3.2.2第1课时　两点分布与二项分布 学案-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

第1课时　两点分布与二项分布 学习目标 (1)通过具体实例，了解两点分布．(2)通过具体实例，了解n次独立重复试验，掌握二项分布特征，并能解决简单的实际问题． 课前预习 要点一　两点分布 如果随机变量X只取值0或1，且其概率分布是P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝________，p∈(0，1)，则称随机变量X服从两点分布，记作X～B(1，p)．两点分布又称0 ­ 1分布． 要点二　二项分布 1．独立重复试验：一般地，在相同条件下进行n次重复试验，如果每次试验只有两种可能的结果A与，并且P(A)保持不变，各次试验的结果________，那么称这样的试验为伯努利试验，它也是一种n次独立重复试验． 2．二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A出现的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则X有概率分布：P(X＝k)＝pkqn－k，k＝0，1，…，n，其中q＝1－p.注意到pkqn－k正好是二项式(p＋q)n的展开式中的第(k＋1)项，故称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，其中n，p为参数，p为事件发生的概率． 基 础 自 测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)伯努利试验每次试验之间是相互独立的．(　　) (2)伯努利试验每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)两点分布就是二项分布．(　　) 2．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.2，则成功概率P(X＝1)＝(　　) A．0.2　　　 B．0.4 C．0.6　　　 D．0.8 3．某试验每次成功的概率为p(0<p<1)，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为(　　) p3(1－p)7 p7(1－p)3 p4(1－p)6 p6(1－p)4 4．已知随机变量X～B(5，)，则P(X＝2)＝________． 题型探究·课堂解透——强化创新性 题型1　两点分布 例1　袋内有10个红球，5个白球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列． 方法归纳 1．两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1. 2．两点分布的适用范围 (1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律． (2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究． 巩固训练1　若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列． 题型2　独立重复试验 例2　某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率． 方法归纳 求n次独立重复试验概率的步骤 巩固训练2　某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了6次球． (1)求恰有4次命中的概率； (2)求至多有4次命中的概率． 题型3　二项分布 例3　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球，6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获奖的次数为X，求X的分布列． 方法归纳 二项分布中需要注意的问题 (1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 巩固训练3　从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都为，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布列． 第1课时　两点分布与二项分布 课前预习 [教材要点] 要点一 1－p 要点二 1．相互独立 [基础自测] 1．(1)√　(2)√　(3)× 2．解析：随机变量X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.2， 根据两点分布概率性质可知：， 解得P(X＝1)＝0.6. 答案：C 3．解析：由题意可知，重复进行10次试验，7次未成功，说明3次成功，所以所求概率为p3(1－p)7. 答案：A 4．解析：由题意知：P(X＝2)＝)2()3＝. 答案： 题型探究·课堂解透 例1　解析：由题设知X服从两点分布，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 P 巩固训练1　解析：由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1， 所以P(ξ＝1)＝，故P(ξ＝0)＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 P 例2　解析：(1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5重伯努利试验． 2次准确的概率P1＝×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05. 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”， 其概率P2＝×0.8×0.24＝0.006 72. 所求概率为1－P2＝1－0.006 72≈0.99. 巩固训练2　解析：(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7，则未命中的概率为1－0.7＝0.3， 现投了6次球，恰有4次投中的概率为：P＝×(0.7)4×(1－0.7)2＝0.324 135. (2)至多有4次投中的概率为： P＝×0.74×0.32＝0.579 825. 例3　解析：(1)记事件A＝{甲、乙两箱中摸出球都是红球}，则P(A)＝＝. 即顾客抽奖1次能获奖的概率为； (2)由题可知X～B， ∴P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 巩固训练3　解析：由已知，有X～B， 可得P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3) 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 学科网（北京）股份有限公司 $$