期末专题03【高频解答题60题 第16-20章】-2024-2025学年八年级数学下册期末高分秘籍（人教版）

编写说明 随着期末考试的脚步日益临近，数学这门既考验逻辑又讲究细节的学科，正呼唤着每一位学子进行系统而高效的复习。为了帮助大家在数学的海洋中稳健航行，我们特此推出了《人教版八年级数学下册期末高分秘籍》，它如同一盏明灯，照亮你的备考之路。本秘籍紧贴新人教版教材精髓，融合历年期末考试真题，精心梳理了选择题、填空题、解答题三大板块的高频考点，不仅揭示了易错陷阱，还配备了高效的解题策略。 一、秘籍概览 选择题：聚焦基础概念与快速判断，通过对比分析，训练你的敏锐洞察力。 填空题：强调解题准确性与步骤规范性，通过技巧点拨，提升你的效率。 解答题：融合生活实际，考验你的数学建模与问题解决能力，培养逻辑思维与创新能力。 二、复习策略 分题型强化： 选择题：每天定时练习，每题限时1-2分钟，锻炼快速准确判断的能力。注意总结错题，分析错误原因，避免重复犯错。 计算题：重视过程书写，每一步都要有理有据。通过专项练习，提高计算的准确性和速度。 解答题：结合生活实际，尝试将问题转化为数学模型。多读题，多思考，多总结解题模板，提升解题灵活性。 模拟考试：定期进行全真模拟考试，严格按照考试时间分配，培养考试感觉。模拟后，认真分析试卷，找出薄弱环节，针对性加强。 错题本：建立个人错题本，记录每次练习或模拟考试中的错题，附上正确解答和错误原因分析。考前重点回顾，确保同类错误不再犯。 三、心态调整 数学之美，在于其逻辑的严密与解题的多样性。面对挑战，保持积极的心态至关重要。记住，每一次错误都是成长的阶梯，每一次努力都是向成功迈进的步伐。相信自己，坚持不懈，你定能在期末考试中大放异彩。 2025.6 2024-2025学年八年级数学下册期末高分秘籍 (专题03解答题) 目录 考点一二次根式.........................................................................................................................2 考点二勾股定理.........................................................................................................................10 考点三平行四边形.....................................................................................................................28 考点四一次函数......................................................................................................................46 考点五数据分析........................................................................................................................70 考点一 二次根式 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数计算，二次根式计算，平方差公式等，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将二次根式化简，再去括号合并同类项即可； （2）先利用平方差公式计算，再计算除法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握二次根式有意义的条件，是解题的关键． 先根据被开方数为非负数求出x的值，进而求出y的值，然后代入代数式计算解题． 【详解】解：由已知可得， 解得． 则． ∴． 则． 4．已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先对所求的代数式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，完全平方式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接将，代入式子计算即可； （2）先利用完全平方式将变形为，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．已知． (1)求的值； (2)若y的小数部分为b，求b的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的大小估计、利用完全平方公式变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可得； （2）根据可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的小数部分为， ∴． 7．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出，，，再整体代入求值即可； （2）根据平方差公式，结合，，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：． 8．如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏板A，B的边长分别为________m，________m；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； （2）解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积为． 9．观察下列各式及其验证过程： （1）， 验证：； （2）， 验证：． (1)按照上述两个等式及验证过程的基本思路，猜想第（3）个式子的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出第n个式子（的整数）． 【答案】(1)，验证见解析； (2)． 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，分解因式的应用，异分母分式的加减，解题关键是将根号内通分． （1）先将根号内通分，再利用二次根式的性质化简； （2）先将根号的分式内通分，再将分子分解因式，然后利用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 10．观察下列运算： 由，得； 由，得； 由，得； … (1)通过观察得________； (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察题目所给的式子得到规律即可得到答案； （2）根据对原式进行裂项，得到，由此求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ∴可以得到规律， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了运用平方差公式进行分母有理化，解题的关键在于正确理解题意找到规律求解． 考点二 勾股定理 11．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)已知，，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再得出，根据勾股定理得出，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 将旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米． 在中， 根据勾股定理得． 解得： 答：旗杆的高度为12米． 13．如图，在中，，，D为边上一点，，过D作于E，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，角直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）可得，先根据角直角三角形的性质求出，，再对运用勾股定理求解； （2）先由勾股定理求出，再由四边形的面积求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍负）； （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形的面积． 14．在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理可得，再由三线合一定理得到，则可利用勾股定理求出的长，进而得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ，点是的中点， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 15．如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 连接，由题意知，，利用勾股定理可求，并可求，而，，得，可证是直角三角形，，从而求的度数； 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴为等腰直角三角形， ，， 又， ， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 16．如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与勾股定理，确定用定理进行证明是关键． （1）由题意可知和为直角三角形，根据定理证明即可； （2）由可知，在中，根据勾股定理可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴和为直角三角形， 在和中，， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 17．如图所示，和都是等腰直角三角形，，为边上一点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理： （1）已知和都是等腰直角三角形，，则，又因为两角有一个公共的角，所以根据得出． （2）由（1）的论证结果得出，利用勾股定理得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即 在和中， ， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形 ∴， 由(1)得：， ∴， ∴，即为直角三角形， ∴中，． 18．在中，，为中点，点、分别在边、上，且． (1)如图1，如果，求证：； (2)在（1）的条件下，猜想线段、和之间的数量关系是______； (3)如图2，如果，（2）中、和之间的关系还成立吗？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)结论：还成立．理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）连接，利用“”证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）由全等三角形的性质可知，结合题意可求出．在中，再由勾股定理，可得出答案； （3）延长至点M，使，连接．易证，得出，，从而判断，即证明．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知．最后在中，由勾股定理，得，即得出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， 是等腰直角三角形． 点是的中点， ，， ，，． 又， ， ，， ． 在与中， ， ， （2）猜想：． 证明：由（1）可知， ， ， ，即． 在中，由勾股定理，得， ； （3）结论：还成立． 理由如下： 如图，延长至点，使，连接． 点为中点， ， ，， ， ，， ． 又，， 是的垂直平分线， ， 在中，由勾股定理，得， ． 19．如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，易证，即可得到结论； （2）根据（1）易得，设，则，，在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出，即可作答． 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，也考查了长方形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理；利用长方形的性质、三角形全等的性质以及勾股定理进行正确计算是解题的关键． 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，， 又四边形为长方形， ， ， 而， 在与中： ； （2）解：∵四边形为长方形， ，， ， ， 设， 则，， 在中，， 即， 解得． 20．如图，在中，．以点B为圆心，以任意长为半径作弧交，于点M，N，以点M，N为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D． (1)判断：与的数量关系是 ； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据作图得到平分，即可得出结果； （2）过点作于点，证明，得出．根据勾股定理求出．设，则．根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由作图可知：平分， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ． ， 又， ， ． 在中， 由勾股定理得． 设，则． 在中， ， ， 解得， 的长为． 21．如图，等腰中，．点是上两动点，且，若． (1)求证：． (2)当时，求的长； 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，等腰三角形的性质等知识点． （1）先证明，结合 ，，从而可得结论； （2）设 ，则 ，证明 ，可得 ，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， ，， ； （2）解： ， 设 ，则 ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， 解得 ， ． 22．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在的延长线上，点B在上，，，，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，根据题意构造直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答是解题的关键． （1）根据题意，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出的长度； （2）过点作于点，由平行线的性质求得，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，在中可求出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ． ； （2）解：过点作于点， ∵， ， ，， 在中，，， ， ， ． 23．如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2）， ∴． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 考点三 平行四边形 24．如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 25．如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质证明，即可求解； （2）根据题意得到，，根据平行四边形的判定方法即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形． 26．在▱中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)96 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，，即 ， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 27．如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识， （1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明，，，即可得到结果； （2）根据题意可得，得到，再根据点与点重合，得到，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为折痕，点与点重合， ∴， ∴， ∴． 28．如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∴在中，． 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 29．如图，在中，点D是边的中点，平分，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质可得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论； （2）先证明，再证明，可得到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，即点是的中点， ∵点D是边的中点， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 30．如图，在中，点是的中点，点在上，点在延长线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形； （2）由，，得到，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形． 【详解】（1）证明：在中，是边的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：满足条件时四边形为菱形． 理由：若时，为等腰三角形， ∵点是的中点， 即为中线， ， 即， 四边形为菱形． 31．如图，在中，平分交于点交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理； （1）根据平行四边形的性质得出结合，得出四边形是平行四边形，进而根据角平分线以及平行线的性质得出则，即可得证； （2）根据菱形的性质，勾股定理，求得菱形的面积，进而根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ， 平分交于点交于点F ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ． ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点H，    ∵四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 的长为． 32．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，对角线互相垂直，垂足为． (1)求证：四边形为矩形； (2)若四边形的面积为6，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形以及三角形的中位线定理，熟记相关结论即可． （1）由题意得：分别是的中位线，推出且；且；进而得且；四边形为平行四边形；结合，，，即可求证； （2）由题意得；根据，且，，即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得：分别是的中位线， ∴且；且； ∴且； ∴四边形为平行四边形； 同理可得：且； ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形的面积为6， ∴； ∵，且，， ∴ 33．如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形中线平分三角形面积等知识，证明菱形的关键． （1）由直角三角形斜边中线的性质结合，得，再由得四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）连接，由菱形的性质结合，得；由E是的中点及菱形性质得四边形的面积等于直角三角形的面积，由勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：∵，E为的中点， ∴； ∵，即， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，如图； ∵四边形是菱形， ∴； ∵， ∴； ∵点E是的中点， ∴； ∵， ∴四边形的面积等于直角三角形的面积； 在中，由勾股定理得， ∴四边形的面积为． 34．如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，是解题的关键． （1）根据翻折的性质，得到，进而得到，再根据，利用即可证明； （2）根据翻折得到，，全等得到，进而推出，利用勾股定理求出的长，设，利用勾股定理建立方程求出的值，再利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形中，点E是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，， 在中，， 设，则：， 在和中：， 即：， 解得：； ∴． 35．如图，在矩形中，E是的中点，延长、交于点F，连接、、． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，再证明，由全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，等量代换可得出． （2）由矩形的性质得出，由角平分线的定义得出，由等腰直角三角形的判定和性质得出，结合已知条件可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∴ ∴ （2）解：∵是矩形， ∴， ∵平分， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵E是的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 考点四 一次函数 36．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)求该函数图象与轴、轴的交点、的坐标及、两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了一次函数图象，勾股定理解三角形，利用描点法画函数图象是解题关键． （1）根据描点法，可得函数图象； （2）根据（1）得出，，结合勾股定理求解即可 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴取点，连接即可； （2）由（1）得，， ∴， ∴ 37．已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数图象、一次函数图象的平行条件、一次函数图象的分布等知识点，熟练掌握平行条件以及图象分布的条件是解题的关键． （1）根据这个函数经过原点，则满足函数，再将其代入解析式计算即可． （2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可； （3）根据这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，得到，求得m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵关于x的函数的图象经过原点， ∴点满足函数的解析式， ∴，解得：． （2）解：∵函数的图象平行于直线， ∴，解得：． （3）解：函数是一次函数，且图象不经过第四象限， ∴，解得：． ∴m的取值范围是． 38．已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式、正比例函数的性质、解一元一次不等式，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：∵的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 39．已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数时正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 40．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为 ． (2)若平面内有一点，求经过点且平分平行四边形的面积的直线解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求解析式，中点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，得，，又点的坐标为，则，从而可得点的坐标是； （）由中点坐标可得中点坐标为，设直线解析式为． 将点，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴中点坐标为， 设直线解析式为． 将点，代入得 ，解得， ∴直线解析式为． 41．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第四象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴将点代入一次函数解析式得：， 联立得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：根据题意：，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵一次函数的图象经过第四象限，且，则， ∴， ∴ ∴． 42．如图，已知一次函数（）与正比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求k的值及点A的坐标； (2)当时，求x的取值范围； (3)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的性质及两条直线相交或平行问题，熟知一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入求出a的值，再将所得点A的坐标代入即可解决问题； （2）结合（1）中求出的k值进行计算即可； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得， ， 解得， 所以点A的坐标为． 将点代入得， ， 解得； （2）解：由（1）知，， ∴，即， 解得； （3）解：由（1）可知，点A的坐标为，根据函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即， 所以当时，x的取值范围是． 43．已知直线经过点，，并与直线相交于点C，求： (1)直线的表达式及点C的坐标； (2)关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，待定系数法求一次函数的解析式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；解两个函数解析式组成方程组即可求解； （2）关于x的不等式的解集就是函数的图象在上边的部分自变量的取值范围． 【详解】（1）解：直线经点，， ∴， 解得， 直线的表达式为． 直线与直线相交于点， ， 解得， 点． （2）解：根据图象可得，关于的不等式的解集为． 44．如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，点不在直线； (2)①，②； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断； （2）①联立得，求解即可； ②求出，，根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，、 ∴点不在直线上； （2）解：①当时直线 联立得：， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：， ②在中，当时，，当时，， ，， ； （3）解：∵点在直线上， ，， ，， 当直线过点时，则， 解得：， 当直线过点时，则， 解得：， ∴的取值范围或． 45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求该一次函数的表达式； (2)问在的图象上是否存在点P，使得的面积是的2倍？若存在，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题． （1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）先求出点B的坐标，进而可求出的面积，根据的面积是的2倍即可得出，进一步求出 ，即或，再分别求出对应的P点的横坐标即可． 【详解】（1）解：当时，， 点坐标为 直线经过点和点， 解得 一次函数的表达式为 （2）解：当时．代入． 解得：， ∴ ∴ ①当时．代入， 解得： ②当时．代入 解得： 点坐标为或 46．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)直接写出点A和点B的坐标； (2)连接，若， ①求点D的坐标； ②若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点D的坐标为；②或 【分析】（1）根据一次函数图象的性质即可解答； （2）①如图，过点D作轴于点E，根据A、B、C三点的坐标，得出，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点D的坐标；②分两种情况讨论：a四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点Q的纵坐标为，进而得到点Q的坐标，再根据，得到点P的坐标；b四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，进而的得到点P的坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B， 令，则；令时，； ∴，． （2）解：①如图，过点D作轴于点E， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ②存在点E，使得以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． a．如图，当四边形为平行四边形时， ∴，， ∴点F的纵坐标为， ∵点F在直线上， 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． b．如图2，当四边形为平行四边形时， 由a得，，， ∵， ∴． 综上可知，以点C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象的性质、求一次函数解析式、平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 47．为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买3个足球和4个排球共需430元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． (1)足球和排球的单价各是多少？ (2)该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)足球的单价为50元，排球的单价为70元 (2)当购买7个足球、23个排球时，所需费用最少，最少费用为1603元 【分析】题目主要考查方程组及不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出相应式子是解题关键． （1）设足球的单价为元，排球的单价为元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个，根据题意列出不等式确定，再确定，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为元，排球的单价为元． 由题意，得， 解得． 答：足球的单价为50元，排球的单价为70元． （2）设购买所需的费用为元，购买排球个，则购买足球个． ∵足球数量不超过排球数量的， ∴， 解得． 由题意，得． ∴随的增大而增大． ∵为整数， ∴当时，最小，最小值为1603． 此时． 答：当购买7个足球、23个排球时，所需费用最少，最少费用为1603元． 48．坚持“五育”并举，全面发展素质教育，星光中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球．已知一副球拍标价100元，一盒球标价30元．购买时发现商场正在进行两种优惠促销活动，且学校准备购买这款乒乓球拍15副，乒乓球x（）盒． 活动1：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 活动2：全部打八五折． (1)分别求出每种优惠活动实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式； (2)按哪种优惠活动付款更省钱？ 【答案】(1)，； (2)当时，按活动1付款更省钱；当时，两种活动付款相同；当时，按活动2付款更省钱． 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据活动情况解答即可； （2）分别计算、、三种情况下对应x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ， ∴与x之间的函数关系式为，与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得， ∵， ∴； 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴当时，按活动1付款更省钱；当时，两种活动付款相同；当时，按活动2付款更省钱． 49．某科技公司计划采购和两种人工智能模型用于产品开发．已知采购2个型模型和3个型模型的总费用为4600元：采购1个型模型和2个型模型的总费用为2800元． (1)求、两种模型的单价． (2)该公司需要采购、两种模型共60个，其中型模型的数量不少于型模型的2倍；如果型模型无任何优惠，型模型可享受75折优惠。那么该公司至少需要准备多少预算资金才能完成采购？ 【答案】(1)A种模型的单价为800元个，B种模型的单价为1000元个 (2)该公司至少需要准备47000元的预算资金才能完成采购 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设型模型的单价为元，型模型的单价为元，根据“采购2个型模型和3个型模型的总费用为4600元；采购1个型模型和2个型模型的总费用为2800元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型模型个，则购进型模型个，根据购进型模型的数量不少于型模型的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公司需要准备元的预算资金才能完成采购，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设型模型的单价为元，型模型的单价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：型模型的单价为800元，型模型的单价为1000元； （2）解：设购进型模型个，则购进型模型个， 根据题意得：， 解得：， 设该公司需要准备元的预算资金才能完成采购，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元． 答：该公司至少需要准备47000元的预算资金才能完成采购． 50．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情㫛，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … (1)通过分析数据，小明发现可以用一次函数来刻画总水量（毫升）与时间（分钟）之间的关系，求与的函数关系式； (2)根据以上数据，解决下列问题： ①求小明在第20分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你直接写出这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用_____________天． 【答案】(1) (2)①102毫升；②144 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y与t之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据变量的变化规律写出y与t之间的函数关系式； （2）①将代入y与t之间的函数关系式，求出对应y的值即可； ②计算30天有多少分钟，将它作为x的值代入y与t之间的函数关系式，求出对应y的值，再根据一个人一天的饮水量计算即可． 【详解】（1）解：由表格可知，时间增加1分钟，量筒中总水量增加5毫升， ， ∴y与t之间的函数关系式为， （2）①当时，， 答：小明在第20分钟测量时量筒中的总水量为102毫升； ②（分钟）， 当时，， （天）． 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 51．茂名地区的荔枝和三华李已入选广东非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进荔枝和三华李，已知荔枝比三华李每千克进价少2元，用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同． (1)求荔枝和三华李每千克进价分别是多少元； (2)本次购进荔枝和三华李共800千克，均按每千克13元出售，购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克．若该批水果全部售完，则该超市应购进荔枝和三华李各多少千克才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)荔枝每千克9元，三华李每千克11元 (2)当购进荔枝600千克，三华李200千克时获利最大，最大利润为2800元 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． （1）设荔枝每千克x元，则三华李每千克元，根据“用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同”列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设超市获得利润为y元，购进荔枝m千克，则购进三华李千克，根据“购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克”求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：设荔枝每千克x元，则三华李每千克元， 由题意可得：， 解得． 经检验是原分式方程的解， ∴， 答：荔枝每千克9元，三华李每千克11元． （2）解：设超市获得利润为y元，购进荔枝m千克，则购进三华李千克， ∵， ∴， ， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，y的值最大，， 三华李数量千克． 答：当购进荔枝600千克，三华李200千克时获利最大，最大利润为2800元． 52．甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地，图中分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．请根据图象解答下列问题； (1)甲、乙两人谁到达目的地较早？早多长时间？ (2)分别求甲、乙两人行驶过程中s与t的函数关系式； (3)试确定当两辆车都行驶在途中（不包括在出发地和目的地）时，t的取值范围；并在这一时间段内，求t为何值时，自行车行驶在摩托车前面？ 【答案】(1)乙到达目的地较早；比甲早 (2)甲：；乙： (3)时，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）；时，自行车行驶在摩托车前面 【分析】（1）根据函数图象可以直接解答本题； （2）根据图象中的数据利用待定系数法可以分别求得l1和l2对应的表达式； （3）根据图象可得当两辆车都在行驶途中（不包括出发地和目的地）时，t的取值范围；根据（2）的结论求出两直线的交点坐标即可得出t为何值时，自行车行驶在摩托车前面． 【详解】（1）解：根据图象可知，乙到达目的地较早，比甲早； （2）解：设甲行驶过程中s与t的函数关系式为，把代入得： ， 解得：， ∴甲行驶过程中s与t的函数关系式为； 设乙行驶过程中s与t的函数关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴乙行驶过程中s与t的函数关系式为； （3）解：由图象可得：时，两人均行驶在途中（不包括起点和终点）． 联立， 解得， ∴时，自行车行驶在摩托车前面． 【点睛】本题考查了一次函数图象的实际应用—行程问题，待定系数法求函数解析式，一次函数图象取值范围的应用，二元一次方程组的应用，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 考点五 数据分析 53．当前AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题． (1)上述图表中，___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】(1)10，88.5，98 (2)见解析 (3)人 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：款“满意”所占百分比为， “不满意”所占百分比为， ； “满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， ； 故答案为：10，88.5，98； （2）解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； （3）解：款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人． 54．湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 请结合以上信息回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）； (2)填空：_____，_____，_____； (3)样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (4)若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数． 【答案】(1)抽样调查 (2)6，89，95； (3)七年级学生甲在本年级的排名更靠前 (4)200 【分析】本题主要考查用样本估计总体，中位数，众数，频数分布直方图； （1）根据抽样调查和全面调查的定义进行解答即可； （2）根据八年级抽取学生的成绩数据得到，根据中位数的求法得到b，根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多得到c即可； （3）根据八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分，进行分析即可； （4）用气年级抽取学生观后感成绩不低于90分的人数占比乘以该校七、八年级总人数加上八年级抽取学生观后感成绩不低于90分的人数占比乘以该校七、八年级总人数计算即可． 【详解】（1）解：∵校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析， ∴在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查． （2）解：根据题意得到， 七年级中位数：， ∴， 根据八年级抽取学生的成绩数据得到95最多， ∴， 故答案为：6，89，95； （3）解：七年级学生甲在本年级的排名更靠前．理由如下∶ ∵八年级抽取学生成绩的中位数是91分，七年级抽取学生成绩的中位数是89分， ∴90 分大于七年级抽取学生成绩的中位数，小于八年级抽取学生成绩的中位数， ∴七年级学生甲在本年级的排名更靠前； （4）解：， 答：这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数约为200 名． 55．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．某新能源汽车区域销售部为了调动市场销售员工的积极性，决定实行季度销售目标管理，即确定一个适当的季度销售目标，根据目标的完成情况对销售员工进行奖励．现对20名销售员工某季度的销售额进行了统计和分析． 数据收集（单位：万元）；53，72，62，64，63，76，82，86，50，96，63，54，82，64，77，95，82，79，92，98． 数据整理： 销售额/万元 频数 5 4 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 问题解决： (1)填空：_____；_____；_____． (2)若将众数作为季度销售额目标，则有_____名员工可获得奖励． (3)销售部对数据进行分析后，最终对一半的销售员工进行了奖励．销售员小张向销售部负责人反映：“我这个季度的销售额是76万元，比平均数大，所以我的销售额超过了一半的销售员，为什么我没拿到奖励？”假如你是销售部负责人，请你给出合理的回复． 【答案】(1)3；82； (2)8 (3)见解析 【分析】本题考查了频数分布表、求中位数、众数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数据统计得出的值，再根据众数、中位数的定义即可求出； （2）由（1）知众数为82万元，再根据数据统计即可解答； （3）根据中位数的意义即可解答． 【详解】（1）解：销售额在的有3人，所以； 由数据可得，众数为万元，所以； 将20名销售员工某季度的销售额从小到大顺序排列，排在第10和第11的数分别是76，77， 中位数； 故答案为：3；82；． （2）解：由（1）知，20名员工的销售额的众数为82万元， 20名销售员工某季度的销售额中大于或等于82万元的有8人， 若将众数作为季度销售额目标，则有8名员工可获得奖励． 故答案为：8． （3）解：由（1）知，20名员工的销售额的中位数为万元，公司要对一半的员工进行奖励，说明销售额在万元及以上的人才能获得，而小张你的销售额是76万元，低于万元，因此小张你不能拿到奖励． 56．某校在七、八年级开展汉字听写大赛，并从两个年级随机抽取了20名同学的成绩（单位：分），整理并绘制出如图所示的七年级成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和两个年级的成绩统计表． 七年级成绩的频数分布直方图 七、八年级成绩的统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 86 众数 85 已知七年级成绩在这一组的数据为：85  86  89  89  89  89  89  89  89 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中___________，________ (2)根据以上统计量，你认为哪个年级的成绩较好？请说明理由． 【答案】(1)； (2)七年级的成绩好一些，理由见解析 【分析】本题考查平均数、中位数的求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． （1）利用众数的定义求出n，利用中位数的定义求出m即可； （2）根据给出的平均数和众数、中位数分别进行分析，即可得出答案． 【详解】（1）解：把七年级得成绩从小到大排列后，居于中间的是第个与第个数据，即为86，89，故； 在这组数据中89出现次，次数最多，故； 故答案为：；； （2）七年级的成绩好一些，理由为： 从平均数看两个年级的平均数相同，成绩相当；但七年级成绩的中位数和众数均大于八年级的，故七年级的成绩好一些． 57．为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的厨余垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班厨余垃圾质量的数据（单位：），进行整理和分析（厨余垃圾质量用表示，共分为四个等级：；），下面给出了部分信息． 七年级10个班厨余垃圾质量：，，，，，，，，2，． 八年级10个班厨余垃圾质量中B等级包含的所有数据为，，，． 七、八年级抽取的班级厨余垃圾质量统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述表中的值； (2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数； (3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1) (2)估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数为9 (3)八年级落实得更好，理由见解析 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，扇形统计图，用样本估计总体等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出八年级10个班厨余垃圾质量中A等级的人数占比即可求出m的值； （2）用30乘以样本中八年级10个班厨余垃圾质量中A等级的人数占比即可得到答案； （3）八年级中位数比七年级大，方差比七年级小，据此可得答案． 【详解】（1）解；∵七年级10个班厨余垃圾质量为的班级数最多， ∴七年级10个班厨余垃圾质量的众数为，即； ， ∴八年级A等级有3个班，则，即； 把八年级10个班厨余垃圾质量按照从低到高排列，中位数为第5名和第6名质量的平均数， ∵八年级A等级有3个班，B等级包含的所有数据为，，，， ∴八年级10个班厨余垃圾质量的中位数为，即； （2）解：． 答：估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数为9． （3）解：八年级落实得更好． 理由：①八年级各班厨余垃圾质量的中位数低于七年级各班厨余垃圾质量的中位数．②八年级各班厨余垃圾质量的方差低于七年级各班厨余垃圾质量的方差，更稳定． 58．启迪未来之星，推进科技教育．某校举行了一次以“人工智能”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为十分制），各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 b 乙组 7.5 a 9 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.6分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_________（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． (3)小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)， (2)乙，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数等知识点，理解中位数、众数的意义成为解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【详解】（1）解：乙组成绩从低到高排列：5，6，7，7，8，9，9，9， 处于第，位的分别是，， 则甲组的中位数； 甲组学生成绩：5，7，8，8，8，9，9，10， 分学生数最多， 故众数． 故答案为：，． （2）解：甲组的中位数为8分，乙组的中位数为7.5分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生． 故答案为：乙． （3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但甲组成绩的众数小于乙组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组， 因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好， ∴不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小西的观点比较片面． 59．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示： 成绩                     七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______；______； (2)小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生； (3)按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【答案】(1)2；78.5；80 (2)七 (3)60人 【分析】本题考查了频数分布表，求众数、中位数及方差，用样本估计总体的数量，用方差判断稳定性等知识，熟练掌握相关统计知识是解题的关键． （1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）利用七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； 【详解】（1）解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； 故答案为：2；78.5；80． （2）解：∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生． 故答案为：七． （3）解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 60．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】(1)； (2)D； (3)该景区月份的服务质量良好，理由见解析． 【分析】本题主要考查了中位数、加权平均数，解决本题的关键是根据中位数的定义确定中位数在哪一组，利用加权平均数的公式求出平均数． （1）根据抽查的总人数和其余组的人数计算出D组的人数，即为的值； （2）根据中位数的定义可知，把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数，根据，，组的人数和组的人数判断中位数在D组； （3）利用加权平均数的公式可以求出名游客评分的平均数为分，所以该景区月份的服务质量良好． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：一共抽查了人， 把这人的评分结果按照从小到大的顺序排列，第和个评分结果的平均数是这组数据的中位数， 又，， 第和个评分结果在D组， 这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组， 故答案为：D； （3）解：， ， 该景区月份的服务质量良好． 2 / 83 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明 随着期末考试的脚步日益临近，数学这门既考验逻辑又讲究细节的学科，正呼唤着每一位学子进行系统而高效的复习。为了帮助大家在数学的海洋中稳健航行，我们特此推出了《人教版八年级数学下册期末高分秘籍》，它如同一盏明灯，照亮你的备考之路。本秘籍紧贴新人教版教材精髓，融合历年期末考试真题，精心梳理了选择题、填空题、解答题三大板块的高频考点，不仅揭示了易错陷阱，还配备了高效的解题策略。 一、秘籍概览 选择题：聚焦基础概念与快速判断，通过对比分析，训练你的敏锐洞察力。 填空题：强调解题准确性与步骤规范性，通过技巧点拨，提升你的效率。 解答题：融合生活实际，考验你的数学建模与问题解决能力，培养逻辑思维与创新能力。 二、复习策略 分题型强化： 选择题：每天定时练习，每题限时1-2分钟，锻炼快速准确判断的能力。注意总结错题，分析错误原因，避免重复犯错。 计算题：重视过程书写，每一步都要有理有据。通过专项练习，提高计算的准确性和速度。 解答题：结合生活实际，尝试将问题转化为数学模型。多读题，多思考，多总结解题模板，提升解题灵活性。 模拟考试：定期进行全真模拟考试，严格按照考试时间分配，培养考试感觉。模拟后，认真分析试卷，找出薄弱环节，针对性加强。 错题本：建立个人错题本，记录每次练习或模拟考试中的错题，附上正确解答和错误原因分析。考前重点回顾，确保同类错误不再犯。 三、心态调整 数学之美，在于其逻辑的严密与解题的多样性。面对挑战，保持积极的心态至关重要。记住，每一次错误都是成长的阶梯，每一次努力都是向成功迈进的步伐。相信自己，坚持不懈，你定能在期末考试中大放异彩。 2025.6 2024-2025学年八年级数学下册期末高分秘籍 (专题03解答题) 目录 考点一二次根式.........................................................................................................................2 考点二勾股定理...........................................................................................................................6 考点三平行四边形.....................................................................................................................13 考点四一次函数........................................................................................................................20 考点五数据分析........................................................................................................................28 考点一 二次根式 1．计算： (1) (2) 2．先化简，再求值：，其中． 3．已知，求的值． 4．已知，求的值． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 6．已知． (1)求的值； (2)若y的小数部分为b，求b的值． 7．已知，求下列各式的值： (1)； (2) 8．如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏板A，B的边长分别为________m，________m；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 9．观察下列各式及其验证过程： （1）， 验证：； （2）， 验证：． (1)按照上述两个等式及验证过程的基本思路，猜想第（3）个式子的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出第n个式子（的整数）． 10．观察下列运算： 由，得； 由，得； 由，得； … (1)通过观察得________； (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 考点二 勾股定理 11．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)已知，，．求的面积． 12．八年2班数学课外活动小组的同学测量学校旗杆的高度时，发现升旗的绳子（无弹性）长度比旗杆多1米，当他们把绳子拉直，绳子末端刚好接触地面时，此时绳子末端与旗杆的距离为5米，求旗杆的高度． 13．如图，在中，，，D为边上一点，，过D作于E，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 14．在中，，，点D是的中点，点E是线段上的动点，过点E作交于点F，连接，若． (1)求证：； (2)求的长． 15．如图，在四边形中，，，，且于点B，求的度数． 16．如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，求的长． 17．如图所示，和都是等腰直角三角形，，为边上一点． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．在中，，为中点，点、分别在边、上，且． (1)如图1，如果，求证：； (2)在（1）的条件下，猜想线段、和之间的数量关系是______； (3)如图2，如果，（2）中、和之间的关系还成立吗？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 19．如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求． 20．如图，在中，．以点B为圆心，以任意长为半径作弧交，于点M，N，以点M，N为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D． (1)判断：与的数量关系是 ； (2)若，求的长． 21．如图，等腰中，．点是上两动点，且，若． (1)求证：． (2)当时，求的长； 22．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在的延长线上，点B在上，，，，，． (1)求的长； (2)求的长． 考点 三平行四边形 23．如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 24．如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 25．如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 26．在▱中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 27．如图，在平行四边形中，，点、分别在、上，沿折叠平行四边形，使点、互相重合，点落在点的位置． (1)连接，，求证：； (2)若，求的度数． 28．如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 29．如图，在中，点D是边的中点，平分，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 30．如图，在中，点是的中点，点在上，点在延长线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 31．如图，在中，平分交于点交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 32．如图，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，对角线互相垂直，垂足为． (1)求证：四边形为矩形； (2)若四边形的面积为6，求四边形的面积． 33．如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 34．如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点F，连接．     (1)求证：； (2)若，求的长． 35．如图，在矩形中，E是的中点，延长、交于点F，连接、、． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 考点四 一次函数 36．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)求该函数图象与轴、轴的交点、的坐标及、两点之间的距离． 37．已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围． 38．已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 39．已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 40．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为 ． (2)若平面内有一点，求经过点且平分平行四边形的面积的直线解析式． 41．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． (1)若，求一次函数的表达式． (2)若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 42．如图，已知一次函数（）与正比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点C． (1)求k的值及点A的坐标； (2)当时，求x的取值范围； (3)观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 43．已知直线经过点，，并与直线相交于点C，求： (1)直线的表达式及点C的坐标； (2)关于x的不等式的解集． 44．如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 45．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求该一次函数的表达式； (2)问在的图象上是否存在点P，使得的面积是的2倍？若存在，求出点P的坐标． 46．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)直接写出点A和点B的坐标； (2)连接，若， ①求点D的坐标； ②若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 47．为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买3个足球和4个排球共需430元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同． (1)足球和排球的单价各是多少？ (2)该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的．某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？最少费用为多少元？ 48．坚持“五育”并举，全面发展素质教育，星光中学为丰富学生的第二课堂，准备购买一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球．已知一副球拍标价100元，一盒球标价30元．购买时发现商场正在进行两种优惠促销活动，且学校准备购买这款乒乓球拍15副，乒乓球x（）盒． 活动1：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 活动2：全部打八五折． (1)分别求出每种优惠活动实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式； (2)按哪种优惠活动付款更省钱？ 49．某科技公司计划采购和两种人工智能模型用于产品开发．已知采购2个型模型和3个型模型的总费用为4600元：采购1个型模型和2个型模型的总费用为2800元． (1)求、两种模型的单价． (2)该公司需要采购、两种模型共60个，其中型模型的数量不少于型模型的2倍；如果型模型无任何优惠，型模型可享受75折优惠。那么该公司至少需要准备多少预算资金才能完成采购？ 50．小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情㫛，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … (1)通过分析数据，小明发现可以用一次函数来刻画总水量（毫升）与时间（分钟）之间的关系，求与的函数关系式； (2)根据以上数据，解决下列问题： ①求小明在第20分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你直接写出这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用_____________天． 51．茂名地区的荔枝和三华李已入选广东非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进荔枝和三华李，已知荔枝比三华李每千克进价少2元，用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量相同． (1)求荔枝和三华李每千克进价分别是多少元； (2)本次购进荔枝和三华李共800千克，均按每千克13元出售，购进荔枝的重量不超过三华李重量的3倍，且重量不少于400千克．若该批水果全部售完，则该超市应购进荔枝和三华李各多少千克才能获得最大利润？最大利润是多少？ 52．甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地，图中分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．请根据图象解答下列问题； (1)甲、乙两人谁到达目的地较早？早多长时间？ (2)分别求甲、乙两人行驶过程中s与t的函数关系式； (3)试确定当两辆车都行驶在途中（不包括在出发地和目的地）时，t的取值范围；并在这一时间段内，求t为何值时，自行车行驶在摩托车前面？ 考点五 数据分析 53．当前AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题． (1)上述图表中，___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 54．湖南作为伟人故乡和红色圣地，积淀了丰富的红色历史文化资源，为更好地传承红色文化，增强学生爱国主义情感，某校组织七、八年级学生前往湖南省博物馆开展研学旅行，并要求学生写观后感，对其观后感进行评价．为了解本次活动的效果．校宣传部随机抽取七、八年级各20名学生对他们观后感成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，满分100分），过程如下： 【收集数据】 七年级抽取学生成绩在这一组的数据为：85，86，87，87，88，89，89； 八年级抽取学生的成绩为：81，83，84，85，86，87，87，88，89，90，92，92，93，95，95，95，99，99，100，100； 【整理数据】七、八年级不完整的频数分布表如下： 七年级 4 7 2 7 八年级 3 4 7 【分析数据】 两组数据的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 97 八年级 91 91 请结合以上信息回答下列问题： (1)在这次调查活动中，采取的调查方式是_____（填写“全面调查”或“抽样调查”）； (2)填空：_____，_____，_____； (3)样本数据中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是90分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； (4)若该校七、八年级各有200名学生，假设全部参加此次研学旅行并完成了观后感，请估计这两个年级学生观后感成绩不低于90分的人数． 55．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．某新能源汽车区域销售部为了调动市场销售员工的积极性，决定实行季度销售目标管理，即确定一个适当的季度销售目标，根据目标的完成情况对销售员工进行奖励．现对20名销售员工某季度的销售额进行了统计和分析． 数据收集（单位：万元）；53，72，62，64，63，76，82，86，50，96，63，54，82，64，77，95，82，79，92，98． 数据整理： 销售额/万元 频数 5 4 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 问题解决： (1)填空：_____；_____；_____． (2)若将众数作为季度销售额目标，则有_____名员工可获得奖励． (3)销售部对数据进行分析后，最终对一半的销售员工进行了奖励．销售员小张向销售部负责人反映：“我这个季度的销售额是76万元，比平均数大，所以我的销售额超过了一半的销售员，为什么我没拿到奖励？”假如你是销售部负责人，请你给出合理的回复． 56．某校在七、八年级开展汉字听写大赛，并从两个年级随机抽取了20名同学的成绩（单位：分），整理并绘制出如图所示的七年级成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和两个年级的成绩统计表． 七年级成绩的频数分布直方图 七、八年级成绩的统计表 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 86 众数 85 已知七年级成绩在这一组的数据为：85  86  89  89  89  89  89  89  89 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中___________，________ (2)根据以上统计量，你认为哪个年级的成绩较好？请说明理由． 57．为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的厨余垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班厨余垃圾质量的数据（单位：），进行整理和分析（厨余垃圾质量用表示，共分为四个等级：；），下面给出了部分信息． 七年级10个班厨余垃圾质量：，，，，，，，，2，． 八年级10个班厨余垃圾质量中B等级包含的所有数据为，，，． 七、八年级抽取的班级厨余垃圾质量统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述表中的值； (2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数； (3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 58．启迪未来之星，推进科技教育．某校举行了一次以“人工智能”为主题的知识竞赛（竞赛成绩为十分制），各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 b 乙组 7.5 a 9 【数据应用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.6分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_________（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由． (3)小西认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小西的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 59．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各200名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：72，84，72，91，79，69，78，85，75，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，72，92，84，80，74，75，80，76，82 【整理数据】两组数据各分·数段，如表所示： 成绩                     七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数方差如表： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______；______； (2)小明同学说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是______（填“七”或“八”）年级的学生； (3)按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 60．某景区管理处为了解景区的服务质量，现从该景区月份的游客中随机抽取人对景区的服务质量进行评分，评分结果用表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 请根据以上信息，完成下列问题： (1)________； (2)这名游客对该景区服务质量评分的中位数落在________组； (3)若游客评分的平均数不低于，则认定该景区的服务质量良好．分别用，，，，作为，，，，这五组评分的平均数，估计该景区月份的服务质量是否良好，并说明理由． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$