复习课第04讲 实际问题与二次函数 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第04讲 实际问题与二次函数 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 销售问题 【题型二】 图形问题 【题型三】 投球、拱桥问题 【题型四】 投球问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握求二次函数最值的方法； 2.会利用二次函数解决实际问题. 1 二次函数的最值 (1) ； (2) (3) 获得最值. 2 实际问题与二次函数 (1)实物抛物线 ① 根据题意，结合函数图像求出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 根据图像，结合所求解析式解决问题。 (2)实际问题中的最值 ① 分析问题中的数量关系，列出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 检验的值是否在自变量取值范围内，并求相关的值； ④ 解决提出的实际问题。 (3)结合几何图形 ① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题. 【题型一】 销售问题 【典题1】（2025·江苏无锡·二模）某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … (1) ， ， ； (2)当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润(售价成本)销售量】 (3)由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 变式练习 1（24-25九年级上·重庆·期中）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润或亏损时就会及时停产，某公司生产季节性产品，一年中第月获得的利润和对应月份之间的函数表达式为，则该公司一年12个月中应停产的所有月份是（   ） A．6 B．1，11 C．1，6，11 D．1，11，12 2（2025·天津西青·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【题型二】图形问题 【典题1】 （24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 变式练习 1（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 2（2025·甘肃陇南·三模）在中，，点D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形，如图1所示．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 3（2025·河南漯河·一模）如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． (1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值． (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？ 4（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【题型三】拱桥问题 【典题1】（2025·陕西咸阳·三模）一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值． 变式练习 1（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 2（2025·河南新乡·二模）如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． (3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： 【题型四】 投球问题 【典题1】（2025·湖北·三模）为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表： 1 2 4 6 7 … 2.25 3 2.25 … (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度； (3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分． 变式练习 1（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2（2025·湖北孝感·二模）某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； (2)问甲投出的这个球能否准确命中？ (3)此时，若对方队员乙在甲前面附近处准备跳起拦截，已知乙跳起的最大摸高为，如果队员乙要拦截成功，那么他离甲不能超过多少？（参考数据：，，，，） 【A组---基础题】 1（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 3（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4（2025·天津南开·一模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元．有下列结论： ①当定价为70元时，每星期的利润为6000元； ②当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为6250元； ③当每星期的利润为6160元时，定价可以为62元或68元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 6（2025·天津滨海新·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度；②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7（2025·山东青岛·二模）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题： (1)求销售利润与销售单价的关系式； (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 8（2025·湖北武汉·三模）如图1所示发石车是古代的一种远程攻击武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与 x轴平行，点B与 y轴的距离为18米，与x轴的距离为3米． (1)若发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C），求a的取值范围． 【B组---提高题】 1（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实际问题与二次函数 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 销售问题 【题型二】 图形问题 【题型三】 投球、拱桥问题 【题型四】 投球问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握求二次函数最值的方法； 2.会利用二次函数解决实际问题. 1 二次函数的最值 (1) ； (2) (3) 获得最值. 2 实际问题与二次函数 (1)实物抛物线 ① 根据题意，结合函数图像求出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 根据图像，结合所求解析式解决问题。 (2)实际问题中的最值 ① 分析问题中的数量关系，列出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 检验的值是否在自变量取值范围内，并求相关的值； ④ 解决提出的实际问题。 (3)结合几何图形 ① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题. 【题型一】 销售问题 【典题1】（2025·江苏无锡·二模）某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … (1) ， ， ； (2)当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润(售价成本)销售量】 (3)由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 【答案】(1)2880，460，3220； (2)当周销售量最大时，面包的售价为25元； (3)2 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先由待定系数法求出关于的函数解析式，然后求出每件的成本，求出，再根据周销售利润(售价成本)销售量求出，； （2）设周销售利润为w（元），根据周销售利润(售价成本)销售量，建立关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设周销售利润为w（元），此时新成本为，根据周销售利润(售价成本)销售量，建立关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意设， 由表格得：， 解得：， ∴， 则每个成本为：（元）， ∴， ， ， 故答案为：2880，460，3220； （2）解：设周销售利润为w（元），则， ∴当时， w有最大值4500元， 答：当周销售量最大时，面包的售价为25元； （3）解：设周销售利润为w（元）， 则， 对称轴，而由题意， ∴当时，w有最大值， ∴． 变式练习 1（24-25九年级上·重庆·期中）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润或亏损时就会及时停产，某公司生产季节性产品，一年中第月获得的利润和对应月份之间的函数表达式为，则该公司一年12个月中应停产的所有月份是（   ） A．6 B．1，11 C．1，6，11 D．1，11，12 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．知道利润y和月份n之间函数关系式，求利润y大于0时x的取值． 【详解】解：由题意知，一年中第月获得的利润和对应月份之间的函数表达式为， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故停产的月份是1月、11月、12月． 故选：D． 2（2025·天津西青·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断①；根据总利润单件利润销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③． 【详解】解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；故①正确； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故②正确； ③设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为57.5元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③正确． 正确结论的个数是3个， 故选∶D． 3（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出400个，调查表明：该台灯的售价不超过50元（售价为整数），台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月5250元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)这种台灯的售价应定为元 (3)台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列代数式，正确理解题意列出代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个列式求解即可； （2）根据题意可得每个台灯的利润为元，再根据总利润等于每个台灯的利润乘以销售量列出方程求解即可； （3）设月销售利润为W元，根据总利润等于每个台灯的利润乘以销售量列出W关于x的二次函数关系式，再求出x的取值范围，即可利用二次函数的性质求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴， 答：这种台灯的售价应定为元； （3）解：设月销售利润为W元， 由题意得， ， ∵该台灯的售价不超过50元（售价为整数）， ∴， 解得，且x为非负整数， ∵， ∴当时，W随x增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， ∴此时， 答：台灯售价定为50元时，月销售利润最大，最大利润是6000元． 【题型二】图形问题 【典题1】 （24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图①，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为，连接，以为一边作正方形，连接，设的面积为，与t之间的函数关系如图②所示． (1)______，______； (2)当为何值时，的面积最小？请求出这个最小值； (3)当为何值时，为等腰三角形？请直接写出结果． 【答案】(1)2，5 (2)当时，的面积最小，且最小值为 (3)当或或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据图②的面积，可得矩形的长和宽； （2）由题意得，，根据三角形的面积公式可得y与t的关系式，由图②得：，代入可得结论； （3）当为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算和的长，可得t的值． 【详解】（1）解：图②知，， 当时，P与A重合，， 即， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：2，5； （2）由题意得，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 当时，的面积最小，且最小值为； （3）当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，如下图所示，过F作于G， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当时，如下图所示，点E在的延长线上，此时四边形是正方形，， ； 当时，如下图所示，过点E作于点G， ， ， 同理得：， ， ， 综上所述：当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理得运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强． 变式练习 1（24-25九年级下·安徽安庆·期中）如图，农民伯伯在自家院子靠墙边建一块矩形菜地，墙的最大长度为，另三边用总长的栅栏围成．若菜地的最大面积为，则a的值是（   ） A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用．已知矩形的长和周长可表示宽，运用公式表示面积，求当时，的范围，进而即可得到a的值，即可回答问题 【详解】解：设，则，劳动教育基地的面积为y， 根据题意得：， ∵墙的最大长度为， ∴， ∵最大值， ∴，即或（不合题意舍去）， ∴． 故选：A． 2（2025·甘肃陇南·三模）在中，，点D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形，如图1所示．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数解析式，在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式即可求解． 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：（舍）或， ∴， 故选：D． 3（2025·河南漯河·一模）如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． (1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值． (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)162 (3)当时，取得最大值，最大值为180 【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论； （2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值； （3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵的长为米， ∴米， ∴（平方米）， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 解得， （平方米）， 的值为162平方米； （3）解：． 墙长为18米，正前方有两个1米宽的门， . ， 抛物线开口向下， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为． 4（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 【题型三】拱桥问题 【典题1】（2025·陕西咸阳·三模）一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为31.6米 【分析】（1）先理解题意，则设该抛物线的函数表达式，再把代入，进行计算得，即可作答． （2）设点，，则，将转化为，利用二次函数最值解答即可． 本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的线段综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是． ∴，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式， ∵高度， ∴把代入， 得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式， （2）解：由（1）得，对称轴为直线， ∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上， 设点， ∵点，关于对称轴对称， 则， ∴， ∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为31.6米． 变式练习 1（2025·山西朔州·模拟预测）如图1是位于山西省东南部的晋城西门外的景德桥；它横跨于沁水河上，是我国一座著名的古代单孔敞肩式弧形拱桥，它是晋城通往沁水河阳城地区交通干道上的一座重要桥梁．按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升2.7米后，水面宽等于（   ） A．米 B．米 C．3.7米 D．2.7米 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际问题，先计算出水面的纵坐标，然后求出水位上升2.7米后，点，的横坐标，然后求出水面宽即可． 【详解】解：∵水面宽米， ∴点的横坐标为， ∴， 当水位上升2.7米后，， 令，则， 解得，， ∴水面宽等于， 故选：A． 2（2025·河南新乡·二模）如图是某地的拱形彩灯门，其横截面如图所示，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段，构成，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中，，，为的中点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作两条长度相等且垂直于地面的撑杆 和，连接支撑点，再做一条撑杆，求所需撑杆长度和的最大值． (3)如图，为迎佳节，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，要求挂满后成轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，每两个相邻灯笼之间的水平距离相等且至少间隔，假设灯笼的高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据： 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、二次函数的图象一性质、一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系求出悬挂灯笼的两个端点的距离大约是，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 设点的坐标是，则有撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需撑杆长度和的最大值为； 因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 【详解】（1）解： ，， 抛物线顶点的坐标是， 为的中点，， 点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 则有， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是， 则，， 则撑杆的长度和是， 整理得：， 当时，所需撑杆长度和的最大值为； （3）解：当时，可得：， 整理得：， ，， 最多可以悬挂灯笼的数量是个． 【题型四】 投球问题 【典题1】（2025·湖北·三模）为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表： 1 2 4 6 7 … 2.25 3 2.25 … (1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围） (2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度； (3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分． 【答案】(1)； (2)米； (3)小宇此次掷球不能得满分． 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值、自变量的值的计算是关键． （1）根据表格得到顶点为，设函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）令，根据函数解析式求函数值即可； （3）令，求自变量的取值即可． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，可得二次函数的对称轴是直线， ∴顶点为， ∴设函数表达式为， 又∵抛物线过， ∴． ∴， ∴实心球运动的高度与水平距离的函数表达式为． （2）解：由题意，结合（1），令， ∴， ∴实心球出手时的坐标为， ∴出手时的高度为米． （3）解：由题意，令， ∴或（不合题意，舍去）， ∴实心球从起点到落地点的水平距离为， ∴小宇此次掷球不能得满分． 变式练习 1（2025·天津·二模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 2（2025·湖北孝感·二模）某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； (2)问甲投出的这个球能否准确命中？ (3)此时，若对方队员乙在甲前面附近处准备跳起拦截，已知乙跳起的最大摸高为，如果队员乙要拦截成功，那么他离甲不能超过多少？（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)能投中 (3)他离甲不能超过 【分析】（1）由题意，球出手点的坐标，顶点坐标是，根据题意，不妨设二次函数解析式为，将代入得：，解答即可； （2）计算时的函数值，等于3命中，否则不命中． （3）计算时自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，球出手点的坐标，顶点坐标是， 设二次函数解析式为， 将代入得：， 解得：， （或）． （2）解：能投中； 理由如下： 将代入抛物线解析式， 篮圈中心的坐标是， 一定能投中． （3）解：当时，， 解得：，（舍去）， ， 他离甲不能超过m． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求函数值，求自变量的值，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【A组---基础题】 1（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 2（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解决利润问题，解题的关键是找到等量关系列出函数及配方． 根据利润利润单价数量即可得到利润关于销售单价的函数关系式，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：设销售单价为x元，月销售利润为y元，由题意可得， ， 且， ∴， ∵， ∴当时，y最大． 故选：D． 3（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 4（2025·天津南开·一模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元．有下列结论： ①当定价为70元时，每星期的利润为6000元； ②当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为6250元； ③当每星期的利润为6160元时，定价可以为62元或68元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键． 设每涨价元，获得的总利润为元，根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每涨价元，获得的总利润为元， 有题意得：， ， 当定价为70元时，， 每星期的利润为：元，故①正确； 当定价为65元时，， ∵时，的值最大， ∴当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为元，故②正确； 当每星期的利润为6160元时，有， 解得：， ∴定价为元或元，故③正确； 综上所述，正确的个数为3个， 故选：D． 5（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 6（2025·天津滨海新·二模）有一斜坡，斜坡上点处有一棵树，．如图建立平面直角坐标系，从点处抛出一个小球，恰好经过树的顶端，落地点为．小球距离水平地面的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①这棵树的高度； ②小球运动的最大高度为； ③小球运动时的高度低于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定和性质等知识，求出函数解析式是关键．求出函数解析式，延长交于点B，则轴于点E，作于点D，证明，则，得到，，求出，即可得到，即可判断①正确；由，，抛物线开口向下，即可判断②正确； 当时，，当时，，，即可判断③正确． 【详解】解：把代入得到， ， 解得，， ∴， 延长交于点B，则轴于点E，作于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点和点的横坐标为， 当时，， ∴， ∴ 故①正确； ∵，，抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为， 即小球运动的最大高度为； 故②正确； 当时，， 当时，， ∵ ∴小球运动时的高度低于运动时的高度． 故③正确； 综上可知，正确结论为①②③， 故选：D 7（2025·山东青岛·二模）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按每件25元出售，那么每天可销售250件．经调查发现，这种日用品的销售单价每提高5元，其销售量就减少50件．设销售单价为（元），销售利润为（元），解答下列问题： (1)求销售利润与销售单价的关系式； (2)为了扩大利润，该商店决定开辟线上网店销售渠道，线上和线下售价保持一致．经过调研，线上每天所获销售利润（元）与销售单价（元）的关系可以近似地用二次函数来刻画，其图象如图所示．物价部门规定，售价不得高于40元，当售价为多少元时，线上和线下的利润之和最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为40元时，线上和线下销售的利润之和最大，最大利润是8200元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解题的关键． （1）根据利润数量每件的利润建立与的关系式即可； （2）先用待定系数法求出的解析式，再建立与的函数解析式，由函数的性质和的最大值确定取值范围． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故销售利润与销售单价的关系式为； （2）解：把代入， 得到：， 解得， ， 设线上线下利润之和为元， 则， ， 故当时，最大，最大值为． 故当售价为元时，线上和线下的利润之和最大，最大利润为． 8（2025·湖北武汉·三模）如图1所示发石车是古代的一种远程攻击武器，将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块看作一个点，其飞行路线近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与 x轴平行，点B与 y轴的距离为18米，与x轴的距离为3米． (1)若发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C），求a的取值范围． 【答案】(1)①；②石块不能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）①由题意可得抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式计算即可得解；②求出当时，的值，与比较即可得解； （2）将代入解析式得出，从而推出抛物线的解析式为，分别计算出当石块恰好落在点上时，当石块恰好落在点时，的值即可得解． 【详解】（1）解：①∵发射的石块在空中飞行的最大高度为5米， ∴抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②在中，当时，， ∵， ∴石块不能飞越防御墙； （2）解：将代入解析式可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当石块恰好落在点上时，将代入可得， 解得， 当石块恰好落在点时，将代入可得， 解得， ∵抛物线开口向下，，要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B 、C）， ∴的取值范围为． 【B组---提高题】 1（2025·江西抚州·一模）【问题情境】：为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图1所示的矩形用地，其中种植金银花的区域的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段，组成的封闭图形，点A，B分别在矩形的边，上．现要对该金银花种植区域重新进行规划，以种植不同颜色的金银花，学校面向全体同学征集设计方案． 如图2，，P是抛物线的顶点，于T，且．榕榕设计的方案如下： 第一步：用篱笆沿线段分隔出区域，种植白色金银花； 第二步：点C，E在抛物线上（不与A，B重合），点D，F在上，，都平行于，在的左侧，且，之间的距离等于，用篱笆沿，将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植黄金银花，红金银花，紫金银花． 【方案实施】学校采用了榕榕的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩7m篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完篱笆材料，需确定与之间的距离．为此，榕榕在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴，以为1个单位长度，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的解析式； (2)求篱笆材料恰好用完时与之间的距离； 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)与之间的距离为1． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，主要涉及到二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，由待定系数法即可求解； （2）先求出直线的解析式，然后设C的横坐标为m，E的横坐标为，表示出，，然后解方程即可． 【详解】（1）解：解法一： 平面直角坐标系如图所示， 设抛物线的解析式为（）， 由题意知，，对称轴为直线， 即，， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； 解法二： 平面直角坐标系如图所示， 由题意知，，，对称轴为直线， 设抛物线的解析式为（）， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，之间的距离等于， 设C的横坐标为m，E的横坐标为， ∴，， 设直线解析式为，代入得：，解得：， ∴直线解析式为， ∴，， ∴，， ∴， ∴，解得或． ∵在的左侧， ∴与之间的距离为1． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$