第01讲 因式分解的意义与提取公式法（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（沪教版2024）

第01讲 因式分解的意义与提取公式法（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断是否是因式分解 典型例题二 已知因式分解的结果求参数 典型例题三 公因式 典型例题四 提公因式法分解因式 典型例题五 利用提公因式法化简求值 典型例题六 提公因式法的综合应用 知识点01 因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【详解】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意； B、等式右边分母含有字母不是因式分解，故本选项不符合题意； C、等式的右边不是整式的积的形式，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了因式分解中十字相乘法．直接利用多项式乘法进而得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 则，， 解得：，， 故． 故答案为：8． 知识点02 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式； 对所求式子进行因式分解，然后整体代入计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【即时训练】 2．（2025·上海青浦·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．首先确定公因式，然后提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【典型例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】A、是整式的乘法，此项不符题意； B、没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意； C、没有将一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，此项不符题意； D、，此项符合题意； 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：符合因式分解的定义，则A符合题意， ，则B不符合题意， 中等号右边不是积的形式，则C不符合题意， 是乘法运算，则D不符合题意， 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【例4】（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 【答案】几个整式的积的形式 【分析】根据因式分解的定义直接填空即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 故答案为：几个整式的积的形式． 【点睛】本题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式． 1．（2024七年级上·上海·专题练习）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)是因式分解 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解； （2）解：，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解； （3）解：，是因式分解； （4）解：，是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 2．（2024七年级上·上海·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 【答案】(1)是整式的乘法，不是因式分解 (2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解 (3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解 (4)等式的左边不是多项式，不是因式分解 【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答； （2）根据因式分解的定义判断即可得答案； （3）根据因式分解的定义判断即可得答案； （4）根据因式分解的定义判断即可得答案． 【详解】（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2），一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3），没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4），等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 【答案】（1）不正确．因为提取的公因式不对；（2）不正确．因为提取公因式后，第三项没有变号；（3）正确．（4）不正确．因为最后结果不是乘积的形式． 【分析】（1）判断多项式的公因式提取是否正确即可判断； （2）（3）与（1）分析相同； （4）根据因式分解的定义判断即可． 【详解】（1）多项式的公因式是n，而不是2n，故不正确； （2）因为提取公因式后，第三项没有变号，故不正确； （3），故正确； （4）根据因式分解的定义知，最后结果应是乘积的形式，但分解的结果不是乘积的形式，故错误． 【点睛】本题考查了因式分解的定义及提公因式法，掌握因式分解的定义及提公因式是关键． 4．（23-24七年级上·上海长宁·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【答案】（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【典型例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（2025七年级上·上海长宁·专题练习）若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 先计算，由得到即可求得的值． 【详解】解：∵， 由题意得，， ， ． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期中）已知多项式能分解为两个整系数一次式的乘积，则k的值有（    ）个． A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【分析】设能分解成，根据整式的乘法化简，得到，根据为整数求解即可． 【详解】设， 则 共10个 故选A 【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，先提取公因式，再运用平法差公式因式分解即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 1．（2024·上海闵行·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·上海奉贤·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原多项式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用多项式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式即可． 【详解】解：∵     ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． 3．（23-24七年级上·上海崇明·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解的关系： （1）由题意得，，据此把等式右边展开即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【典型例题三 公因式】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案． 此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【详解】多项式的公因式是． 故选：C． 【例2】（23-24七年级上·上海闵行·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）命题“多项式的公因式是”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 直接利用公因式的定义分析得出答案． 【详解】解：多项式的公因式是，原命题是假命题， 故答案为：假． 【例4】（2025七年级上·上海长宁·专题练习）写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是 ； （2）中分子、分母的公因式是 ； （3）中分子、分母的公因式是 ． 【答案】 / / / 【分析】本题主要考查了求公因式，掌握公因式的定义是解答本题的关键． 公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂组成的式子，据此求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）下列各组中的两个分式是否相等？为什么？ （1）与； （2）与． 【答案】（1）相等，见解析；（2）相等，见解析 【分析】（1）先利用分式的基本性质将分式中分子与分母的公因式2y约去即可; （2）先利用分式的基本性质将分式中分子与分母的公因式3a约去即可． 【详解】解：（1）∵，∴=； （2），∴=． 【点睛】本题考查分式的约分，通过观察分式的分子与分母，找出它们的公因式是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】，， 【分析】由题意可假设多项式x3−x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，则将其展开、合并同类项，并与x3− x2+ax+b式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定． 【详解】解：设， 则， 所以，，， 解得，，． 所以 ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知：，，，问多项式A、、是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【答案】 【分析】先分别把代数式A，B，C分别分解因式，再确定公因式即可． 【详解】解：多项式A、、有公因式． ， ， ． 因此多项式A、、的公因式是： 【点睛】本题考查的是公因式的含义，因式分解的方法，掌握“利用提公因式，公式法分解因式”是解本题的关键． 【典型例题四 提公因式法分解因式】 【例1】（2025七年级上·上海虹口·专题练习）多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式．根据提公因式法，找出各项的公因式即可． 【详解】解：， 应提取的公因式为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）若多项式，则是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】提取公因式后剩下的各项的和就是所要求的的值． 【详解】解： ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的解答过程，要灵活运用符号的变换． 【例3】（2025·上海杨浦·模拟预测）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，掌握提取公因式法是关键． 根据题意提取公因式，进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 【例4】（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法． （1）提取公因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得； （3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得； （4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ． 3．（2025·上海静安·模拟预测）（1）计算： （2）因式分解：． 小刚的解题过程如下： =………第一步 =………第二步 =………第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是______（写出用字母a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误． 【答案】（1）1；（2）①；②二 【分析】本题考查了整式的因式分解，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的定义求解即可； （2）①根据平方差公式的定义即可求解；②第二步出现了错误，根据去括号法则判定即可；根据平方差公式和提公因式法因式分解即可． 【详解】解：（1） (2)①第一步变形用到的乘法公式是，这里，， ． ②第二步出现了错误， 4．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为，若是的整数倍，则是的整数倍． 注： 举例：对于三位数，割掉末位数字得，，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断能否是的整数倍． (2)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这种方法的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，分解因式及其应用，解题关键是正确理解题意． （1）按照已知条件的举例和方法进行解答即可； （2）按照多位数的表示方法表示出和，利用是的整数倍，设（为正整数），得，再整体代入即可解决． 【详解】（1）解：对于三位数，割掉末位数字得， ， 因为是的整数倍， 所以是的整数倍； （2）解：由题意，得：，， ∵是的整数倍， 设（为正整数）， ∴， ∴ ， ∴是的整数倍． 【典型例题五 利用提公因式法化简求值】 【例1】（24-25七年级上·上海金山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用提公因式与平方差公式进行分解因式，再约分化简即可． 【详解】解： 故选：C． 【点睛】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式进行分解因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）分式可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式分母先因式分解，再约分，即可求解． 【详解】解： 故先：A． 【点睛】本题考查了分式的约分，涉及到因式分解，分式的约分，按运算顺序，先因式分解，再约分． 【例3】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型． 把当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【例4】（2025·上海静安·模拟预测）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，． 参考上述方法，当时，多项式的值是 ． 【答案】49 【分析】本题主要考查代数式求值，先化简再求值；先提取公因式化简，再代入计算即可求出． 【详解】解：当时， 故答案为：49． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据提公因式的方法对代数式进行化简，然后代数求解即可． 【详解】解： ， 将，代入可得，原式． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握提公因式法进行因式分解． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 【答案】（1）；（2）； 96． 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）提出公因式，即可求解； （2）先利用提公因式法解答，再把代入，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 当时，原式． 3．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先分解因式，再求值： (1)，其中，； (2)已知，，求的值； (3)利用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据提公因式法因式分解，再代入值即可； （2）先将原式提公因式，转化为完全平方式的形式，代入值即可； （3）将原式按照平方差公式和完全平方公式进行转化，再计算即可． 【详解】（1）解： 当，时 原式 ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式的形式是解题的关键． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）已知，代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式分解因式即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 【典型例题六 提公因式法的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵ ， ， ∴多项式与的公因式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键． 【例2】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、因式分解的方法等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 根据整式的加减运算、因式分解等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 甲：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； B. 乙： ，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； C. 丙：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； D. 丁：，不能进行因式分解，被淘汰，即该选项符合题意．     故选D． 【例3】（2025·上海普陀·模拟预测）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 【例4】（23-24七年级上·上海虹口·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ． 【答案】 或． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为： （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先添括号，再利用完全平方公式分解即可； （）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可； 本题考查了本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答； （2）直接提取公因式即可解答； （3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答； （4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 3．（24-25七年级上·上海浦东新区·期中）因式分解及代数式求值 (1) (2)先把分解因式，在求当时的值． 【答案】(1) (2)；2 【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先把原式变形为，再提取公因式分解因式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 4．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)提公因式法 (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想． （1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题； （2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果； （3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ， 同理可得： ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了因式分解的定义，理解定义“将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解．”是解题的关键． 【详解】解：A、是整式运算，故不符合题意； B、是因式分解，故符合题意； C、不能进行因式分解，故不符合题意； D、不能进行因式分解，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法，理解整式和因式分解是互逆运算是解答的关键．利用多项式乘多项式求得，进而可求解p值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握十字相乘因式分解是解题的关键． 根据，求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 5．（2025·上海宝山·模拟预测）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了单项式和多项式、因式分解、代数式求值等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．根据多项式次数定义，可知当多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有7个，可判断说法①；当时，根据题意可知，然后分情况讨论，即可判断说法②正确；根据题意，当时，分情况讨论，可得所有的和为，再分均为正数和均为负数两种情况讨论，即可判断说法③． 【详解】解：多项式的次数为2时，符合条件的多项式有，，， ，，，， 共有7个，故说法①错误； 当时，， ∵均为正整数， ∴， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， ∴代数式的值共有三种不同结果，故说法②正确； ∵均为正整数，当时，可有以下几种情况， 当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， ∴所有的和为， 若均为正数，则， ∴所有的和为， 若均为负数，则， ∴所有的和为， 故说法③正确． 综上所述，说法正确的有②③，共计2个． 故选：C． 6．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）多项式的公因式是 ； 【答案】a 【分析】根据公因式的定义判断即可． 本题考查了公因式的定义，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．掌握确定公因式的方法是解题的关键． 【详解】解：的公因式是a． 故答案为：a． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据因式分解的结果求参数，根据题意可得，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开即可求出m、n的值，进而可求出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·上海长宁·课后作业）因式分解： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】（1）利用提公因式法，即可因式分解； （2）利用提公因式法，即可因式分解； （3）利用提公因式法，即可因式分解． 【详解】解：（1）； （2）； （3） 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）（1）约分： ．的结果为 ． （2）分解因式： ． （3）多项式的公因式是 ． 【答案】 或） 【分析】（1）根据分式的性质，分别进行约分运算，即可求解； （2）利用平方差公式进行分解因式，即可求解； （3）找出公因式即可． 【详解】解：（1）约分：； ， 故答案为：，； （2） 故答案为：； （3）多项式的公因式是或）， 故答案为：或）． 【点睛】本题考查了分式的性质，分解因式，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 10．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为 ；    【答案】 【分析】根据长方形周长和面积的公式得到，，再将因式分解等于，再代入求值即可． 【详解】解：长方形的长和宽分别为，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 11．（2025·上海徐汇·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行括号内的运算、将除法转化为乘法以及因式分解分子和分母，然后约分即可． 【详解】解：原式． 12．（23-24七年级上·上海长宁·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 13．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知：，，．问多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【答案】有公因式;公因式为(x+2) 【分析】分别将多项式A=3x2-12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，进行因式分解，再寻找他们的公因式． 【详解】解：多项式A、B、C有公因式， ∵A=， B=， C= ∴多项式A、B、C的公因式是： 【点睛】熟练掌握提公因式的方法，先通过化简是解题的关键. 14．（24-25七年级上·上海松江·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p−5＝3，−5p＝−k，求出p和k的值即可． 【详解】解：设另一个因式为x＋p， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 15．（2025·上海徐汇·模拟预测）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 【答案】1） ；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题． （1）直接利用题意规律求出结果； （2）利用题意规律求出结果； （3）利用提公因式和题意规律求出结果． 【详解】解：（1） ． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 因式分解的意义与提取公式法（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断是否是因式分解 典型例题二 已知因式分解的结果求参数 典型例题三 公因式 典型例题四 提公因式法分解因式 典型例题五 利用提公因式法化简求值 典型例题六 提公因式法的综合应用 知识点1 因式分解的意义 基本概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： ①因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； ②因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； ③因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列各式变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为 ． 知识点02 提公因式法 基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。 例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）已知，，则的值为（   ） A．12 B．7 C．4 D．3 【即时训练】 2．（2025·上海青浦·模拟预测）分解因式： ． 【典型例题一 判断是否是因式分解】 【例1】（24-25七年级上·上海青浦·期中）下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海·期末）下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【例4】（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）把一个多项式化为 的形式，叫做把这个多项式因式分解． 1．（2024七年级上·上海·专题练习）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 2．（2024七年级上·上海·专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 3．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ （1）；（2）； （3）；（4）． 4．（23-24七年级上·上海长宁·课堂例题）下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 【典型例题二 已知因式分解的结果求参数】 【例1】（2025七年级上·上海长宁·专题练习）若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期中）已知多项式能分解为两个整系数一次式的乘积，则k的值有（    ）个． A．10 B．8 C．5 D．4 【例3】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）若，则 ． 【例4】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 1．（2024·上海闵行·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 2．（23-24七年级上·上海奉贤·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 3．（23-24七年级上·上海崇明·期末）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【典型例题三 公因式】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·上海闵行·期末）多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）命题“多项式的公因式是”是 （填“真”或“假”）命题． 【例4】（2025七年级上·上海长宁·专题练习）写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是 ； （2）中分子、分母的公因式是 ； （3）中分子、分母的公因式是 ． 1．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）下列各组中的两个分式是否相等？为什么？ （1）与； （2）与． 2．（24-25七年级上·上海长宁·课后作业）把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知：，，，问多项式A、、是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【典型例题四 提公因式法分解因式】 【例1】（2025七年级上·上海虹口·专题练习）多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）若多项式，则是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·上海杨浦·模拟预测）分解因式： ． 【例4】（24-25七年级上·上海普陀·期中）如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为 ． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）分解因式： (1) (2)． 2．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2025·上海静安·模拟预测）（1）计算： （2）因式分解：． 小刚的解题过程如下： =………第一步 =………第二步 =………第三步 ①请问小刚同学第一步变形用到的乘法公式是______（写出用字母a，b表示的乘法公式）； ②小颖说小刚的步骤中有错误，小刚第_____步出现了错误． 4．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为，若是的整数倍，则是的整数倍． 注： 举例：对于三位数，割掉末位数字得，，因为是的整数倍，所以是的整数倍． (1)尝试用“割尾法”判断能否是的整数倍． (2)材料中的判断方法是“若是的整数倍，则是的整数倍”，请证明这种方法的正确性． 【典型例题五 利用提公因式法化简求值】 【例1】（24-25七年级上·上海金山·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海松江·期末）分式可化简为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）化简： ． 【例4】（2025·上海静安·模拟预测）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，． 参考上述方法，当时，多项式的值是 ． 1．（24-25七年级上·上海长宁·期中）先化简再求值：，其中，． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）（1）因式分解； （2）先因式分解再求值，其中． 3．（23-24七年级上·上海松江·阶段练习）先分解因式，再求值： (1)，其中，； (2)已知，，求的值； (3)利用简便方法计算：． 4．（24-25七年级上·上海虹口·期末）已知，代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【典型例题六 提公因式法的综合应用】 【例1】（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）多项式与的公因式是（　　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·上海奉贤·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【例3】（2025·上海普陀·模拟预测）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【例4】（23-24七年级上·上海虹口·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ． 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）因式分解 (1)； (2)． 2．（2025七年级上·上海虹口·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25七年级上·上海浦东新区·期中）因式分解及代数式求值 (1) (2)先把分解因式，在求当时的值． 4．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：． (1)上述分解因式的方法是_______； (2)分解因式的结果是_______； (3)利用（2）中结论计算：． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 3．（23-24七年级上·上海闵行·期中）已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海宝山·模拟预测）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）多项式的公因式是 ； 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若多项式因式分解的结果为，则 ． 8．（23-24七年级上·上海长宁·课后作业）因式分解： （1） ； （2） ； （3） ． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期末）（1）约分： ．的结果为 ． （2）分解因式： ． （3）多项式的公因式是 ． 10．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如图，长和宽分别为，的长方形的周长为，面积为，则的值为 ；    11．（2025·上海徐汇·模拟预测）化简：． 12．（23-24七年级上·上海长宁·课后作业）下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 13．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知：，，．问多项式A，B，C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 14．（24-25七年级上·上海松江·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 15．（2025·上海徐汇·模拟预测）【问题提出】 因式分解： 【问题探究】 为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解： ① ②由①知，继续添加下一项得： （1）仿照②，把代数式进行因式分解． 【发现规律】 （2）推广到一般形式：______； 【问题解决】 （3）化简：______． 学科网（北京）股份有限公司 $$