专题08 图形的轴对称（2知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题08 图形的轴对称 （2知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江·期末）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个． 3．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有 个． 知识点2：轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，点A是内一点，点E，F分别是点A关于的对称点，连接交于点B，C，连接．已知，则的周长为（    ） A．9 B．18 C．24 D．36 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【题型1 轴对称图形的识别】 1．汉画像石是我国古代文化遗产中的瑰宝，是距今近2000年的许多未留姓名的画家、雕刻家在石块上创作出来的艺术作品．下列汉画像石的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 3．有下列图形：①线段；②角；③两条平行线；④圆；⑤直角三角形；⑥平行四边形．其中不一定是轴对称图形的是 （填序号）． 4．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 5．如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴． 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解】 6．如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．5 C．6 D．7 7．如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，P是外的一点，M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于OB的对称点R落在的延长线上．若，，，求线段的长． 【题型3 轴对称的实际应用】 11．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 12．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 14．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 15．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【题型4 画轴对称图形】 16．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 18．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 19．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 ． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题． (1)先画出向下平移6个单位长度得到的；再画出关于直线的轴对称图形； (2)在上画出点，使得最小； (3)求的面积． 【题型5 设计轴对称图案】 21．如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 22．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，每个图中均已将两个小正方形涂了阴影，请你在下面的每个图形中再涂两个空白小正方形，分别使得各图中阴影部分成为一个轴对称图形（若阴影部分涂成全等图形的，视为一种图形）． 24．如图所示，在的方格内，已将其中的2个小正方形涂成黑色，请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4个黑色小正方形组成一个轴对称图形，画出与示意图不同的4种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）4个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 25．按要求作图： (1)如图，在正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用四种方法分别在如图方格内再填涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形． (2)利用网格画图：在上找一点P，使点P到和的距离相等．然后，在射线上找一点Q，使． 【题型6 镜面对称】 26．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 27．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 28．在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 29．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 30．一位交警在执勤过程中，从汽车的后视镜中看见某车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是 【题型7 轴对称的对称轴】 31．只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 32．下列图形中，对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 33．如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是 ． 34．下列说法： ①线段的对称轴有两条； ②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴； ③到直线l的距离相等的两个点关于直线l对称； ④两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称． 其中正确的有 ．（直接写序号） 35．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【题型8 折叠问题】 36．如图，把一张长方形纸条沿折叠，使D落在处，若，，则（   ） A． B． C． D． 37．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 38．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，分别在，上，将沿折叠后得到，且满足．若，则的度数为 ． 40．数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展训练一 轴对称图形的性质求解】 41．在中，于点，点关于的对称点为点，连接，若，，则的度数为 ． 42．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 43．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 44．如图，点是外的一点，点与点关于对称，点与点关于对称，连接并延长分别交、于C、D两点，连接、、、．若，求的度数． 45．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【拓展训练二 网格中的轴对称问题】 46．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 47．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ． 48．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    49．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上． (1)求的面积； (2)在图中画出关于直线对称的； (3)在直线上画出点，使得最小． 50．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)在（1）的结果下，连接，，则面积是_________． (3)在对称轴上有一点P，当周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 【拓展训练三 折叠问题综合】 51．如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 52．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，翻折后的对应点分别为． (1)如图（1），若点恰好落在上，且平分，求的度数； (2)如图（2），将长方形纸片沿折叠，点翻折后的对应点分别为，使得和'在同一条直线上，求证； (3)若直线与直线相交于点，，直接写出的度数（用含的式子表示）． 53．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 54．（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 55．中，，射线交射线于，过作垂直射线于点E，点在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，把沿翻折至处，若，，，直接写出的面积． 1．端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，把一张长方形纸条沿折叠，使D落在处，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点，分别是，上两点，将沿折叠，使点落在点处，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，的度数（   ） A． B．或 C．或 D．或 7．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．若，则 ． 8．如图，将长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若的周长为，的周长为，则长方形纸片的周长是 cm． 9．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点A′处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 10．如图，点D、E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若的周长为，则线段的长为 ． 11．如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图．两次折叠后，当和的度数之和为时，则的值 ． 12．如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．沿继续折叠纸片，点M的对应点为点N，若恰好是的角平分线，则 ． 13．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 14．把一个大正方形分成9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格涂上阴影，使整个图形成为一个轴对称图形，请用4种不同的画法表示． 15．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 16．如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 17．如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，且的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线l的对称图形； (2)在直线l上找一点P，使，并简述作图（画图）过程或依据； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小． 19．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 20．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 图形的轴对称 （2知识点+8大题型+3大拓展训练+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练+3大拓展训练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江·期末）2024年11月29日，中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”，如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A中是轴对称图形，故不符合题意； B中是轴对称图形，故不符合题意； C中是轴对称图形，故不符合题意； D中不是轴对称图形，故符合要求； 故选：D． 2．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）下列语句：（1）轴对称图形的对应线段相等，对应角相等；（2）成轴对称的两个图形必在对称轴的异侧：（3）等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴．其中正确的有 个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形性质来判断，如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，即可得出答案． 【详解】（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形，轴对称图形对应线段相等，对应角相等，说法正确； （2）成轴对称的两个图形的对称轴可能在图形中间，说法不正确； （3）等边三角形三边相等，角相等，是轴对称图形且有三条对称轴，说法正确， 故答案为：2 【点睛】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的性质，对称轴数量的判断是解题关键． 3．（24-25八年级上·浙江舟山·期中）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①，②，③，④，⑤五个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形可添加的区域有 个． 【答案】2 【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，分析得出答案． 【详解】解：如图所示，在①处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形； 在⑤处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形. 所以符合题意的有2个. 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了作轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题关键． 知识点2：轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，点A是内一点，点E，F分别是点A关于的对称点，连接交于点B，C，连接．已知，则的周长为（    ） A．9 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称得是解题关键． 【详解】解：∵点E，F分别是点A关于的对称点， ∴ ∵， ∴ 即：的周长为18 故选：B 5．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，是折痕，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，本题先求解，可得，再结合角的和差可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的对称轴，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，垂直 平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据题意得到是的垂直平分线，可证，得到，由此可得阴影部分的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵是的对称轴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3 ． 【题型1 轴对称图形的识别】 1．汉画像石是我国古代文化遗产中的瑰宝，是距今近2000年的许多未留姓名的画家、雕刻家在石块上创作出来的艺术作品．下列汉画像石的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：A． 2．下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此对各说法依次分析即可． 【详解】解：（1）线段的对称轴有两条，故原说法正确； （2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误； （3）对应点的连线与直线的位置关系是互相垂直，且到直线距离相等的两个点关于直线对称，故原说法错误； （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故原说法错误； ∴说法正确的只有1个． 故答案为：1． 3．有下列图形：①线段；②角；③两条平行线；④圆；⑤直角三角形；⑥平行四边形．其中不一定是轴对称图形的是 （填序号）． 【答案】⑤⑥/⑥⑤ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义及识别，掌握其定义，找出对称轴是解题的关键．在平面内，如果一个图形能够沿一条直线折叠，使得折叠后的两边完全重合，这样的图形被称为轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：①线段，对称轴是过线段中点的垂线，故线段是轴对称图形； ②角，对称轴是角的平分线所在的直线，故角是轴对称图形； ③两条平行线，对称轴有无数条，故平行线是轴对称图形； ④圆，对称轴是直径所在的直线，有无数条，故圆是轴对称图形； ⑤直角三角形，不一定是轴对称图形，故符合题意； ⑥平行四边形，不一定是轴对称图形，故符合题意； 故答案为：⑤⑥ ． 4．如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 5．如图所示，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是，请画出它们所有的对称轴． 【答案】图①②④⑤⑥是轴对称图形，见解析 【分析】本题考查了轴对称图形； 根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴”，进行判断并画图即可． 【详解】解：图①②④⑤⑥是轴对称图形，对称轴如图所示： 【题型2 根据成轴对称图形的特征进行求解】 6．如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键． 连接，，根据对称性，得到，利用三角形三边关系定理计算选择即可． 【详解】解：如图，连接，，根据对称性可得：， 由条件可知 在中，∵最大， ∴ 即，选项中只有B选项符合条件． 故选：B． 7．如图，与关于直线对称，则以下结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，①如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形全等；②如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段或者平行，或者共线，或者相交于对称轴上一点；③如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．根据轴对称的性质作答即可． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴， 根据现有条件无法得到， 故选：B． 8．如图，设计的字母“”是一个轴对称图形，设计线条之间互相平行．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称图形的性质，延长至，由题意得，，进而根据平行线的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：延长至， 由题意得，，， ∴，， ∴， 即， 故选：． 9．如图，，是两块平面镜，一束光线照射到平面镜上，反射光线为，点在平面镜上，再次反射后反射光线为．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，三角形的内角和定理，由反射可知，，再结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意：，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，P是外的一点，M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于OB的对称点R落在的延长线上．若，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、垂直平分线的性质以及线段的和差，掌握并灵活运用垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由点P关于的对称点恰好落在线段上，利用垂直平分线定理可得，然后运用线段的和差即可求得；同理由点关于的对称点落在的延长线上求得的长，最后根据解答即可． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上， 垂直平分， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上， 垂直平分， ， ． 【题型3 轴对称的实际应用】 11．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 12．如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 13．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 14．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 15．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 【题型4 画轴对称图形】 16．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 17．如图，把一张长方形纸片沿上下两边中点连线向右折叠成第二个图形，再沿左右两边中点的连线向下折叠成第三个图形，然后沿左上角的平分线向右上折叠成第四个图形，并在如图所示的位置剪去一个钝角三角形．最后把纸片全部展开，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，画轴对称图形,根据轴对称图形的特征逐步推理是解题的关键．从第4个图开始，根据轴对称图形的特征进行倒推，一直倒推到第一个图，即可判断答案． 【详解】解：从第4个图反过来推得第三个图为： 再推得第二个图为： 最后推得第一个图为： 故选：B． 18．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，根据题意作出图形是解答本题的关键． 根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与成轴对称的格点三角形一共4个， 故选：B． 19．如图，试在给定的网格中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点D的个数是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示， 即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点A，B，C都在格点上，在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写出画法），并回答问题． (1)先画出向下平移6个单位长度得到的；再画出关于直线的轴对称图形； (2)在上画出点，使得最小； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平移作图，作轴对称图形，根据轴对称求线段和最小，求三角形的面积， 对于（1），将三个顶点向下平移6，再依次连接可得然后作三个顶点关于直线的对称点，再依次连接可得； 对于（2），根据点A与点关于直线点对称，可知，，根据“两点之间线段最短”可知连接与直线的交点即为点P； 对于（3），根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的图形； （2）解：如图所示，点P为所求作的点； （3）解：． 【题型5 设计轴对称图案】 21．如图所示在3×3的正方形网格中，已经有3个小正方形涂了阴影，请你在余下的空白小方格中涂上1个阴影使整个图形成为轴对称图形，把几种不同的涂法分别展示出来． 【答案】有2种，图形见解析． 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可；本题主要考查了做轴对称图形，准确作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意作图如下： 22．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如图所示， 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，每个图中均已将两个小正方形涂了阴影，请你在下面的每个图形中再涂两个空白小正方形，分别使得各图中阴影部分成为一个轴对称图形（若阴影部分涂成全等图形的，视为一种图形）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换，根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形，解题的关键是掌握轴对称变换定义与性质． 【详解】解：根据轴对称图形特点作图如下， 24．如图所示，在的方格内，已将其中的2个小正方形涂成黑色，请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4个黑色小正方形组成一个轴对称图形，画出与示意图不同的4种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）4个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握相关图形性质是解题关键．利用轴对称图形的性质以及旋转的性质、平移的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示： ． 25．按要求作图： (1)如图，在正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用四种方法分别在如图方格内再填涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形． (2)利用网格画图：在上找一点P，使点P到和的距离相等．然后，在射线上找一点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质： （1）果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此设计图案即可； （2）根据题意可知点P在角平分线上，点Q在线段垂直平分线上，据此作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，取格点E、Q，连接交于点P，点P和点Q即为所求； 易证明，则由角平分线的性质可得点即为所求； 易证明，则点Q即为所求． 【题型6 镜面对称】 26．一名运动员的球衣号码是“”，他在照镜子的时候，在镜子里看到的“号码”是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，可得在镜子里看到的“号码”是： ， 故选：C． 27．小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了镜面对称，熟练掌握镜面反射的原理与性质是解题的关键． 根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，即可解答． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得拍照的时刻应是， 故选：C． 28．在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查镜面对称，解决此类问题应认真观察，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据镜面对称的性质可知在平面镜内的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：实际时间是； 故答案为． 29．某一车牌号码在路面水坑中的倒影为，请猜测该车的车牌号．晓华猜测该车的车牌号为M80608．请问晓华的猜测正确吗？如果不正确，请写出正确的车牌号． 【答案】不正确，M80908 【分析】此题主要考查了镜面对称，易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：晓华的猜测不正确．如图所示． 故该车的车牌号应是M80908． 30．一位交警在执勤过程中，从汽车的后视镜中看见某车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是 【答案】 【分析】根据镜面对称的性质，即可进行解答． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称不改变物体大小和形状． 【题型7 轴对称的对称轴】 31．只用无刻度的直尺画出下列轴对称图形的对称轴，可行的有几个（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解题的关键是掌握对称轴的定义． 第一个、第二个、第四个均可以直接连接作对称轴．第三个要做出两条对角线取其中点作对称轴． 【详解】解：如图所示： 故选：A． 32．下列图形中，对称轴条数最多的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对称轴的条数，分别判断出每个选项的对称轴的条数即可得解． 【详解】解；A、有条对称轴， B、有3条对称轴， C、有6条对称轴， D、有无数条对称轴， 故选：D． 33．如图，每个小方格均为边长为1的正方形，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有m条，再将剩余的五个小正方形中的一个涂色，若由这五个涂色的小正方形组成的新图形的对称轴的条数也为m，则涂色的正方形是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了对称轴的数量，根据对称轴的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四个涂色的小正方形组成的图形的对称轴有条，即， 涂色的正方形是①，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 涂色的正方形是②，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 涂色的正方形是③，组成的图形的对称轴有条，符合题意； 涂色的正方形是④，组成的图形的对称轴有条，不符合题意； 故答案为：③． 34．下列说法： ①线段的对称轴有两条； ②角是轴对称图形，它的平分线就是它的对称轴； ③到直线l的距离相等的两个点关于直线l对称； ④两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称． 其中正确的有 ．（直接写序号） 【答案】①④/④① 【分析】根据线段，角是轴对称图形，再结合轴对称图形的含义分析对称轴，从而可得答案． 【详解】解：线段的对称轴有两条；表述正确，故①符合题意； 角是轴对称图形，它的平分线所在的中线是它的对称轴；故②不符合题意； 到直线l的距离相等的两个点不一定关于直线l对称；故③不符合题意； 两点关于连接它们的线段的垂直平分线对称．故④符合题意； 故答案为：①④ 【点睛】本题考查的是轴对称图形的含义，对称轴的含义，熟练的确定轴对称图形与轴对称图形的对称轴是解本题的关键． 35．如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 【题型8 折叠问题】 36．如图，把一张长方形纸条沿折叠，使D落在处，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线的性质可得，则可求出，再由折叠的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴由折叠的性质可得， 故选；D． 37．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，延长，根据折叠的性质，可知，由平角的定义可得，由平行线的性质可得，列式．本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 【详解】如图，延长， 折叠， ， ， ， ， ， ， ． ∴ 故选B． 38．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据四边形是长方形，可得，得，，继而得到，由折叠性质可推出，进而可得的度数．解题的关键是掌握平行线的性质和折叠的性质． 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴，， ∴， ∵将长方形纸片分别沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：C． 39．如图，在中，，，分别在，上，将沿折叠后得到，且满足．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质得，，根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，即可得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 40．数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟知平行线的性质与判定定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由折叠的性质和平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案；②根据折叠的性质和平行线的性质可证明，，再证明，推出，则可证明． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练一 轴对称图形的性质求解】 41．在中，于点，点关于的对称点为点，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，对称的性质，根据题意分点在上和点在延长线上两种情况，画出示意图，结合三角形内角和定义即可解答． 【详解】解：如图，当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于的对称点为点，， ∴， ∴； 如图，当点在延长线上时， 同理，，， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 42．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为4， 的周长的最小值为， 故答案为：7． 43．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 44．如图，点是外的一点，点与点关于对称，点与点关于对称，连接并延长分别交、于C、D两点，连接、、、．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴， ∴， ∴． 45．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即， 故答案为：． 【拓展训练二 网格中的轴对称问题】 46．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点(网格线的交点)上，要找一个格点C，连接AC，BC，使ABC成为轴对称图形，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】画出△ABC为轴对称图形时C点位置，解答即可． 【详解】解：C点落在网格中的4个格点使△ABC为轴对称图形， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 47．如图，在的正方形网格中，有一个格点（阴影部分），则网格中所有与成轴对称的格点三角形的个数是 ． 【答案】5 【分析】此题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．因为对称图形是全等的，所以面积相等，据此连接矩形的对角线，观察得到的三角形即可解答． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形有、、、、共5个， 故答案为：5． 48．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示，      即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 49．如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，都在格点上． (1)求的面积； (2)在图中画出关于直线对称的； (3)在直线上画出点，使得最小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法求解三角形的面积即可； （2）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （3）在（2）的基础上，连接，交直线于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 的面积为． （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示： 此时，为最小值， 点即为所求． 50．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)在（1）的结果下，连接，，则面积是_________． (3)在对称轴上有一点P，当周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题考查的是画轴对称图形，求解网格三角形的面积，轴对称的性质的应用； （1）分别确定关于直线l对称的对称点，再顺次连接即可； （2）直接根据三角形的面积公式计算即可； （3）连接交对称轴于，则可得的周长最小. 【详解】（1）解：如图所示，为所求作； （2）解：面积是； （3）解：如图所示，连接交对称轴于，则P为所求． . 理由：由轴对称的性质可得：， ∴的周长为， 此时的周长最小. 【拓展训练三 折叠问题综合】 51．如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则______，______； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）； (3)当和的度数之和为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质： （1）根据折叠的性质，平行线的性质，求出的度数，对顶角即可得出的度数，再根据平行线的性质，求出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分和两种情况，利用（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，如图， ∵将长方形纸带沿折叠， ∴， ∴， ∴； ∴当时， ； 故答案为：； （2）当时： 由（1）可知：，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 当时，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 综上：或； （3）当时，，解得； 当时，，解得； 故：或． 52．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，翻折后的对应点分别为． (1)如图（1），若点恰好落在上，且平分，求的度数； (2)如图（2），将长方形纸片沿折叠，点翻折后的对应点分别为，使得和'在同一条直线上，求证； (3)若直线与直线相交于点，，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题考查翻折变换、平行线的性质等知识，解题的关键是掌握相关几何知识，并灵活运用． （1）证明，再利用翻折变换、平行线的性质求解即可得到答案； （2）证明，可得结论； （3）画出图形，利用翻折变换的性质求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∵平分， ， 由翻折变换的性质可知， ， ∵四边形是矩形， ， ， ； （2）证明：∵四边形是矩形， ， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ； （3）解：如图所示： ， ， ， ， ． 53．【综合与实践▪操作探究】 在学习了平行线的判定后，老师让同学们通过折纸探究平行线的画法．请根据以下步骤完成操作并回答相关问题． 操作步骤： 1．如图，准备锐角三角形纸片； 2．第一次折叠，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为（在上，在上）； 3．第二次折叠：将折叠，使点落在边上点处，折痕为（在上）． 问题： (1)（操作理解）在第一次折叠后，判断折痕与的位置关系，并说明理由； (2)（结论验证）根据折叠结果，请你用所学知识证明； (3)（拓展应用）请你利用（2）的结论，证明：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，折叠的性质. （1）根据折叠的性质得到，即可判断； （2）由折叠可知，，，可得，再由同旁内角两直线平行证明即可； （3）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得到，，由折叠得，由可得. 【详解】（1） 理由：由折叠可知， （2）证明：由折叠可知，， ， 即 由（1）知， （3）过点作交于点 又 ∴ 又 ∴ 由折叠得， ， 由折叠得 54．（1）如图1，在四边形中，平分交的延长线于点，． 求证：． （2）在四边形中，点为边上的一点，连接，沿折叠三角形，得到三角形． ①如图2，当点落在的延长线上时，且，，若，求的度数； ②如图3，当点落在射线的下方时，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①20°；②见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，折叠的性质，过拐点作平行线是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定证明即可； （2）①利用折叠的性质，结合平行线的性质求解即可； ②过点作，过点作，利用折叠的性质先证，再根据平行线的判定和性质证，最后根据邻补角的性质即可得证． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ． （2）①解：沿折叠三角形，得到三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ②证明：过点作，过点作， ∴， ∴，，， ∵沿折叠三角形，得到三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ． 55．中，，射线交射线于，过作垂直射线于点E，点在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，把沿翻折至处，若，，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，折叠的性质，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，证明得到，再证明，从而有，则可得结论成立； （2）由角平分线的定义得到，证明，得到，再证明，从而有，则可得； （3）由全等三角形的性质得到，，， 设，则，根据建立方程求出，由折叠的性质可得，则. 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴. 1．端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．如图，这是的正方形网格，选择一空白小正方形，其与阴影部分组成的图形是轴对称图形的情况有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的变换，正确把握轴对称图形的性质是解答本题的关键． 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】如图所示，有四种情况使之成为轴对称图形∶ ①②③④ 故选：D． 3．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是关键．根据平行的性质得到，解得，，根据折叠得到，再根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∵，则， ∴， 解得，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 故选：B ． 4．如图，把一张长方形纸条沿折叠，使D落在处，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线的性质可得，则可求出，再由折叠的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴由折叠的性质可得， 故选；D． 5．如图，在中，点，分别是，上两点，将沿折叠，使点落在点处，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，由折叠的性质可得，，再由邻补角的定义可得，从而可求得，由三角形的内角和可求，从而可求得，再由邻补角的定义即可求的度数．解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】解：∵将沿折叠，使点落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，如图，将一长方形纸片沿着对折（点在线段上，点在线段上）使点落在点，若与互为“伙伴角”，的度数（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了折叠性质，角度和差运算，由折叠性质可知，，又与互为“伙伴角”，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， ∵， ∴， 则或， ∴或， 故选：． 7．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．若，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题综合考查了平行线的性质的应用，平角和折叠等相关知识，解题的关键是掌握平行线的性质． 首先求出，由折叠得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，将长方形纸片沿向上折叠，使点B落在边上的点F处．若的周长为，的周长为，则长方形纸片的周长是 cm． 【答案】32 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据图形折叠的性质可知，，再由的周长，的周长，然后等量代换和即可得出结论． 【详解】解：∵由折叠而成， ∴， ∴，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴矩形的周长 ． 故答案为：32． 9．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点A′处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠与长方形可知，，，则，由三角形内角和定理，对顶角相等可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵把一张矩形纸片沿折叠后，点A落在边上的点A′处，点B落在点处， ∴， ∵'， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，点D、E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若的周长为，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，解题关键是利用折叠的性质说明相关线段相等 先由翻折可得，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点D，E分别在的边，上，将沿直线折叠后，点C与点A重合， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图．两次折叠后，当和的度数之和为时，则的值 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠性质可知，，，则，由平行线的性质可得，，，通过角度和差可得，最后由和的度数之和为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵和的度数之和为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．沿继续折叠纸片，点M的对应点为点N，若恰好是的角平分线，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，在图1中得到，图2中得到，进而得到，再根据恰好是的角平分线，得到，进行求解即可． 【详解】解：在图1中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 在图2中， ∵折叠， ∴， 如图，由折叠可知：， ∵恰好是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45． 13．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 14．把一个大正方形分成9个相同的小方格，给图中的1个白色小方格涂上阴影，使整个图形成为一个轴对称图形，请用4种不同的画法表示． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图案的设计，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此设计图案即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 15．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 16．如图，四边形纸片中，，，点是线段上一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质和角的和差关系可求出的度数，进而可求出的度数，再根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，已知四边形与四边形成轴对称． (1)请画出它们的对称轴l； (2)若，垂足为M，试画出点M关于直线l的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，掌握其性质是关键． （1）根据轴对称图形的性质“对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等；沿对称轴将图形对折，两侧的图形能够完全重合；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”作图即可； （2）根据轴对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：根据轴对称图形的性质作图如下， （2）解：如上图所示，点即为所求点的位置． 18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，且的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线l的对称图形； (2)在直线l上找一点P，使，并简述作图（画图）过程或依据； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的作图方法作图即可； （2）只需要作线段BC的垂直平分线与直线l的交点即可； （3）连接与直线l交于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，点P即为所求； 分别以B、C为圆心，以大于BC长的一半画弧，二者交于两个点，连接这两个交点，这两个交点所在的直线与直线l的交点即为点P； （3）解：如图所示，点Q即为所求； 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． 19．如图，已知点是内的一点，、分别是点关于、的对称点，连接与、分别相交于点、，已知． (1)求的周长； (2)连接、，若，求的度数． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点，且、分别在、上， ，， 又， ． （2）解：连接， 、分别是点关于、的对称点， ，， 又， ， ， 又， ． 20．已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数为 ． (2)如图，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数为 ． ②若，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）本题涉及平行线的性质以及折叠的性质．利用得到角的关系，再结合折叠前后角相等的性质来求解的度数． （2）①根据折叠性质和邻补角的定义求出相关角的度数，再利用平角的度数为来计算的度数．②设未知数，依据折叠性质、平行线性质以及平角定义建立方程，从而求解的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴折叠可知． 又∵， ∴． （2）解：①∴折叠可知， ∴． 又∵，且， ∴． ②设，则． ∵， ∴． ∴折叠可知，． ∵，，，且， ∴，． ∴， 又∵， ∴， 解得． ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$