3.1 列代数式表示数量关系-【基本功】2025-2026学年新教材七年级数学上册同步练习（人教版2024）

第 3 章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课时 1 代数式 知识点 1 代数式的定义 1.在下列各式中，不是代数式的为( ) A.− 3 5 𝑥3 B.𝑥 2 − 𝑦2 = 0 C.2𝑥−1 D.0 2.下列各式：①1𝑦；②1 2 3 𝑥2𝑦；③ 7𝑚2𝑛 3 ；④𝑛 2 3 ；⑤2 023 × 𝑎 × 𝑏 ，其中符合用字母表示数 的书写要求的是____.（填序号） 知识点 2 用代数式表示数 3.下列选项中，能用代数式2(𝑎 + 3) 表示的是( ) A.三角形的周长 B.长方形的周长 C.梯形的面积 D.长方体的体积 4. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知其数， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其意思可以通俗地理解为有一个 正整数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，则这个正整数可以是( ) A.44 B.163 C.263 D.338 39/103 第 3 章 代数式 5.下表是某面包店的价目表，小明原本拿了 4 个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有 优惠活动，优惠方式为每买 5 个面包，其中 1 个价格最低的面包就免费.因此，小明又去拿了 一个，他挑选了香蒜面包，若小明原本结账金额为𝑎 元，则小明后来的结账金额为_________ _____________元.（用含𝑎 的式子表示） 面包品种 甜甜圈 芒果面包 香蒜面包 切片面包 奶香片 奶油面包 单价 5 元 6 元 7.5 元 11 元 12 元 12 元 6.如图是小明用火柴棒拼摆的图案，第 1 个图案用 4 根火柴棒，第 2 个图案用 16 根火柴棒， 第 3 个图案用 28 根火柴棒，⋯ ，依此规律，第𝑛 个图案中所用火柴棒的根数为________. 知识点 3 代数式的意义 7.用文字叙述代数式 1 3 (𝑚 − 2) 的意义，下列叙述正确的是 ( ) A.1 3 𝑚与 2 的差 B.比 1 3 𝑚小 2 的数 C.𝑚与 2 的差的 1 3 D.比2𝑚小1 3 的数 8. 对代数式“5𝑥 ”，我们可以这样解释：香蕉每千克 5 元，某人买了𝑥千克，共付款5𝑥元．请 你对代数式“𝑎 + 2𝑏 ”给出一个实际生活方面的合理解释：_______________________________ ___________________________________________________________________________． 40/103 第 3 章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课时 2 列代数式 知识点 1 列代数式表示数的和差倍分问题 1.下列能够表示比𝑥的 1 2 多 5 的式子为( ) A.1 2 𝑥 + 5 B. 1 2 (𝑥 + 5) C. 1 2 𝑥 − 5 D. 1 2 (𝑥 − 5) 2.列代数式表示：比𝑎 的 2 倍小 1 的数是_______. 知识点 2 列代数式表示销售及储蓄问题 3.智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机的价格也不断地降低.某品牌智能手 机原售价为𝑚元，现打七折，再优惠𝑛 元，那么该手机现在的售价为( ) A.( 10 7 𝑚 − 𝑛)元 B.( 7 10 𝑚 − 𝑛)元 C. 7 10 (𝑚 − 𝑛)元 D. 10 7 (𝑚 − 𝑛) 元 4.一种储蓄的年利率为𝑎%，存入本金一年后的本息和为𝑏 元，则存入的本金为______元.（本 息和=本金+ 利息） 知识点 3 列代数式表示行程问题 5.某船在相距𝑠 km 的 A、B 两个码头之间航行，若该船在静水中的速度是50 km/h，水流速度 是𝑎 km/h ，则该船从 A 到 B 顺水行驶的时间比从 B 到 A 逆水行驶的时间少( ) A.( 𝑠 50+𝑎 − 𝑠 50−𝑎 ) h B.( 2𝑠 50+𝑎 − 2𝑠 50−𝑎 ) h C.( 𝑠 50−𝑎 − 𝑠 50+𝑎 ) h D.( 2𝑠 50−𝑎 − 2𝑠 50+𝑎 ) h 41/103 第 3 章 代数式 6.A、B 两地相距 150 千米，李明驾驶汽车以𝑣 千米/时的速度从 A 地驶往 B 地. （1）李明从 A 地到 B 地需要的时间是多少？ （2）因特殊情况，汽车实际每小时多行驶 10 千米，这时李明从 A 地到 B 地需要的时间是多 少？ （3）在（2）的情况下，李明从 A 地到 B 地比原速行驶少用的时间是多少？ 知识点 4 用代数式表示图形面积问题 7.如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，一枚圆形方孔钱的外半径为𝑟，中间方孔边长 为𝑎 ，则圆形方孔钱的面积可表示为( ) A.π𝑟2 − 𝑎2 B.π𝑟2 + 𝑎2 C.2π𝑟 − 𝑎2 D.2π𝑟 + 𝑎2 8.学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教 育实践需要.某校劳动实践基地有两块边长分别为𝑎，𝑏 的正方形土地 A，B，如图，其中不能 使用的面积为𝑀 .求正方形土地 B 中能使用的面积（用含𝑏，𝑀 的代数式表示）. 42/103 第 3 章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课时 3 正比例和反比例关系 知识点 1 正比例关系 1.表示𝑥和𝑦 成正比例关系的式子是( ) A.𝑥 + 𝑦 = 12 B.𝑦 − 𝑥 = 8 C.𝑥𝑦 = 48 D.𝑦 = 6𝑥 2.下面各组变量的关系中，成正比例关系的是( ) A.人的身高与年龄 B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C.正方形的面积与它的边长 D.圆的周长与它的半径 3.有一种弹簧秤，秤上挂上物品（质量在 100 克以内）时，物品的质量与弹簧伸长的长度情况 如图所示： （1）如果挂质量为 40 克的物品，弹簧伸长的长度是___厘米；当弹簧伸长的长度是 4 厘米时， 所挂物品的质量是____克. （2）弹簧伸长的长度与所挂物品的质量成____比例关系. 43/103 第 3 章 代数式 4.下表是小林家去年上半年每月的用电情况. 月份 1 2 3 4 5 6 用电量/千瓦时 120 130 110 120 130 150 电费/元 60 65 55 60 65 75 （1）分别写出各月电费与用电量的比，比较比值的大小. （2）说明这个比值表示的意义. （3）电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么？ 知识点 2 反比例关系 5.下列图中，两个量𝑎和𝑏 成反比例关系的是( ) A.线段总长为 1 B.圆柱体积为 1 C.三角形面积为 1 D.长方体体积为 1 6.表中𝑥和𝑦两个量成反比例关系，则“△ ”处应填_____. x 5 △ y 7 14 7.下面说法正确的有________.（填序号） ①路程一定，时间与速度成反比例关系； ②工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例关系； ③如果𝑎𝑏 = 9，那么𝑎和𝑏 成反比例关系； ④长方体的体积一定，长方体的底面积与高成反比例关系. 44/103 第 3 章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课时 1 代数式 知识点 1 代数式的定义 1.在下列各式中，不是代数式的为( ) A.− 3 5 𝑥3 B.𝑥 2 − 𝑦2 = 0 C.2𝑥−1 D.0 解析：A 选项，− 3 5 𝑥3是代数式；B 选项，𝑥2 − 𝑦2 = 0 是等式，不是代数式；C 选项，2𝑥−1 是代数式；D 选项，0 是代数式.故选 B. 2.下列各式：①1𝑦；②1 2 3 𝑥2𝑦；③ 7𝑚2𝑛 3 ；④𝑛 2 3 ；⑤2 023 × 𝑎 × 𝑏 ，其中符合用字母表示数 的书写要求的是____.（填序号） 解析：①1𝑦应该书写为𝑦；②1 2 3 𝑥2𝑦应该书写为 5 3 𝑥2𝑦；③ 7𝑚2𝑛 3 书写正确；④𝑛 2 3 应该书写为 2 3 𝑛；⑤2 023 × 𝑎 × 𝑏应该书写为2 023𝑎𝑏 ,只有③符合书写要求，故答案为③. 知识点 2 用代数式表示数 3.下列选项中，能用代数式2(𝑎 + 3) 表示的是( ) A.三角形的周长 B.长方形的周长 C.梯形的面积 D.长方体的体积 解析：A 选项，三角形的周长为𝑎 + 8 ，不符合题意；B 选项，长方形的周长为2(𝑎 + 3)，符 合题意；C 选项，梯形的面积为 1 2 (𝑎 + 2) × 6 = 3(𝑎 + 2) ，不符合题意；D 选项，长方体的体 积为12𝑎 ，不符合题意.故选 B. 56/144 第 3 章 代数式 4. 我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知其数， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”其意思可以通俗地理解为有一个 正整数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，则这个正整数可以是( ) A.44 B.163 C.263 D.338 解析：因为一个正整数，除以 3 余 2，除以 7 余 2，所以这个正整数除以 21 也余 2.因为除以 2 1 余 2 的最小正整数为 23，而23 ÷ 5 = 4⋯⋯3 ，所以满足条件的最小正整数为 23.因为 3，5， 7 的最小公倍数为3 × 5 × 7 = 105 ，所以满足条件的所有正整数为105𝑘 + 23（𝑘为自然数）， 所以当𝑘 = 0时，这个正整数是 23;当𝑘 = 1 时，这个正整数是 128;当𝑘 = 2时，这个正整数是 233;当𝑘 = 3 时，这个正整数是 338，故只有 D 选项符合.故选 D. 5.下表是某面包店的价目表，小明原本拿了 4 个面包去结账，结账时收银员告诉小明，店内有 优惠活动，优惠方式为每买 5 个面包，其中 1 个价格最低的面包就免费.因此，小明又去拿了 一个，他挑选了香蒜面包，若小明原本结账金额为𝑎 元，则小明后来的结账金额为_________ _____________元.（用含𝑎 的式子表示） 面包品种 甜甜圈 芒果面包 香蒜面包 切片面包 奶香片 奶油面包 单价 5 元 6 元 7.5 元 11 元 12 元 12 元 解析：小明原本拿了 4 个面包，若最低价格是 5 元，则小明后来的结账金额为𝑎 + 7.5 − 5 = (𝑎 + 2.5) 元；若最低价格是 6 元，则小明后来的结账金额为𝑎 + 7.5 − 6 = (𝑎 + 1.5) 元；若最低 价格大于或等于 7.5 元，则小明后来的结账金额为𝑎元.故小明后来的结账金额为𝑎或(𝑎 + 1.5)或 (𝑎 + 2.5)元.故答案为𝑎或(𝑎 + 1.5) 或(𝑎 + 2.5) . 6.如图是小明用火柴棒拼摆的图案，第 1 个图案用 4 根火柴棒，第 2 个图案用 16 根火柴棒， 第 3 个图案用 28 根火柴棒，⋯ ，依此规律，第𝑛 个图案中所用火柴棒的根数为________. 57/144 第 3 章 代数式 解析：第 1 个图案中所用火柴棒的根数为4 = 12 × 1 − 8 ，第 2 个图案中所用火柴棒的根数为 16 = 12 × 2 − 8，第 3 个图案中所用火柴棒的根数为28 = 12 × 3 − 8，⋯ ，依此规律，可得 第𝑛个图案中所用火柴棒的根数为12𝑛 − 8，故答案为12𝑛 − 8 . 知识点 3 代数式的意义 7.用文字叙述代数式 1 3 (𝑚 − 2) 的意义，下列叙述正确的是 ( ) A.1 3 𝑚与 2 的差 B.比 1 3 𝑚小 2 的数 C.𝑚与 2 的差的 1 3 D.比2𝑚小1 3 的数 解析： 1 3 (𝑚 − 2)表示𝑚与 2 的差的 1 3 ，故选 C. 8. 对代数式“5𝑥 ”，我们可以这样解释：香蕉每千克 5 元，某人买了𝑥千克，共付款5𝑥元．请 你对代数式“𝑎 + 2𝑏 ”给出一个实际生活方面的合理解释：_______________________________ ___________________________________________________________________________． 答案：一个西瓜的质量是𝑎千克，一个桃子的质量是𝑏千克，那么一个西瓜和两个桃子的质量 和是(𝑎 + 2𝑏)千克（答案不唯一） 58/144 第 3 章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课时 2 列代数式 知识点 1 列代数式表示数的和差倍分问题 1.下列能够表示比𝑥的 1 2 多 5 的式子为( ) A.1 2 𝑥 + 5 B. 1 2 (𝑥 + 5) C. 1 2 𝑥 − 5 D. 1 2 (𝑥 − 5) 解析：比𝑥的 1 2 多 5 的式子为 1 2 𝑥 + 5 .故选 A. 2.列代数式表示：比𝑎 的 2 倍小 1 的数是_______. 解析：比𝑎的 2 倍小 1 的数是2𝑎 − 1.故答案为2𝑎 − 1 . 知识点 2 列代数式表示销售及储蓄问题 3.智能手机已成为人们生活中不可缺少的一部分，智能手机的价格也不断地降低.某品牌智能手 机原售价为𝑚元，现打七折，再优惠𝑛 元，那么该手机现在的售价为( ) A.( 10 7 𝑚 − 𝑛)元 B.( 7 10 𝑚 − 𝑛)元 C. 7 10 (𝑚 − 𝑛)元 D. 10 7 (𝑚 − 𝑛) 元 解析：该手机现在的售价为( 7 10 𝑚− 𝑛) 元.故选 B. 4.一种储蓄的年利率为𝑎%，存入本金一年后的本息和为𝑏 元，则存入的本金为______元.（本 息和=本金+ 利息） 解析：根据题意得存入的本金为 𝑏 1+𝑎% 元.故答案为 𝑏 1+𝑎% . 59/144 第 3 章 代数式 知识点 3 列代数式表示行程问题 5.某船在相距𝑠 km 的 A、B 两个码头之间航行，若该船在静水中的速度是50 km/h，水流速度 是𝑎 km/h ，则该船从 A 到 B 顺水行驶的时间比从 B 到 A 逆水行驶的时间少( ) A.( 𝑠 50+𝑎 − 𝑠 50−𝑎 ) h B.( 2𝑠 50+𝑎 − 2𝑠 50−𝑎 ) h C.( 𝑠 50−𝑎 − 𝑠 50+𝑎 ) h D.( 2𝑠 50−𝑎 − 2𝑠 50+𝑎 ) h 解析：依题意得该船从 B 到 A 逆水行驶的时间为 𝑠 50−𝑎 h ，从 A 到 B 顺水行驶的时间为 𝑠 50+𝑎 h ，则该船从 A 到 B 顺水行驶的时间比从 B 到 A 逆水行驶的时间少( 𝑠 50−𝑎 − 𝑠 50+𝑎 ) h .故选 C. 6.A、B 两地相距 150 千米，李明驾驶汽车以𝑣 千米/时的速度从 A 地驶往 B 地. （1）李明从 A 地到 B 地需要的时间是多少？ 解：李明从 A 地到 B 地需要的时间为 150 𝑣 时. （2）因特殊情况，汽车实际每小时多行驶 10 千米，这时李明从 A 地到 B 地需要的时间是多 少？ 解：速度提高以后，汽车的速度为(𝑣 + 10) 千米/时，则李明从 A 地到 B 地需要的时间为 150 𝑣+10 时. （3）在（2）的情况下，李明从 A 地到 B 地比原速行驶少用的时间是多少？ 解：李明从 A 地到 B 地少用的时间为( 150 𝑣 − 150 𝑣+10 ) 时. 知识点 4 用代数式表示图形面积问题 7.如图，圆形方孔钱是我国古钱币的突出代表，一枚圆形方孔钱的外半径为𝑟，中间方孔边长 为𝑎 ，则圆形方孔钱的面积可表示为( ) 60/144 第 3 章 代数式 A.π𝑟2 − 𝑎2 B.π𝑟2 + 𝑎2 C.2π𝑟 − 𝑎2 D.2π𝑟 + 𝑎2 解析：圆的面积为π𝑟2，中间正方形的面积为𝑎2 ，所以圆形方孔钱的面积为π𝑟2 − 𝑎2 .故选 A. 8.学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味劳动成果的喜悦，满足学生劳动教 育实践需要.某校劳动实践基地有两块边长分别为𝑎，𝑏 的正方形土地 A，B，如图，其中不能 使用的面积为𝑀 .求正方形土地 B 中能使用的面积（用含𝑏，𝑀 的代数式表示）. 解：因为正方形土地 B 的边长是𝑏 ，所以𝑆 正方形土地 B = 𝑏2 .因为正方形土地 B 中能使用的面 积=正方形土地 B 的面积-不能使用的面积𝑀 ，所以正方形土地 B 中能使用的面积为𝑏2 −𝑀 . 61/144 第 3 章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 课时 3 正比例和反比例关系 知识点 1 正比例关系 1.表示𝑥和𝑦 成正比例关系的式子是( ) A.𝑥 + 𝑦 = 12 B.𝑦 − 𝑥 = 8 C.𝑥𝑦 = 48 D.𝑦 = 6𝑥 解析：根据正比例关系的概念可知，成正比例关系的两个量的比值一定.故选 D. 2.下面各组变量的关系中，成正比例关系的是( ) A.人的身高与年龄 B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C.正方形的面积与它的边长 D.圆的周长与它的半径 解析：两个量成正比例，则比值一定. A 选项，人的身高与年龄不成正比例关系，故此选项不 符合题意；B 选项，两个量的乘积一定，故此选项不符合题意；C 选项，正方形的面积与它的 边长的平方比值一定，故此选项不符合题意；D 选项，两个量比值一定，成正比例关系，故此 选项符合题意.故选 D. 3.有一种弹簧秤，秤上挂上物品（质量在 100 克以内）时，物品的质量与弹簧伸长的长度情况 如图所示： 62/144 第 3 章 代数式 （1）如果挂质量为 40 克的物品，弹簧伸长的长度是___厘米；当弹簧伸长的长度是 4 厘米时， 所挂物品的质量是____克. 解析：由题图可知，如果挂质量为 40 克的物品，弹簧伸长的长度是 8 厘米.当弹簧伸长的长度 是 4 厘米时，所挂物品的质量是 20 克. （2）弹簧伸长的长度与所挂物品的质量成____比例关系. 解析：2 ÷ 10 = 0.2，4 ÷ 20 = 0.2，6 ÷ 30 = 0.2，⋯ ，故弹簧伸长的长度与所挂物品质量 的比值一定，即成正比例关系. 4.下表是小林家去年上半年每月的用电情况. 月份 1 2 3 4 5 6 用电量/千瓦时 120 130 110 120 130 150 电费/元 60 65 55 60 65 75 （1）分别写出各月电费与用电量的比，比较比值的大小. 解：1 月：60: 120 = 1: 2 ，比值为 0.5； 2 月：65: 130 = 1: 2 ，比值为 0.5； 3 月：55: 110 = 1: 2 ，比值为 0.5； 4 月：60: 120 = 1: 2 ，比值为 0.5； 5 月：65: 130 = 1: 2 ，比值为 0.5； 63/144 第 3 章 代数式 6 月：75: 150 = 1: 2 ，比值为 0.5. 各月电费与用电量的比值相等. （2）说明这个比值表示的意义. 解：电费与用电量的比值是每千瓦时的电价. （3）电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么？ 解：电费与相应的用电量成正比例关系.理由：通过（1）的计算可知，电费与相应的用电量的 比值一定，是0.5 ，所以电费与相应的用电量成正比例关系. 知识点 2 反比例关系 5.下列图中，两个量𝑎和𝑏 成反比例关系的是( ) A.线段总长为 1 B.圆柱体积为 1 C.三角形面积为 1 D.长方体体积为 1 解析：A 选项，𝑎 + 𝑏 = 1，𝑎，𝑏的和一定，𝑎和𝑏不成比例关系，不符合题意. B 选项，π𝑎2𝑏 = 1， 则𝑎2𝑏 = 1 π ，即𝑎2和𝑏的积一定，𝑎和𝑏 不成比例关系，不符合题意. C选项，𝑎 × 𝑏 ÷ 2 = 1，则𝑎 × 𝑏 = 2，即𝑎和𝑏的积一定，则𝑎和𝑏 成反比例关系，符合题意. D选项，𝑎 × 𝑏 × 𝑏 = 1，则𝑎 × 𝑏2 = 1，即𝑎和𝑏2的积一定，𝑎和𝑏 不成比例关系，故不符合题意.故选 C. 6.表中𝑥和𝑦两个量成反比例关系，则“△ ”处应填_____. x 5 △ y 7 14 解析：由题知14△ = 7 × 5 = 35，所以△ = 35 ÷ 14 = 2.5，则“△ ”处应填 2.5. 7.下面说法正确的有________.（填序号） 64/144 第 3 章 代数式 ①路程一定，时间与速度成反比例关系； ②工作效率一定，工作总量和工作时间成反比例关系； ③如果𝑎𝑏 = 9，那么𝑎和𝑏 成反比例关系； ④长方体的体积一定，长方体的底面积与高成反比例关系. 解析：①已知路程= 时间×速度，当路程一定时，时间和速度的乘积是一定的，所以时间与速 度成反比例关系，故此说法正确，符合题意；②工作效率一定，工作总量和工作时间成正比 例关系，故此说法错误，不符合题意，③𝑎和𝑏 的乘积为 9,是一定的，那么𝑎和𝑏 成反比例关 系，故此说法正确，符合题意；④已知长方体的体积= 底面积×高，当长方体的体积一定时， 底面积和高的乘积是一定的,所以长方体的底面积与高成反比例关系，故此说法正确，符合题 意.故答案为①③④. 65/144