19.1.1 变量与函数 同步练习 2024-2025学年人教版八年级数学下册

19.1.1 变量与函数 第1课时常量、变量 自主预习 1.在一个变化过程中，数值发生变化的量为 ，数值始终不变的量为 .每张电影票的售价为10元，某日共售出x张票，票房收入为y元，在这一问题中， 是常量， 是变量. 2.下列关系式中，变量x=--1时，变量y=6的是 ( ) A. y=3x+3 B. y=-3x+3 C. y=3x-3 D. y=-3x-3 基础优练 知识点1 变量与常量 1.一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是【点拨1】 ( ) A.常量，常量 B.变量，变量 C.常量，变量 D.变量，常量 2.在圆的面积公式( 中，常量与变量分别是【点拨2】 ( ) A.常量是2,变量是S,π,R B.常量是π,变量是S,R C.常量是2，变量是R D.常量是2,变量是S,R 3.假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读时间为1.5小时,这里的“1.5小时”为 (填“常量”或“变量”). 知识点2 确定两个变量之间的关系 4.小颖现已存款200元，为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额y(元)与时间x(月)之间的关系式是 ( ) A. y=10x B. y=120x C. y=200--10x D. y=200+10x 5.三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，h为常量，已知当a=6时，三角形面积S=12,则当a=4时,S的值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 6.某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y. 份数 … 1 2 3 4 总价/元 … 则y与x之间的关系式是 ，其中 是变量， 是常量. 名师点拨 点拨1常量和变量不是绝对的.常量与变量是对“某一个变化过程”而言的，它们具有相对性.同一个量在某个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中却可能是变量，所以常量和变量是由问题的条件决定的.例如：s=vt 中，若v确定,则 s,t 是变量;若t 确定，则s，v是变量.只简单地说一个量既是常量又是变量是不可以的.另外，在各种关于变量和常量的例子中，变量之间是有一定依赖关系的.例如：已知三角形的底和高，求三角形的面积.底一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化的. 点拨2 为了方便，我们经常用字母表示数量，但要注意，用字母表示数值的量可能是变量，也可能是常量.此题中π容易被认为是一个变量，实际上它是一个常量.又如在物体自由落体的关系式 (其中g=9.8m/s²)中,常量是 ,g;变量是h,t. 点拨3 长方形的周长就等于篱笆的总长，在变化过程中未发生改变，所以是常量；在本题中，长方形的一边发生变化时，另一边也会发生变化，所以长方形的面积也发生变化，所以S和a 是变量. 整合集训 7.如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为 S(m²)，周长为 p(m)，一边长为a(m),那么 S,p,a中是变量的是【点拨3】( ) A. S和p B. S和a C. p和a D. S,p,a 8.如图19--1--1--1--1所示,长方形 ABCD的长AD=10cm,宽AB=6cm,正方形 PQRH 的四个顶点分别在CB 和AD 上.如果正方形 PQRH 向右平移，在这个运动过程中，以下结论正确的是( ) A.正方形的边长是变量 B. BP 的长是不变量 C.长方形QBAR 的面积是常量 D.长方形 QCDR与ABPH 的面积随BP 的变化而变化 9.林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上都有三个量，其中一个表示“单价”，其数值固定不变，另外两个量分别表示“数量”“金额”，数值一直在变化，在这三个量当中， 是常量， 是变量. 10.某市出租车收费按里程计算，3千米以内(含3千米)收费10元，超过3千米，每增加1千米加收2元，则当x≥3时，车费y(元)与x(千米)之间的关系式为 . 11.说出下列各个过程中的变量与常量. (1)我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需114分钟，t分钟内卫星绕地球的周数为N, (2)铁的质量m(g)与体积V(cm³)之间有关系式 (3)长方形的长为2cm,它的面积 S(cm²)与宽a(cm)的关系式是S=2a. 12.蜡烛在空气中燃烧的长度与时间成正比，如果一支原长 15 cm的蜡烛燃烧 4分钟后，其长度为13cm，请写出剩余长度y(cm)与燃烧时间x(分钟)的关系式，并指出其中的常量与变量. 核心素养题——逻辑推理 13.如图19-1--1-1-2,自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm. (1)观察图形填写下表： 链条节数/节 2 3 4 链条长度/cm (2)如果x节链条的总长度是y，求y与x之间的关系式； (3)如果一辆某种型号自行车的链条(安装前)由80节这样的链条组成，那么这根链条完成链接(安装到自行车上)后，总长度是多少厘米? 第2课时 函数 学科网（北京）股份有限公司 自主预习 1.在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 是自变量， 与其对应，那么我们就说 是 的函数.下列各式①y=0.5x-2;②y=|2x|;③3y+5=x;④y²=2x+8中，y是x的函数的有 (填序号). 2.在函数 中，自变量x的取值范围是 . 基础优练 知识点1 函数的相关概念 1.下列变量间的关系不是函数关系的是【点拨1】 ( ) A.长方形的宽一定，其长与面积 B.正方形的周长与面积 C.等腰三角形的底边长与面积 D.圆的周长与半径 2.下列各式中，y不是x的函数关系的是【点拨2】 ( ) A. y=x C. y=|x| D. y=±x 3.已知变量x和变量x-2，那么x--2是不是x的函数?你的结论是： (填“是”或“不是”). 4.下列说法： ①如果y<2x，那么y是x的函数；②若长方形的面积一定，则长y是宽x的函数；③已知变量x，y满足 ，那么y是x的函数；④温度一定是常量.其中不正确的有 (填序号). 知识点2 确定函数解析式及自变量的取值范围 5.嘉嘉买了6支笔花了9元钱，琪琪买了同样售价的x支笔，还买了单价为5元的三角尺两幅，用y(元)表示琪琪花的总钱数，那么y与x之间的函数关系式应该是【点拨3】 ( ) A. y=1.5x+10 B. y=5x+10 C. y=1.5x+5 D. y=5x+5 6.函数 中的自变量x的取值范围是【点拨4】 ( ) B. x≥1 7.已知函数 当x=2时，函数值y= ；已知函数. 当x= 时,函数值y=12.【点拨5】 名师点拨 点拨1判断两个变量是不是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定哪个是自变量，哪个是函数，最后再看看这两个变量是不是一一对应关系. 点拨2函数中变量的对应关系 若y是x的函数，当x取一个确定的值时，y都有唯一的值与之相对应；但当y取某一数值时，自变量x并不一定有唯一的值与之相对应. 点拨3 函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数. 点拨4本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数. 点拨5 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程. 点拨6 根据“对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应”，选择两个解析式中满足取值范围的求解. 年整合集训 8.函数 中自变量x的取值范围是 ( ) A.x≥-2且x≠1 B.x≥-2 C. x≠1 D.-2≤x<1 9.已知函数 当x=2时，函数值y为【点拨6】 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 10.如图 19--1--1--2--1 所示,△ABC中,已知 BC=16,高 AD=10,动点Q由 C 点沿CB 向 B 移动(不与点 B 重合).设CQ 长为x，△ACQ的面积为S，则S与x之间的函数关系式为 ( ) A. S=80-5x B. S=5x C. S=10x D. S=5x+80 11.变量x,y有如下关系:①x+y=10;( ③y=|x-3|;④y²=8x,其中y是x的函数的是 (填序号). 12.在函数 中，自变量x的取值范围是 . 13.求下列函数中自变量x的取值范围： 14.一个长方形的宽为 xcm，长比宽多2cm，面积为S(cm)². (1)求S与x之间的函数解析式； (2)当x=8时，长方形的面积为多少平方厘米? 15.已知池中有 600 m³的水,每小时抽水50 m³. (1)写出剩余水的体积V(m³)与时间t(h)的函数解析式； (2)写出自变量t的取值范围； (3)8h后，池中还有多少水? (4)几小时后,池中有100 m³的水? 核心素养题——数学建模 16.“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25 升(假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的). (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x(千米)与剩余油量Q(升)的关系式； (2)当x=60(千米)时,求剩余油量Q的值; (3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由. 19.1.1变量与函数 第1课时常量、变量 自主预习 1.变量 常量 电影票的售价 电影票的张数，票房收入2. B 基础优练 1.( ° 2. B 3.常量 4.1) 5.(° 6. 份数 … 1 2 3 4 总价 元 … 0.4 0.8 1.2 1.6 y=0.1s .1. y 0.4 整合集训 7. B 8.1) 9.单价 数量,金额y=2x+1 11.解:(1)N和: 是变量.114是常量: (2)m和V 是变量,p是常量; (3)S和a 是变量.2是常量. 12.解：∵一支原长 15cm的蜡烛燃烧1分钟后，其长度为13cm。∴1分钟燃烧0.5cm.∴x分钟可燃烧0.5. r cm.∴剩余长度与燃烧时间的关系式为 其中. r. y是变量.15. 是常量. 13.解:(1)根据图形可得出:2节链条的长度为:2.5×2-0.8=1.2cm.3节链条的长度为:2.5×3-0.8×2=5.9 cm.4 节链条的长度为:2.5×1-0.8×3=7.6 cm.故答案为:1.2.5.9.7.6. (2)由(1)可得. r 节链条的长度为:y=2.5. r-0.8(. r-1)=1.7x+0.8.所以y与x之间的关系式为y=1.7. r÷0.8. (3)因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8(cm).故这辆自行车链条的总长为1.7×80=136(cm).所以80节这样的链条总长度是136(cm). 第2课时 函数 自主预习 1.唯一确定的值 x y , ①②③ 2. x≠2 基础优练 1.( 2. D 3.是 4.①③① 5. A 6. D 7.4 :2 整合集训 8. A 9. A 10. B 11.①②③ 12.. r>3 13.解:(1)由题意得 所以 (2)由题意得 所以x≠±1且x≠2. 14.解:(1)根据题意得长方形的长为(. r+2) cm。 则 故S与x之间的函数解析式为 (2)把x=8代入. 得 答:当x=8时,长方形的面积为80cm². 15.解:(1)V'=600-50t. (2)由 解得0≤1≤12. (3)当1=8时,V=600-50×8=200,即8h后,池中还有水200 m³. (1)当V=100时,有100=600-501.∴t=10.即10h后,池中有水100m. 16.解:(1)该汽车平均每千米的耗油量为(35-25)÷80=0.125(刀/千米). ∴行驶路程x(千米)与剩余油量 Q(升)的关系式为Q=35-0.125.1. (2)当x=60时,Q-35-0.125×60-27.5(升). (3)他们能在汽车报警前回到家。 理由如下:(35-3)÷0.125=256(千米)。 由256>200知他们能在汽车报警前回到家。 $$