专题21.2 一元二次方程的解法-直接开平方法（1个知识点+6个题型+13个巩固题）-2025-2026学年九年级上册数学精准提分系列人教版

专题21.2 一元二次方程的解法“直接开平方法” 【人教版】 题型一:一元二次方程中直接开方法求参数的取值范围 2 题型二:已知一元二次方程的解求参数的值 5 题型三:直接开方法解一元二次方程(计算题) 8 题型四:特殊法解一元二次方程 12 题型五:直接开平方中新定义问题(选填) 17 题型六:解答题中新定义类问题(压轴) 20 知识点一 :“直接开平方法”解一元二次方程 使用条件:直接开平方法适用于解形如或 (其中 ()的一元二次方程。这种方法利用了平方根的定义,即如果一个数的平方等于,那么这个数就叫做的平方根 解题步骤 ①识别方程形式:首先,识别给定的一元二次方程是否符合直接开平方法的适用形式。这通常意味着方程需要被简化或转换成 或 的形式; ②移项和简化:如果方程不是直接的 或 形式,通过移项和简化将其转换为这种形式。例如,对于方程 ,可以通过移项得到 ; ③直接开平方:根据平方根的定义,对方程两边直接开平方。例如,对于方程 ,开平方后得到 。这意味着方程有两个解,一个是正数,另一个是负数; ④检验解的合理性:在得到解之后,根据实际情况检验解的合理性。例如,在解决几何问题时,可能需要排除负数解。 直接开平方法是一种简单且直接的解一元二次方程的方法,尤其适用于那些可以直接转化为平方形式的方程。然而,并不是所有的一元二次方程都能用这种方法来解,对于更复杂的情况,可能需要使用其他方法,如配方法、公式法或因式分解法。 题型一:一元二次方程中直接开方法求参数的取值范围 例1(24-25九年级上 山东临沂 阶段练习)若方程有解,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意得到a是非负数,由此求得a的取值范围. 【详解】解:∵(x-4)2=a有解, ∴a≥0, 故选:B. 【变式训练1-1】(2025 河南南阳 二模)关于的一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程,根据平方的非负性可知,所以可得一元二次方程的两个根是,,所以可知一元二次方程有两个不相等的实数根. 【详解】解:一元二次方程中, , ,, 一元二次方程有两个不相等的实数根. 故选:B. 【变式训练1-2】(24-25九年级上 湖南岳阳 期末)若关于x的方程有实数根,则m的取值范围是() A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程一直接开平方法:如果方程化成的形式,那么可得;如果方程能化成的形式,那么.根据直接开平方法的条件得到,然后解不等式即可. 【详解】解:根据题意得, 解得. 故选:D. 【变式训练1-3】(24-25九年级上 福建龙岩 阶段练习)若关于的方程可以用直接开平方法求解,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程.利用完全平方数是非负数,进行求解即可解答. 【详解】解:∵关于x的方程可以用直接开平方法求解, ∴, ∴, 故选:B. 【变式训练1-4】(23-24九年级上 四川达州 期中)已知一元二次方程,若方程有解,则必须( ) A. B. 同号 C. 的整数倍 D. 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程,由移项得,再两边同时除以,可得,再根据偶次幂的非负性可得异号,解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成的形式,利用数的开方直接求解. 【详解】解:, 则, ∵, ∴, ∵,, ∴为异号, 故选:. 【变式训练1-5】(24-25九年级上 江苏南京 期末)对于三个不相等的实数,,,我们规定符号表示,,中的最大值,如:. (1)若,求的值; (2)当时,,直接写出的取值范围. 【答案】(1)2或 (2) 【分析】本题考查的是与一元二次方程和一次函数的性质,能够理解新定义是解题的关键. (1)根据题意得出或,解方程即可求得的值; (2)根据当时,函数的值小于函数的值,解答即可. 【详解】(1)解:∵, 或, 当时,, 则,不合题意, 当时,或, 则时,时,,符合题意; ∴若的值为2或; (2)解:∵, , , , , 对于,当时,, 对于,当时,, 由题意可知当时,在范围内,直线的图象在直线的下方, 所以的取值范围是:. 题型二:已知一元二次方程的解求参数的值 例2(23-24九年级上 山东临沂 期末)若一元二次方程的两个根是与,则m的值是( ) A.4 B.2 C.与a、b有关 D.没法确定 【答案】B 【分析】本题考查直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值,可化为,两边直接开平方得出x的值,进而可得,解方程即可得出答案. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∵一元二次方程的两个根是与, ∴, 解得. 故选:B. 【变式训练2-1】(24-25八年级下 安徽合肥 期中)已知等腰三角形的底边长为4,腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根,则的周长为( ) A.6 B.10 C.14 D.6或14 【答案】C 【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长,然后求该等腰三角形的周长. 本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质.解答该题时,采用了“分类讨论”的数学思想. 【详解】解:由一元二次方程,得, 解得,或; ∴等腰三角形的两腰长是5或1; ①当等腰三角形的腰长是1时,,构不成三角形,所以不合题意,舍去; ②当等腰三角形的腰长是5时,,,所以能构成三角形, 所以该等腰三角形的周长; 故选:C. 【变式训练2-2】(24-25九年级上 河北承德 阶段练习)关于的方程和的两个根均相同,则 . 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程,一元二次方程的解,由,得,,代入方程,求出的值,然后代入,解出方程的根即可,掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴,, ∵关于的方程和的两个根均相同, ∴,解得:, ∴, 解得:,, 由题意得:, 故答案为:. 【变式训练2-3】(24-25九年级上 江苏宿迁 阶段练习)若关于的一元二次方程的一个根为2,则方程的两根之和为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解,解一元二次方程,熟练掌握知识点是解题的关键. 先将代入一元二次方程得到,将方程可化为,则,再解方程即可. 【详解】解:∵关于的一元二次方程的一个根为2, ∴, ∴, ∴方程可化为:, ∴, 解得:,, ∴, 故答案为:. 【变式训练2-4】(2024 河北张家口 三模)若关于的一元二次方程的两个根均为正整数,写出满足条件的一个的值为 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用,熟练求解一元二次方程是解题的关键,先解一元二次方程,然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可. 【详解】解:∵, ∴, ∴,, ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数, ∴,且为正整数, 解得,且为正整数, ∴可以为 故答案为:(答案不唯一). 【变式训练2-5】(23-24九年级上 全国 课后作业)若关于的一元二次方程的两个根分别是与,则 . 【答案】/0.25 【分析】根据直接开平方法解方程的两个根互为相反数,得到,求得方程的根,利用根的定义,确定a,b的关系,计算即可. 【详解】解:∵一元二次方程 ∴, ∴, ∴方程的两个根互为相反数, ∵一元二次方程的两个根分别是与, ∴, 解得, ∴一元二次方程的两个根分别是与, ∴ ∴, 故答案为:. 题型三:直接开方法解一元二次方程(计算题) 例3(24-25九年级上 广东佛山 期中)解下列方程:. 【答案】或. 【分析】本题考查了解一元二次方程.运用直接开平方法解一元二次方程,即可作答. 【详解】解:整理得, ∴, 即或, 解得:或. 【变式训练3-1】(24-25七年级下 天津宝坻 阶段练习)求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1)(2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程,熟练掌握开平方法是解题的关键. (1)利用直接开平方法,即可求解; (2)利用直接开平方法,即可求解. 【详解】(1)解: ; (2) 或. 【变式训练3-2】(24-25七年级下 全国 课后作业)求下列各式中x的值: (1); (2). 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程,掌握直接开方的计算方法是解题的关键. (1)先移项,再直接开方,即可求解; (2)先移项,再直接开方,即可求解. 【详解】(1)解:, 移项、合并同类项得,, ∴, 直接开方得,. (2)解:, 移项得,, ∴, 直接方法得,或, ∴. 【变式训练3-3】(24-25七年级下 全国 课后作业)求下列各式中x的值: (1); (2); (3). 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程,掌握直接开方的计算方法是解题的关键. (1)先移项,再直接开方,即可求解; (2)先移项,再直接开方,即可求解; (3)先移项,再直接开方,即可求解. 【详解】(1)解:, 移项得,, ∴, 直接开方得,. (2)解:, 移项得,, 直接开方得,或, ∴. (3)解:, 直接开方得,或, ∴. 【变式训练3-4】(24-25八年级上 上海青浦 期中)解方程:. 【答案】, 【分析】本题考查了解一元二次方程,根据直接开平方法解一元二次方程,即可求解. 【详解】解:由题意可得:或. ∴或 解得:或. ∴.原方程的解是:, 【变式训练3-5】(2024九年级上 全国 专题练习)按要求解下列方程 (1)(直接开平方法). (2). 【答案】(1)(2), 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)先变形为,然后利用直接开平方法即可求解; (2)利用直接开平方法计算即可. 【详解】(1)解:∵, ∴, , ∴; (2)解:, ∴, ∴, ∴,. 题型四:特殊法解一元二次方程 例4(23-24八年级下 广西崇左 阶段练习)已知关于x的方程(a,b,m均为常数,且)的两个解是,则方程的解是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程,先运用得出,同理,得的解为,即可作答. 【详解】解:∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴则方程的解是 故选:D 【变式训练4-1】(23-24九年级上 江苏镇江 阶段练习)若关于的方程(,,均为常数,)的解是,,则方程的解是( ) A., B., C., D., 【答案】B 【分析】利用直接开平方法得方程的解,则,,再解方程得,所以,. 【详解】解:解方程(,,均为常数,), 得:, 关于的方程(,,均为常数,)的解是,, ,, 方程的解为, ,, 故选:. 【变式训练4-2】(24-25九年级上 福建龙岩 期中)关于x的方程(m,h,k均为常数,m≠0)的解是,则方程的解是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先用直接开平方法解出,然后再解出,对比两个解的关系,即可得到答案. 【详解】解:(m,h,k均为常数,m≠0), 解得, 而关于x的方程(m,h,k均为常数,m≠0)的解是, 所以, 方程的解为, 所以 . 故选:C. 【变式训练4-3】(23-24八年级下 浙江嘉兴 期末)若关于x的方程(h,k均为常数)的解是,,则关于y的方程的解是 . 【答案】, 【分析】此题考查了方程的解,解一元二次方程直接开平方法,熟练掌握平方根定义是解本题的关键. 仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可. 【详解】解:关于的方程,均为常数)的解是,, 的解是或,即,. 故答案为:,. 【变式训练4-4】(23-24九年级上 四川内江 阶段练习)若关于x的方程的解是,(a,m,b均为常数,),则方程的解是 【答案】, 【分析】先利用直接开平方解,得;再解,得,再通过观察可得,两个方程的解只差3,即可求解. 【详解】解:, 移项得,, 直接开平方得,, ∴; , 移项得,, 直接开平方得,, ∴, ∵关于x的方程的解是,, ∴方程的解是:,, 故答案为:,. 【变式训练4-5】(23-24九年级上 河南南阳 阶段练习)关于x的方程的解是(m,h,k均为常数,),则方程的解是 【答案】 【分析】设,则变形为,结合x的方程的解是,得到解是, 故,求解即可. 【详解】设,则变形为, ∵ x的方程的解是, ∴解是, 故, ∴, 故答案为:. 【变式训练4-6】(24-25八年级下 安徽合肥 期中)关于x的方程的解是,(a、k、b均为常数,) 问题:(1)关于x的方程的根是 ; (2)关于x的方程的根为 . 【答案】 , , 【分析】(1)先根据方程的解是,,得到即,结合得到方程的根为,代入计算即可. (2)仿照(1)计算即可. 【详解】(1)∵, ∴, ∵方程的解是,, ∴, ∵, ∴, ∴, 解得,, 故答案为:,. (2)∵, ∴, ∵方程的解是,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴,, 故答案为:,. 题型五:直接开平方中新定义问题(选填) 例5(2025 广东佛山 二模)新定义:.若,则的值为 . 【答案】或 【分析】本题考查了新定义运算,解一元二次方程,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. 根据题意得到,即,得到,求出或,即可得到答案. 【详解】解:新定义:,, ,即, , 解得:或, 故答案为:或. 【变式训练5-1】(2025 河北唐山 二模)对于符号“”,我们作如下规定:,如,若,则 . 【答案】 【分析】本题考查了新定义,一元二次方程的应用,根据题意列方程,即可解答,熟知题意是解题的关键. 【详解】解:由题意可得, 解得, 故答案为:. 【变式训练5-2】(24-25八年级上 上海 期中)“两个一元二次方程有且只有一个公共根,这两个方程叫做互为好友方程,这两个公共根叫做好友根.”例如和就是互为好友方程,好友根为.如果和就是互为好友方程,那么 . 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程,正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键. 先解出,然后分为和两种情况,再代入计算即可. 【详解】解:∵, ∴, 当好友根为时,则, 即; 当好友根为时,则, 即; 故答案为:或3. 【变式训练5-3】(2025 广东广州 模拟预测)定义新运算:,例如:,.若,则x的值为 . 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识,解题的关键是根据题意找到等量关系式.根据新定义运算法则,分别两种情况,列出方程求解即可. 【详解】解:当时, , ∴, 当时, , 解得(舍去)或. 综上所述,x的值为或19. 故答案为:或19. 【变式训练5-4】(24-25九年级上 湖南岳阳 期中)定义为二阶行列式.规定它的运算法则为,那么当二阶行列式时, . 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算,解一元二次方程,熟练掌握相关方法是解题关键. 根据题中的新定义将所求式子转化为我们熟悉的一元二次方程,求解即可. 【详解】解:∵,, ∴, 整理得:, 解得:, 故答案为:. 【变式训练5-5】(24-25九年级上 四川达州 阶段练习)对于实数p、q,我们用符号表示p,q两数中较大的数,如,若,则 . 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程,根据新定义,分和,两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解:当,则:, 解得:或(舍去); 当,则:, 解得:(舍去)或; ∴或; 故答案为:或. 【变式训练5-6】(24-25九年级上 湖南湘西 期中)给出一种运算:对于函数,规定例如:若函数则有已知函数则方程的解是 . 【答案】 【分析】本题考查了利用直接开平方解一元二次方程,同时还以新定义的形式考查了学生阅读理解能力;注意:①二次项系数要化为1,②根据平方根的意义开平方时,是两个解,且是互为相反数,不要丢解.首先根据新定义求出,得出:,用直接开平方法解方程即可. 【详解】由, 得: 即, 解得:, 故答案为: 【变式训练5-7】(24-25九年级上 陕西西安 期中)对任意实数a,b,定义一种新运算:,例如:,若,则x的值为 . 【答案】或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算,直接开平方法解一元二次方程.理解题意,熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键. 由题意知,,则,利用直接开平方法解一元二次方程即可. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∴, 解得,,, 故答案为:或. 题型六:解答题中新定义类问题(压轴) 例6(24-25九年级上 江苏镇江 期中)阅读材料:关于的二次多项式,当时,该多项式有最值,就称该多项式关于平衡.例如:由于,所以当时,多项式有最小值2,则称关于平衡;由于,所以当时,多项式有最大值4,则称关于平衡. 运用材料中定义解决下列问题: (1)多项式关于_平衡; (2)若关于的多项式关于平衡,则_; (3)关于的多项式关于平衡,且最小值为6,求方程的解. 【答案】(1)(2)5(3), 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、解一元二次方程,熟练掌握完全平方公式和解一元二次方程的方法是解题关键. (1)利用完全平方公式进行配方可得,由此即可得; (2)利用完全平方公式进行配方可得,由此即可得; (3)利用完全平方公式进行配方可得,从而可得,,则方程为,利用直接开平方法解方程即可得. 【详解】(1)解:∵, ∴当时,多项式有最小值, ∴多项式关于平衡, 故答案为:. (2)解:∵, ∴当时,关于的多项式有最小值, ∴关于的多项式关于平衡, 又∵关于的多项式关于平衡, ∴, 故答案为:5. (3)解:∵, ∴当时,关于的多项式有最小值, ∴关于的多项式关于平衡, 又∵关于的多项式关于平衡,且最小值为6, ∴,, ∴, ∴方程为, 解得,. 【变式训练6-1】(24-25九年级上 甘肃兰州 期中)某同学在解一元二次方程时,发现有这样一种解法: 如:解方程: 解:原方程可变形, 得 直接开平方并整理,得,, 我们称该同学的这种解法为“平均数法”. (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程: 解:原方程可变形,得 直接开平方并整理,得, 上述过程中“”,“ ”,“ ”,“”表示的数分别是_,_,_,_; (2)请用“平均数法”解方程:. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键. (1)根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“”,“ ”,“ ”,“”表示的数即可; (2)根据题干中的“平均数法”解方程即可. 【详解】(1)解: ∴ ∴ ∴ ∴, 两边直接开平方得:, 解得:, ∴“”,“ ”,“ ”,“”表示的数分别是, 故答案为:; (2)解:, ∴, ∴, ∴, 直接开平方法得:, 解得:. 【变式训练6-2】(24-25八年级下 江西上饶 阶段练习)我们已经学习了整式、分式和二次根式,当被除数是一个二次根式,除数是一个整式时,求得的商就会出现的形式,我们把形如的式子称为根分式,例如都是根分式. (1)下列式子: ①;②;③,其中_(填序号)是根分式; (2)根分式中的取值范围为_; (3)已知两个根分式:. ①若,求的值; ②若是一个整数,且为整数,求的值. 【答案】(1)③(2)且(3)①;②0或2 【分析】(1)根据定义判断,只有③符合题意,解答即可. (2)根据分母不能为0,被开方数是非负数,求解即可. (3)①代入中,解分式方程,求解即可; ②先表示,再根据是一个整数,且为整数,建立方程求的值即可. 【详解】(1)解:根据定义判断,只有符合题意, 故答案为:③. (2)解:根分式有意义的条件是且, 解得且; 故答案为:且. (3)①解:∵, ∴, . , , 解得, 经检验,是原方程的根, 的值为. ②解:①可知, . 是一个整式,且为整数, , 解得或, 的值为0或2. 【变式训练6-3】(24-25九年级上 江苏泰州 期中)定义:与,其中,这样的两个方程称为“互为友好方程”,其中一个方程称为另一个方程的友好方程. (1)的友好方程是_; (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根.求出这个公共根; (3)如果的两个根为.求友好方程的两个根. 【答案】(1)(2)1或(3) 【分析】本题考查一元二次方程的解,涉及新定义,解题的关键是读懂题意,理解“互为友好方程”的定义. (1)直接根据新定义求解即可; (2)设这个公共根为,可得,有,可解得或; (3)由的两个根为,知,故,,即可得的两根为. 【详解】(1)解:根据定义的友好方程是; 故答案为:; (2)设这个公共根为, 则, ∴, ∵, ∴, 解得或; (3)∵的两个根为, ∴, ∵, ∴, ∴,, 即,, ∴的两根为. 【变式训练6-4】(2024 浙江 模拟预测)定义新运算“”:当时,;当时,. (1)当时,求的值. (2)若,求x的值. 【答案】(1)6(2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程,实数的新定义运算、解一元一次不等式,解题的关键是正确分析新定义的运算法则. (1)首先根据新定义进行化简,再代入数值计算即可; (2)根据题意分和两种情况讨论,然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可. 【详解】(1)解:当时, ; (2)当时,即:时,, 解得: ; 当时,即:时, 即, 解得:, ∵, ∴. 所以x的值是或 【变式训练6-5】(24-25八年级上 湖南邵阳 期末)对于任意两个非零实数,,定义运算⊕如下:,如:,. 根据上述定义,解决下列问题: (1)_,_; (2)如果,那么_; (3)如果,求的值. 【答案】(1),0 (2) (3)或 【分析】(1)根据题目已知的定义运算,进行计算,即可分别求得; (2)根据题意可知,然后根据题目已知的定义运算,列出方程进行计算即可求解; (3)分两种情况,和,根据新定义运算法则列分式方程求解即可 【详解】(1)解:, , , , 故答案为:,0; (2)解:, , , 解得, 经检验:是原方程的解, 故答案为:; (3)解:当时, 由原式可得:, 得, 解得, 经检验:是原方程的解,但不符合, 应舍去. 当时,, 得, 解得或, 经检验:或是原方程的解,且符合, 综上,或. 【变式训练6-6】(24-25八年级上 福建泉州 期中)已知a、b为实数,且a、b均不为0,现定义有序实数对(a,b)的“真诚值”为:,如数对(3,2)的“真诚值”为:d(3,2)=3 22﹣3=9,数对(﹣5,﹣2)的“真诚值”为:d(﹣5,﹣2)=(﹣2) (﹣5)2﹣(﹣2)=﹣48. (1)根据上述的定义填空:d(﹣3,4)= ,d(3,﹣2)= ; (2)数对(a,2)的“真诚值”的绝对值为:|d(a,2)|,若|d(a,2)|=8,求a的值. 【答案】(1)32,9;(2) a=或; 【分析】依题意:(1)按照题目已知的“真诚值”进行求解即可; (2)依题意,由于“真诚值”需要对数值的大小进行讨论分类求解; 【详解】由题(1); ; 故答案为:32;9. (2)∵,∴; 若, 当a>2时,4a﹣a=8, 解得,a=; 当a<2时,2a2﹣2=8,a2=5,得a=, ∵a<2, ∴a=; 若, 当a>2时,4a﹣a=﹣8, 解得,a=(不合题意,舍去); 当a<2时,2a2﹣2=-8,a2=-3(不成立舍去); 综上所述,当时,a=或. 1.(24-25九年级上 河北唐山 期末)用直接开平方法解一元二次方程时,方程两边同时开平方可以得到( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查直接开平方法解方程,熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键. 根据直接开平方法,将方程两边同时开平方即可求解. 【详解】解:方程两边同时开平方可以的得到: 故选:D. 2.(2024九年级上 江苏 专题练习)判断方程的根的情况是( ) A.有四个实数根 B.有两个实数根 C.有一个实数根 D.无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程,熟练掌握方程的解法是解题关键.先判断出,再将分式方程化成一元二次方程,利用直接开平方法解方程,然后进行检验即可得. 【详解】解:∵,, ∴, ∴, ∴, 解得或(不满足,舍去), 经检验,是原方程的解, 所以方程的根的情况是有一个实数根, 故选:C. 3.(24-25九年级上 全国 课后作业)若,则的值为( ) A.4 B.4或 C. D. 【答案】A 【分析】把看成一个整体,利用直接开平方法求解方程,再根据,即可得到的值. 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程,注意把看成一个整体是解题的关键. 【详解】解:∵, ∴, 解得或, , , 故选:A. 4.(23-24九年级上 山东济宁 阶段练习)下图是一组有规律的图案,图1中有4个小黑点,图2中有7个小黑点,图3中有12个小黑点,图4中有19个小黑点,……,依此规律,图n中有2028个小黑点,则n的值为( ) A.44 B.45 C.46 D.47 【答案】B 【分析】仔细观察图形,找到图形变化的规律利用规律求解即可. 【详解】第1个图案由个小黑点组成, 第2个图案由个小黑点组成, 第3个图案由个小黑点组成, 第4个图案由个小黑点组成,……, 按照此规律继续下去,可以发现:第个图案由个小黑点组成, 根据题意可得, 解得(不合题意,舍去),; 故选B. 5.(23-24九年级上 广东汕头 阶段练习)已知三角形的两边长分别是5和7,第三边的长是方程的根,则此三角形的周长为( ) A.14 B.16 C.18 D.14或18 【答案】C 【分析】先解一元二次方程,得到第三边长为2、6,再根据三角形三边关系进行判断,选择满足题意的第三边,即可求出三角形的周长. 【详解】解:, 或, 解得:或, 当时,三角形的三边长分别为5、6、7,且,满足三角形三边关系,此时三角形的周长, 当时,三角形的三边长分别为2、5、7,且,不满足三角形三边关系,不符合题意, 综上所述,三角形的周长为18, 故选:C. 6.(24-25九年级上 山西大同 阶段练习)定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如,,.函数在的图象如图所示,则在该范围内方程的解有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】根据新定义和函数图象讨论:当时,则;当时,则;当时,则,然后分别解关于的一元二次方程即可. 【详解】解:当时,,解得,(舍去); 当时,,解得; 当时,,方程没有实数解; 所以在该范围内方程的解有两个:,. 故选:B. 7.(24-25八年级下 上海闵行 阶段练习)方程的解是 . 【答案】或 【分析】本题考查了直接开平方法,掌握直接开平方法解方程是解题的关键.根据直接开平方法求解方程即可. 【详解】解:, , 或(舍去), , 或. 故答案为:或. 8.(2024七年级上 全国 专题练习)如图是一个正方体的展开图,标注了字母的面是正方体的正面,如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等,则的值是 . 【答案】或 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、解一元二次方程,根据正方体的表面展开图可得与相对面上的数字是,可以列出方程,解方程即可得到的值. 【详解】解:根据题意得:, 开方得:或, 解得:或, 故答案为:或. 9.(24-25八年级下 辽宁本溪 开学考试)平面直角坐标系中,点A坐标为,点B坐标为,点C在x轴上,且,则点C坐标为 【答案】或 【分析】此题考查了勾股定理,解一元二次方程,解题的关键是正确列出方程. 设,根据得到,然后代入得到,解方程求出,,进而求解即可. 【详解】∵点C在x轴上, ∴设 ∵ ∴ ∴ ∴, ∴点C坐标为或. 故答案为:或. 10.(23-24七年级下 安徽合肥 期末)定义:方程中含有根号,且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程,比如:对于无理方程,可类比分式方程来解: ①第一步,等式两边同时平方,转化为整式方程,即; ②第二步,解整式方程,即; ③检验,是原方程的解. 仿照上述过程,可求出方程的解为 . 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程,解一元二次方程,将无理方程转化为有理方程是解题的关键. 按照题干中的步骤,先等式两边同时平方,再进行解方程,最后验根即可, 【详解】解:按照上述过程可将等式两边同时平方,转化为整式方程 即 , 解整式方程得,, 将检验,代入,不符合题意,舍去,符合题意, 即是原方程的解, 故答案为. 11.(24-25八年级下 上海 阶段练习)解方程:. 【答案】,. 【分析】本题考查了高次方程的解法,运用直接开配方法进行解答即可,掌握直接开配方法是解题的关键. 【详解】解: 或 ∴,. 12.(24-25九年级上 陕西咸阳 期中)如图,将矩形的边绕点逆时针旋转后得到线段,连接,设的长为,的面积为. (1)求与之间的函数关系式; (2)当的面积为时,求矩形的边的长. 【答案】(1)(2) 【分析】(1)过点作于点,可证明为等边三角形,则,在中,由勾股定理得,代入面积公式即可求解; (2)把代入函数关系式,解一元二次方程即可. 【详解】(1)解:过点作于点, 由旋转得, ∴为等边三角形, ∴, ∵ ∴, 在中,由勾股定理得, ∴ ∴与之间的函数关系式为 (2)解:当时,, 解得:(负值已舍), ∴矩形的边的长为. 13.(24-25九年级上 山西晋城 阶段练习)阅读与思考 蚂蚁和大象一样重吗? 你一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧!蚂蚁能举起比它的体重重许多的火柴棒,而大象举起的却是比自己体重轻许多的一截圆木,结果蚂蚁获得了举重冠军! 我们这里谈论的话题是:蚂蚁和大象一样重吗?我们知道,即使是最大的蚂蚁与最小的大象,它们的重量也明显不是一个数量级的.但是下面的“推导”却让我们大吃一惊:蚂蚁和大象一样重! 设蚂蚁的重量为克,大象的重量为克,它们的重量和为克,即. 两边同乘以,得, 即, 可变形为, 两边都加上,得, 于是, 得, 所以. 这里竟然得出了“蚂蚁和大象一样重”的结论,岂不荒唐!那么问题究竟出在哪里呢? 请根据上述材料解决下列问题. (1)材料中得到“蚂蚁和大象一样重”错误结论的原因是什么? (2)化简: 当_时,_;当_时,_. (3)解方程. 【答案】(1)见解析(2),;,(3), 【分析】本题主要考查了直接开平方解一元二次方程.注意开平方后的符号是解题关键. (1)根据开平方的性质,直接开平方判断作答即可; (2)根据开平方的性质,求解作答即可 ; (3)利用直接开平方解一元二次方程即可. 【详解】(1)解:由题意知,, 两边开平方,应该得,, ∴材料中得到“蚂蚁和大象一样重”错误结论的原因是两边开平方计算错误; (2)解:由题意知,当时,; 当时,; 故答案为:,;,. (3)解:, ∴, ∴或, 解得,,. 1 / 37 学科网(北京)股份有限公司 $$ 专题21.2 一元二次方程的解法“直接开平方法” 【人教版】 题型一：一元二次方程中直接开方法求参数的取值范围 2 题型二：已知一元二次方程的解求参数的值 5 题型三：直接开方法解一元二次方程（计算题） 8 题型四：特殊法解一元二次方程 12 题型五：直接开平方中新定义问题（选填） 17 题型六：解答题中新定义类问题（压轴） 20 知识点一 ：“直接开平方法”解一元二次方程 使用条件：直接开平方法适用于解形如或 （其中 (）的一元二次方程。这种方法利用了平方根的定义，即如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根 解题步骤 ①识别方程形式：首先，识别给定的一元二次方程是否符合直接开平方法的适用形式。这通常意味着方程需要被简化或转换成 或 的形式； ②移项和简化：如果方程不是直接的 或 形式，通过移项和简化将其转换为这种形式。例如，对于方程 ，可以通过移项得到 ； ③直接开平方：根据平方根的定义，对方程两边直接开平方。例如，对于方程 ，开平方后得到 。这意味着方程有两个解，一个是正数，另一个是负数； ④检验解的合理性：在得到解之后，根据实际情况检验解的合理性。例如，在解决几何问题时，可能需要排除负数解。 直接开平方法是一种简单且直接的解一元二次方程的方法，尤其适用于那些可以直接转化为平方形式的方程。然而，并不是所有的一元二次方程都能用这种方法来解，对于更复杂的情况，可能需要使用其他方法，如配方法、公式法或因式分解法。 题型一：一元二次方程中直接开方法求参数的取值范围 例1（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）若方程有解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（2025·河南南阳·二模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式训练1-2】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）若关于的方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【变式训练1-5】（24-25九年级上·江苏南京·期末）对于三个不相等的实数，，，我们规定符号表示，，中的最大值，如：． (1)若，求的值； (2)当时，，直接写出的取值范围． 题型二：已知一元二次方程的解求参数的值 例2（23-24九年级上·山东临沂·期末）若一元二次方程的两个根是与，则m的值是（   ） A．4 B．2 C．与a、b有关 D．没法确定 【变式训练2-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则△ABC的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【变式训练2-2】（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）关于的方程和的两个根均相同，则 ． 【变式训练2-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为2，则方程的两根之和为 ． 【变式训练2-4】（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 【变式训练2-5】（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 题型三：直接开方法解一元二次方程（计算题） 例3（24-25九年级上·广东佛山·期中）解下列方程：． 【变式训练3-1】（24-25七年级下·天津宝坻·阶段练习）求下列各式中x的值 (1) (2) 【变式训练3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式训练3-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【变式训练3-4】（24-25八年级上·上海青浦·期中）解方程：． 【变式训练3-5】（2024九年级上·全国·专题练习）按要求解下列方程 (1)（直接开平方法）． (2)． 题型四：特殊法解一元二次方程 例4（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）已知关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个解是，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若关于的方程（，，均为常数，）的解是，，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-2】（24-25九年级上·福建龙岩·期中）关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-3】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【变式训练4-4】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是 【变式训练4-5】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程的解是（m，h，k均为常数，），则方程的解是 【变式训练4-6】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程的解是，（a、k、b均为常数，） 问题：（1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 题型五：直接开平方中新定义问题（选填） 例5（2025·广东佛山·二模）新定义：．若，则的值为 ． 【变式训练5-1】（2025·河北唐山·二模）对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 【变式训练5-2】（24-25八年级上·上海·期中）“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么 ． 【变式训练5-3】（2025·广东广州·模拟预测）定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【变式训练5-4】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）定义为二阶行列式．规定它的运算法则为，那么当二阶行列式时， ． 【变式训练5-5】（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较大的数，如，若，则 ． 【变式训练5-6】（24-25九年级上·湖南湘西·期中）给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数则有已知函数则方程的解是 ． 【变式训练5-7】（24-25九年级上·陕西西安·期中）对任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，若，则x的值为 ． 题型六：解答题中新定义类问题（压轴） 例6（24-25九年级上·江苏镇江·期中）阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： (1)多项式关于__________平衡； (2)若关于的多项式关于平衡，则__________； (3)关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 【变式训练6-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）某同学在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程： 解：原方程可变形， 得 直接开平方并整理，得，， 我们称该同学的这种解法为“平均数法”． (1)下面是该同学用“平均数法”解方程时写的解题方程： 解：原方程可变形，得 直接开平方并整理，得， 上述过程中“”，“○”，“☆”，“”表示的数分别是________，________，________，________； (2)请用“平均数法”解方程：． 【变式训练6-2】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如都是根分式． (1)下列式子： ①；②；③，其中___________（填序号）是根分式； (2)根分式中的取值范围为___________； (3)已知两个根分式：． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，求的值． 【变式训练6-3】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【变式训练6-4】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【变式训练6-5】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）对于任意两个非零实数，，定义运算⊕如下：，如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么______； (3)如果，求的值． 【变式训练6-6】（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知a、b为实数，且a、b均不为0，现定义有序实数对（a，b）的“真诚值”为：，如数对（3，2）的“真诚值”为：d（3，2）＝3×22﹣3＝9，数对（﹣5，﹣2）的“真诚值”为：d（﹣5，﹣2）＝（﹣2）×（﹣5）2﹣（﹣2）＝﹣48． （1）根据上述的定义填空：d（﹣3，4）＝　 　，d（3，﹣2）＝　 　； （2）数对（a，2）的“真诚值”的绝对值为：|d（a，2）|，若|d（a，2）|＝8，求a的值． 1．（24-25九年级上·河北唐山·期末）用直接开平方法解一元二次方程时，方程两边同时开平方可以得到（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）判断方程的根的情况是（　　） A．有四个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 4．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小黑点，图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，……，依此规律，图n中有2028个小黑点，则n的值为(   )    A．44 B．45 C．46 D．47 5．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）已知三角形的两边长分别是5和7，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．14或18 6．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）方程的解是 ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等，则的值是 ． 9．（24-25八年级下·辽宁本溪·开学考试）平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点C在x轴上，且，则点C坐标为 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 11．（24-25八年级下·上海·阶段练习）解方程：． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，将矩形的边绕点逆时针旋转后得到线段，连接，设的长为，的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)当的面积为时，求矩形的边的长． 13．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）阅读与思考 蚂蚁和大象一样重吗? 你一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军! 我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗?我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量也明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却让我们大吃一惊：蚂蚁和大象一样重! 设蚂蚁的重量为克，大象的重量为克，它们的重量和为克，即． 两边同乘以，得， 即， 可变形为， 两边都加上，得， 于是， 得， 所以． 这里竟然得出了“蚂蚁和大象一样重”的结论，岂不荒唐！那么问题究竟出在哪里呢? 请根据上述材料解决下列问题． (1)材料中得到“蚂蚁和大象一样重”错误结论的原因是什么? (2)化简： 当______时，______；当______时，_______． (3)解方程． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$