复习课第05讲 二次函数与三角形存在性问题 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第05讲 二次函数与三角形存在性问题 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 等腰三角形的存在性问题 【题型二】 直角三角形的存在性问题 【题型三】 全等三角形的存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握二次函数的图象与性质； 2.掌握等腰三角形的存在性问题，会进行分类讨论； 3.掌握直角三角形的存在性问题，会进行分类讨论； 1 等腰三角形的存在性问题 (1)分类讨论 若为等腰三角形，则以哪边为腰为准分类讨论：①，②，③. (2)动点产生等腰三角形的一般解法 ① 代数法 (i)列出的坐标，动点用参数表示； (ii)求出长度； (iii)根据分类列方程①，②，③. ② 几何法 若，则作中垂线，再根据题意求解；其他两种其他同理. 2 直角三角形的存在性问题 (1)分类讨论 若为直角三角形，则以哪角为直角为准分类讨论：①，②，③. (2)动点产生直角三角形的一般解法 ① 代数法 (i)列出的坐标，动点用参数表示； (ii)求出长度的平方； (iii)根据分类列方程①，②，③. ② 几何法 当，若是定线段，则为直径作圆，再根据题意求解； 若是定线段，则过点作，再根据题意求解； 其他两种其他同理. 具体解法可得使用到相似三角形或直线斜率关系等. 【题型一】 等腰三角形的存在性问题 【典题1】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，与轴交于点得，解出、的值，即可求解； （2）设点，利用待定系数法求出直线的解析式为，即点，再根据求出的表达式，最后根据二次函数的顶点公式求得最大值即可； （3）分两种情况讨论：当时；当时；即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，与轴交于点， ， 解得：， ； （2）解：设点， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的表达式为：， 即点， ， ， ， 时，开口向下，当时，有最大值， ； （3）解：存在以为腰的等腰三角形，有以下两种情况： 当时，过作于点，则点为的中点，即， ， ， ，（舍去）； 当时， ， ， ，（舍去）， 综上所述：当或时，存在以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 变式练习 1（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． 将代入，则， ∴， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 2 （2025·安徽淮南·二模）如图，抛物线（）. (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点. ①若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，求的值； ②当时，若点是该抛物线位于轴上方的一点，且，求的最大值. 【答案】(1) (2)①当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，或；②当时，有最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入解析式，解答即可. （2）①先确定A，B，C的坐标，再根据等腰三角形的定义去分类解答即可，注意c的正数性质的应用； ②当时，确定抛物线的解析式，根据点是该抛物线位于轴上方的一点，构造新二次函数，结合，利用二次函数的最值，求的最大值. 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得. （2）解：当时，， ∴， 解得或， ∵点在点的左侧， ∴点坐标为，点坐标为， ∴； 当时，， ∴点坐标为. ①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 分两种情况： （ⅰ）当时，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； （ⅱ）当时，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，或； ②当时，抛物线的函数表达式为， ∵点在该抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是该抛物线位于轴上方的一点， ∴，即， 解得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为. 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，等腰三角形的定义，解方程，构造二次函数求最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键. 【题型二】 直角三角形的存在性问题 【典题1】（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，，， 【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可； （2）分三种情形：当为斜边时，当为斜边时，当为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：存在．理由如下： 由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线， ∵， 当时，， ∴， ∴设点． 由点，，的坐标，得 ，， ． 当为斜边时，， 整理得：， 解得或， ∴点或； 当为斜边时，， 解得， ∴点； 当为斜边时，， 解得， ∴点． 综上所述，点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题． 变式练习 1（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求拋物线的表达式． (2)点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值． (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），将点代入关系式得出答案； 对于（2），过点P作轴，垂足为M，交于点D，再设点P的横坐标为m，可得，求出，根据二次函数的最值可得答案； 对于（3），分两种情况讨论，即当和时两种情况，结合等腰直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， 得， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：当时，， ∴点．　 设直线的关系为 ∵点，， ∴ 解得， ∴． 过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则，则， ∴， ． ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，的最大值为； （3）解：． 如图，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴对称， ∴点； 如图所示，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴ ， ∴，， ∴． 设，则点， ∴， 解得（舍去），， ∴点． 故答案为：点或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数的最值，等腰直角三角形的判定，二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 【题型三】 全等三角形的存在性问题 【典题1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 【答案】(1) (2)①，；②当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的函数解析式即可； （2）根据解析式求出相关线段的长度，再分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：依题意，得 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴，， ∴，． 在中，令， 解得，， ∴，． ∵，， ∴当以M，N，P为顶点的三角形与全等时，E与N是对应点． ①若，，如图1，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． ②若，，如图2，则． 在中，令，得． 解得（大于0，舍去），， ∴，， ∴，． 综上所述，若以M，N，P为顶点的三角形与全等，则当M的坐标为时，点P的坐标为或；当M的坐标为时，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法、抛物线的顶点、与坐标轴的交点、全等三角形判定等知识，解决此题的关键是由数形结合列出方程． 变式练习 1（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 2（2023·广西桂林·模拟预测）已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 【答案】(1) (2) (3)点坐标分别为或，点的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点是，则直线与抛物线对称轴的交点就是点，即可求解； （3）将先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点对应的点落在抛物线上，根据抛物线知点的横坐标为4或，进而求解． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，即， 又函数过点、， 则，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点关于抛物线对称轴的对称点是， 直线与抛物线对称轴的交点就是点， 抛物线的对称轴是， 把代入得，，即点； （3）解：即， 又抛物线的对称轴为， 将先向右平移一个单位，再向下平移适当单位长度，就使点对应的点落在抛物线上，根据抛物线知点的横坐标为4或． 在中，当时，；当时， 点坐标分别为或， 又点的纵坐标为．则的纵坐标为或， 对称轴上的点的坐标为或，， 综上所述：点坐标分别为或，点的坐标为或． 【A组---基础题】 1．（19-20九年级上·山西·阶段练习）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与x轴交于点（﹣1，0），（1，0），与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B、C两点，则下列结论中，不正确的是（　　） A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形 B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45° C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形 D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形 【答案】D 【分析】令 可求出点A的坐标，然后移动直线 与抛物线交于B,C两点，对照选项逐一进行判断即可. 【详解】解：如图， 点A为二次函数图象的顶点，当AB＝AC时，直线y＝kx平行于x轴，即k＝0，此时△ABC为等腰直角三角形，不是等边三角形，故选项D不符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的结合，利用数形结合的思想是解题的关键. 2．（18-19九年级·全国·单元测试）设、、为实数，且，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点在直线上.若是直角三角形，则面积的最大值是（    ）. A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据已知条件设出抛物线与x轴的交点，由射影定理的逆定理可求出c2＝（−x1）x2＝−x1x2，由根与系数的关系及抛物线的顶点坐标可求出4a＝4＋b2，且a≥1，再由三角形的面积公式及a的取值范围可求出其最大面积． 【详解】设y＝ax2＋bx＋c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2， 由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2＝（−x1）x2＝−x1x2（射影定理的逆定理）， 由根与系数的关系得，x1＋x2＝−，x1•x2＝， 所以c2＝−，c＝−， 又＝−1，即4a＝4＋b2，且a≥1， 所以S△ABC＝|c|•|x1−x2|＝ (x1＋x2)2−4x1x2， ＝ ， ＝≤1， 当且仅当a＝1，b＝0，c＝−1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点、三角形的面积公式及根与系数的关系，有一定的综合性，但难度适中． 3．（16-17九年级上·重庆合川·期中）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】C 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC． ∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH， ∴AD=BE=BF=CG=CH=AK． ∵折叠后是一个三棱柱， ∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形． ∴∠ADO=∠AKO=90°． 连结AO， 在Rt△AOD和Rt△AOK中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）． ∴∠OAD=∠OAK=30°． 设OD=x，则AO=2x， 由勾股定理就可以求出AD=x， ∴DE=6-2x， ∴纸盒侧面积=3x（6-2x）=-6x2+18x， =-6（x-）2+， ∴当x=时，纸盒侧面积最大为． 故选：C． 【点睛】考点：1．二次函数的应用；2．展开图折叠成几何体；3．等边三角形的性质． 4（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2； （3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，解得， ∴， 将，代入得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线为，将代入得：，解得， 直线为， ，，D是中点， ， 过点P作轴交于点Q，如图： 设，则， ， ， ，， 时，有最大值，最大值为2； 即面积的最大值是2； （3）解：由得抛物线的对称轴为直线， 根据题意，设， ∴，，， 若是等腰三角形，分三种情况： 当时，， 则，解得，不合题意，舍去； 当时，， 则，解得，此时； 当时，， 则，解得或， 此时或， 综上，满足条件的点P的坐标为或或． 5（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数综合，全等三角形的性质等等： （1）根据题意把顶点代入到解析式的顶点式中，即可求解； （2）设，则，根据全等三角形的性质得到，求出的值，当 时，点位于直线的右侧，此时， ，求出点的坐标为，即可求解； 当 时，点位于直线的左侧，同理可解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设抛物线的表达式为：； （2）解：在中，当 时，， ∴， 当时，即，解得：， 俗， ， 设，则， ∵和全等，且， ∴， ， 或． ①当 时，点位于直线的右侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． ②当 时，点位于直线的左侧， 此时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴对应点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或，点的坐标为或． 6（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用 即可求解． 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论： ①当A、P重合，∠时，此时，可联立直线和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ②，即直线，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出的长，由于，那么、，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ③当时，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ④当，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①如图1，当A、P重合，∠时，此时， ∵， ∴， 设，则，， ∴． 设直线， ∴， ∴， ∴直线，联立抛物线的解析式， ∴， 解得或 故， ∴； ②作轴于点Q，当∠时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴ ∴； ③如图3，当时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图4，当，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为：． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解题关键是一定要注意进行分类讨论． 2（24-25九年级下·山西·阶段练习）综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，的面积最大，最大面积为 (3)或或或． 【分析】（1）由，，得．将，代入即可求得抛物线的表达式，进而可求得点的坐标，即可用待定系数法求直线的表达式； （2）用表示点的坐标为，可得，根据即可得出关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可求解； （3）设点的坐标为．可得，，．分三种情况： ①当为斜边时，，②当为斜边时，，③当为斜边时，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解： ，， ． 将，代入得解得 二次函数的表达式为． 在二次函数的图象上， ，D． 设直线的表达式为， 把，代入得 解得， 直线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴的平行线交于点． 点的横坐标为， 点的坐标为， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． （3）解：存在，点的坐标为或或或． ， 对称轴为直线，点的坐标为，设点的坐标为． ，，． 分三种情况： ①当为斜边时，，即． 解得，， 点的坐标为或． ②当为斜边时，，，解得， 点的坐标为． ③当为斜边时，， ，解得， 点的坐标为． 综上所述，存在点使得为直角三角形，且点的坐标为或或或． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形存在性质问题等，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数与三角形存在性问题 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 等腰三角形的存在性问题 【题型二】 直角三角形的存在性问题 【题型三】 全等三角形的存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握二次函数的图象与性质； 2.掌握等腰三角形的存在性问题，会进行分类讨论； 3.掌握直角三角形的存在性问题，会进行分类讨论； 1 等腰三角形的存在性问题 (1)分类讨论 若为等腰三角形，则以哪边为腰为准分类讨论：①，②，③. (2)动点产生等腰三角形的一般解法 ① 代数法 (i)列出的坐标，动点用参数表示； (ii)求出长度； (iii)根据分类列方程①，②，③. ② 几何法 若，则作中垂线，再根据题意求解；其他两种其他同理. 2 直角三角形的存在性问题 (1)分类讨论 若为直角三角形，则以哪角为直角为准分类讨论：①，②，③. (2)动点产生直角三角形的一般解法 ① 代数法 (i)列出的坐标，动点用参数表示； (ii)求出长度的平方； (iii)根据分类列方程①，②，③. ② 几何法 当，若是定线段，则为直径作圆，再根据题意求解； 若是定线段，则过点作，再根据题意求解； 其他两种其他同理. 具体解法可得使用到相似三角形或直线斜率关系等. 【题型一】 等腰三角形的存在性问题 【典题1】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．点是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为．过点作轴，与交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式练习 1（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 (1)求抛物线解析式； (2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 2 （2025·安徽淮南·二模）如图，抛物线（）. (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点. ①若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，求的值； ②当时，若点是该抛物线位于轴上方的一点，且，求的最大值. 【题型二】 直角三角形的存在性问题 【典题1】（2025·陕西榆林·三模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习 1（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求拋物线的表达式． (2)点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值． (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【题型三】 全等三角形的存在性问题 【典题1】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，其顶点为D，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式． (2)M是该抛物线上在第三象限内的一点，过点M作轴于点N，P是x轴上一点，要使以M，N，P为顶点的三角形与全等，求满足条件的点M，P的坐标． 变式练习 1（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2（2023·广西桂林·模拟预测）已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标； (3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）． 【A组---基础题】 1．（19-20九年级上·山西·阶段练习）已知抛物线y＝x2﹣1与y轴交于点A，与x轴交于点（﹣1，0），（1，0），与直线y＝kx（k为任意实数）相交于B、C两点，则下列结论中，不正确的是（　　） A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形 B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两个角为45° C．存在实数k，使得△ABC为直角三角形 D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形 2．（18-19九年级·全国·单元测试）设、、为实数，且，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点在直线上.若是直角三角形，则面积的最大值是（    ）. A．1 B． C．2 D．3 3．（16-17九年级上·重庆合川·期中）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是 A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 4（2025·广东云浮·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值． (3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标 5（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，抛物线的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为直线l，点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P、D、E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P和点E的坐标． 6（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【B组---提高题】 1（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 2（24-25九年级下·山西·阶段练习）综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，与直线交于点，，已知，，且． (1)求点的坐标及直线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，若点的横坐标为，试用含的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积为多少． (3)如图2，设抛物线的对称轴为，在直线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$