝑂𝐷.当直线𝐶𝐷绕点𝑂 顺时针 旋转𝛼(0∘ < 𝛼 < 180∘)时，下列各角的度数与∠𝐵𝑂𝐷 的度数变化无关的角是（ ） A.∠𝐴𝑂𝐷 B.∠𝐴𝑂𝐶 C.∠𝐸𝑂𝐹 D.∠𝐷𝑂𝐹 3.如图，∠𝐵𝑂𝐷 = 118∘ ，∠𝐶𝑂𝐷是直角，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵 ，则∠𝐴𝑂𝐵 的度数为____. 4.如图，点𝐴，𝑂，𝐵 在同一直线上，∠𝐵𝑂𝐶 = 78∘ ，∠𝐷𝑂𝐸 = 77∘ ，𝑂𝐷是∠𝐵𝑂𝐶 的一条靠 近𝑂𝐶 边的三等分线. （1）求∠𝐶𝑂𝐸 的度数； （2）𝑂𝐸是∠𝐴𝑂𝐶 的平分线吗？说明你的理由. 100/103 第 6 章 几何图形初步 知识点 2 角平分线的应用 5.如图，把一个蛋糕分成𝑛 等份，要使每份中的角是45∘ ，则𝑛 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 6.把一个平角 16等分，则每份（用度、分表示）为_________. 7.图（1）中的水车是一种古老的灌溉工具，图（2）是它的示意图，水车的主体的纵截面是一 个圆形，且被等分成了 8 份，三角形𝑂𝐴𝐵 是水车的支架，∠𝐴𝑂𝐵 = 60∘ .水车的支架固定不 动，水车的主体可绕着圆心𝑂 旋转. （1）求∠𝐶𝑂𝐷 的度数； （2）在图（2）中，若𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，求∠𝐵𝑂𝐷 的度数； （3）在水车的旋转过程中，当∠𝐴𝑂𝐵与∠𝐶𝑂𝐷有重合部分时，设∠𝐵𝑂𝐷 的度数为𝑥∘ ，直接 写出∠𝐴𝑂𝐶的度数（用含𝑥 的代数式表示）. 101/103