专题21.1 一元二次方程（3个知识点+9个题型+14个巩固题）-2025-2026学年九年级上册数学精准提分系列人教版

专题21.1 一元二次方程 【人教版】 题型一：判断是否为一元二次方程 1 题型二：根据一元二次方程的定义求参数的值 4 题型三：化为一元二次方程一般式 7 题型四：已知一元二次方程的解求参数的值 9 题型五：已知一元二次方程组的解求代数式的值（整体带入法） 11 题型六：已知一元二次方程组的解求代数式的值（降次法） 14 题型七：一元二次方程特殊值求解 17 题型八：一元二次方程解的估算 20 题型九：一元二次方程中新定义问题 23 知识点一 ：一元二次方程的定义 定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 注意：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程如，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）如。 题型一：判断是否为一元二次方程 例1（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式训练1-3】（24-25八年级下·浙江金华·期中）下列方程为一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、的未知数在分母里，是分式方程，不符合题意； C、的未知数最高次数为2，且只有一个未知数，符合题意是一元二次方程，符合题意； D、含有根式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【变式训练1-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：①是一元二次方程； ②，当时是一元一次方程，不是一元二次方程； ③是分式方程，不是一元二次方程； ④，整理得：是一元二次方程； ⑤，整理得：是一元一次方程，不是一元二次方程； 则共有2个， 故选：B． 【变式训练1-5】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、方程整理为，则此项是关于的一元一次方程，不符合题意； B、不是整式方程，则此项不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、只有当时，是关于的一元二次方程，则此项不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、因为，所以方程一定是关于的一元二次方程，符合题意； 故选：D． 题型二：根据一元二次方程的定义求参数的值 例2（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 【变式训练2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 【详解】根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 【变式训练2-2】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据定义可知，且，求出解即可． 【详解】∵是一元二次方程， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：3． 【变式训练2-3】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2-4】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）当 时，方程为一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的概念可得即可得解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2-5】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据二次项系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 知识点二 ：一元二次方程的一般式 一般式：（其中a≠0，a、b、c为常数） 其中是二次项，是二次项系数，为一次项，为一次项系数，为常数项。 注意：在判断一元二次方程的各项以及系数时，需要把题目所给的式子化简为标准的一元二次方程一般式的形式后再来判断。 题型三：化为一元二次方程一般式 例3（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 【变式训练3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 【变式训练3-2】（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【变式训练3-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 【变式训练3-4】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【变式训练3-5】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 【详解】解： ， 整理得： 故答案为： 知识点三 ：一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 特殊的解： 当x=1时，a+b+c=0；当x=-1时，a-b+c=0 题型四：已知一元二次方程的解求参数的值 例4（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 【变式训练4-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．把代入方程得，解出的值即可求解． 【详解】解：把代入方程得， 解得：， 故选：C． 【变式训练4-2】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足一元二次方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是1， ∴，即，解得：． 故选D． 【变式训练4-3】（24-25九年级上·广东韶关·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】将代入，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解的定义，以及解方程的能力，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键． 【详解】∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式训练4-4】（2025九年级下·云南·学业考试）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，根据题意把代入关于x的一元二次方程中即可求出m的值． 【详解】解：将代入方程中得， 解得． 故答案为：3． 【变式训练4-5】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 【变式训练4-6】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，求常数k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，把代入已知方程，列出关于k的新方程，解新方程即可求得k的知． 【详解】解：关于x的方程（k为常数）有一个实数根为， ． 解得：． 题型五：已知一元二次方程组的解求代数式的值（整体带入法） 例5（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：B． 【变式训练5-1】（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义，可得，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 【变式训练5-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若是关于x的一元二次方程一个根，则值为（　） A．4048 B．4050 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入到方程，整理得到，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：代入到方程，得， ， ． 故选：C． 【变式训练5-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 . 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，即，然后将变形为，再将代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练5-4】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练5-5】（2025·福建福州·三模）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，先由一元二次方程根的定义得到，再将整体代入求解即可得到答案．熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 【变式训练5-6】（2025·山东德州·二模）是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，以及考查了整体代入思想． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： a是方程的一个根， ，即， ． 故答案为：． 题型六：已知一元二次方程组的解求代数式的值（降次法） 例6（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，理解一元二次方程的解和整体代入思想是解题关键． 根据是方程的根，得出、，对代数式变形后将其代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ，， ， ． 故选：A． 【变式训练6-1】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式训练6-2】（24-25九年级下·重庆·期中）若是关于x的方程的解，则的值为 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义及求代数式的值．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程得出，然后将原式化简，整体代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式训练6-3】（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：11． 【变式训练6-4】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 题型七：一元二次方程特殊值求解 例7（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 【变式训练7-1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 【变式训练7-2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程有一根为，则把方程看作关于的一元二次方程时有，解得，于是可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的一个根， ∴也是的一个根， 即， 故选：C． 【变式训练7-3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 【变式训练7-4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若，则关于x的一元二次方程必有一根为（　　） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入，可得，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， ∴关于x的一元二次方程必有一根为． 故选：A． 【变式训练7-5】（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，能根据题意得出两个方程解之间的关系是解题的关键． 根据题意得出，后一个方程是用替换了前一个方程中的x得到，据此得出后一个方程的解与前一个方程解的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知，后一个方程是用替换了前一个方程中的x得到， 又∵关于x的一元二次方程的解为，， ∴或， ∴， 故选：D． 题型八：一元二次方程解的估算 例8（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 【变式训练8-1】（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 【变式训练8-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 【变式训练8-3】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 【变式训练8-4】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 【变式训练8-5】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 题型九：一元二次方程中新定义问题 例9（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【答案】(1)该方程是“联合方程”，见解析 (2)的值为，的值为6 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，正确理解一元二次方程的解得概念是解题的关键． （1）根据“联合方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：该方程是“联合方程”，理由如下： 在一元二次方程中，，，， ， 一元二次方程是“联合方程”； （2）解：是关于的“联合方程”， ， 是此“联合方程”的一个根， ， 即， 解得， 的值为，的值为6． 【变式训练9-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 【变式训练9-2】（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析(2)见解析(3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 【变式训练9-3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 【变式训练9-4】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）请阅读下列材料：，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为：________； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，熟练掌握“换根法”是解题的关键： （1）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可； （2）设所求方程的根为，则：，得到，把代入原方程，化简即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则：， ∴， 把代入原方程，得：，即：； 故答案为：． （2）设所求方程的根为，则：， ∴， 把代入原方程，得： 整理得：； 故答案为：． 【变式训练9-5】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，求k的值． 【答案】17 【分析】此题考查了一元二次方程的解，首先根据题意得到规律，然后由，得到． 【详解】解：∵②； ③； ④； ∵也是“连根一元二次方程” ∴两根是两个连续的自然数，两根之积为72，且 ∴． 【变式训练9-6】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知数的值和利用整体代入得思想是解题关键．由题意可知，即得出，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，以及代数式的求值。熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 通过将已知解代入方程，得到关于a与b的等式，进而求解代数式的值。 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故选：D. 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义， 熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键． 将代入方程中，再两边同时除以即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025， ∴， ∴，即， ∴是方程的实数根． 故选：D． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 5．（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，，0 B．4，0， C．4，0， D．，0， 【答案】C 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，0，， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 7．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）x、y为方程的两个实数根．若，，求的值 ． 【答案】18 【分析】本题考查了一元二次方程解（根）的意义，先根据根的意义得，，进而得，，再代入化简得，最后将，整体代入求值即可． 【详解】解：∵x、y为方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ， ∵，， ∴原式． 故答案为：18． 8．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 9．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题． 把代入方程得，从而得到，再由，整体代入计算即可． 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴ ． 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中是三△ABC的三边长，若是该方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】△ABC是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：△ABC是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴△ABC是等腰三角形． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求△ABC的周长． 【答案】21或24 【分析】利用一元二次方程的解先求解m的值，再按照两种情况分类讨论即可． 本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，一元二次方程的解的含义，遇到等腰三角形要注意分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：把代入中， 得， 解得． 因为m和6恰好是等腰三角形的两边长， ①当腰长为6，底为9 时，三边长为6、6、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为； ②当腰长为9，底为6 时，三边长为6、9、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为． 综上所述，△ABC的周长为21或24． 13．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求△ABC的面积． 【答案】(1)是勾系一元二次方程； (2)2． 【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【详解】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故△ABC的面积为2． 14．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】类比探究（1）；拓展运用（2）所求方程为 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 一元二次方程 【人教版】 题型一：判断是否为一元二次方程 1 题型二：根据一元二次方程的定义求参数的值 4 题型三：化为一元二次方程一般式 7 题型四：已知一元二次方程的解求参数的值 9 题型五：已知一元二次方程组的解求代数式的值（整体带入法） 12 题型六：已知一元二次方程组的解求代数式的值（降次法） 15 题型七：一元二次方程特殊值求解 17 题型八：一元二次方程解的估算 20 题型九：一元二次方程中新定义问题 23 知识点一 ：一元二次方程的定义 定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 注意：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程如，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）如。 题型一：判断是否为一元二次方程 例1（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（24-25八年级下·浙江金华·期中）下列方程为一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元二次方程的有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-5】（24-25九年级上·四川乐山·阶段练习）下列方程一定是关于的一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 题型二：根据一元二次方程的定义求参数的值 例2（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【变式训练2-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【变式训练2-2】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【变式训练2-3】（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【变式训练2-4】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）当 时，方程为一元二次方程． 【变式训练2-5】（24-25九年级上·福建泉州·期中）若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 知识点二 ：一元二次方程的一般式 一般式：（其中a≠0，a、b、c为常数） 其中是二次项，是二次项系数，为一次项，为一次项系数，为常数项。 注意：在判断一元二次方程的各项以及系数时，需要把题目所给的式子化简为标准的一元二次方程一般式的形式后再来判断。 题型三：化为一元二次方程一般式 例3（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5 【变式训练3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【变式训练3-2】（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【变式训练3-5】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 知识点三 ：一元二次方程的解 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 特殊的解： 当x=1时，a+b+c=0；当x=-1时，a-b+c=0 题型四：已知一元二次方程的解求参数的值 例4（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式训练4-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【变式训练4-3】（24-25九年级上·广东韶关·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式训练4-4】（2025九年级下·云南·学业考试）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【变式训练4-5】（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【变式训练4-6】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，求常数k的值． 题型五：已知一元二次方程组的解求代数式的值（整体带入法） 例5（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【变式训练5-1】（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2020 C．2021 D．2022 【变式训练5-2】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若是关于x的一元二次方程一个根，则值为（　） A．4048 B．4050 C．2024 D．2025 【变式训练5-3】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 . 【变式训练5-4】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式训练5-5】（2025·福建福州·三模）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【变式训练5-6】（2025·山东德州·二模）是方程的一个根，则代数式的值是 ． 题型六：已知一元二次方程组的解求代数式的值（降次法） 例6（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练6-1】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式训练6-2】（24-25九年级下·重庆·期中）若是关于x的方程的解，则的值为 【变式训练6-3】（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为 【变式训练6-4】（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 题型七：一元二次方程特殊值求解 例7（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】（2025·山东烟台·一模）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【变式训练7-2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式训练7-3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【变式训练7-4】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若，则关于x的一元二次方程必有一根为（　　） A． B．0 C．2 D．或2 【变式训练7-5】（24-25九年级下·江苏徐州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型八：一元二次方程解的估算 例8（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【变式训练8-1】（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【变式训练8-2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【变式训练8-3】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【变式训练8-4】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 题型九：一元二次方程中新定义问题 例9（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）定义：如果一元二次方程（）满足，那么称这个方程为“联合方程”． (1)判断一元二次方程是否为“联合方程”，说明理由； (2)已知是关于的“联合方程”，若是此“联合方程”的一个根，求和的值． 【变式训练9-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【变式训练9-2】（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【变式训练9-3】（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【变式训练9-4】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）请阅读下列材料：，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得，化简，得，故所求方程为，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为：________； 【变式训练9-5】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，求k的值． 【变式训练9-6】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 2．（24-25九年级上·河北邢台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 5．（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，，0 B．4，0， C．4，0， D．，0， 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 7．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）x、y为方程的两个实数根．若，，求的值 ． 8．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 9．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 11．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中是三△ABC的三边长，若是该方程的一个根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求△ABC的周长． 13．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求△ABC的面积． 14．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$