精品解析：吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

2024-2025学年抚松一中高一下学期第三次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知i是虚数单位，若复数的实部与虚部相等,则z的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 2. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表. 借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10 频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4 则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 4. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片不都是红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片至多有1张红色 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 平面 D. 平面 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 C. 若为的垂心，，则 D. 若，，分别表示，△的面积，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据的方差为1，则数据的方差为_________． 13. 设复数，满足，，则=__________. 14. 在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积. 16. 在△中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若△的面积为，求边上的中线的长． 17. 如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BDE； （3）求二面角的正切值. 18. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 19. 已知中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上一点，，求的面积； （3）若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年抚松一中高一下学期第三次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知i是虚数单位，若复数的实部与虚部相等,则z的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数化简，然后由实部等于虚部可求出，从而可求出共轭复数 【详解】复数， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得， 所以，所以. 故选：C. 2. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系分别判断充分必要条件即可. 【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等， 但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧， 且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交． 故选：B． 3. “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多，某班50名学生到图书馆借书数量统计如下表. 借书数量（单位：本） 5 6 7 8 9 10 频数（单位：人） 5 8 13 11 9 4 则这50名学生的借书数量的第25百分位数是（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】由,故第25百分位数在借书数量从小到大排序后的第13人, 又，故第25百分位数是6. 故选：C. 4. 已知向量，，，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出的坐标，再由可求得参数. 【详解】∵向量． ∴， ∵， ∴，解得． 故选：C． 5. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】记另3名同学分别为a，b，c， 所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种． 小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种， 综上，小王和小张都没有挑出的概率为． 故选：B. 6. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片不都是红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片至多有1张红色 【答案】A 【解析】 【分析】 根据互斥事件和对立事件定义，逐项验证. 【详解】不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张， 一次任意取出2张卡片， 则选项A事件“2张卡片都不是红色”与事件“2张卡片都为红色” 是互斥而不对立，所以正确； 选项B事件“2张卡片不都是红色”与事件“2张卡片都为红色” 是对立事件，所以不正确； 选项C事件“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”， 所以事件“2张卡片至少有一张红色”与事件“2张卡片都为红色” 不是互斥事件，所以错误； 选项D事件“2张卡片至多有1张红色”与事件“2张卡片都为红色” 是对立事件，所以错误. 故选：A. 【点睛】本题考查互斥事件和对立事件，考查对定义的理解，属于基础题. 7. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记为的中点，即可求出、，取的中点，连接，从而得到二面角的平面角为，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解. 【详解】如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以， 又， 所以，取的中点，连接， 显然有，即二面角的平面角为， 即，又， ，，则， 的面积为. 故选：A. 8. 在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由余弦定理化简所求式，再利用换元法令结合复合函数的单调性可得. 【详解】因为，， 则，化简可得， 所以， 令，则， 因为，由正弦定理可得， 又在三角形中，， 由上两式可得，即， 又在锐角三角形中，所以， 所以，解得， 即，则， 又，则，所以， 所以目标表达式可化为，易得在时为递增函数， 所以， 又， 所以的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C正确，D错误； 故选：AC 10. 在正方体中，下列直线或平面与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 平面 D. 平面 【答案】AD 【解析】 【分析】作出正方体，由线面平行的判定定理可判断A、B；由面面平行的判定定理可判断C、D. 【详解】如图 由，且平面，平面， 故直线与平面平行，故A正确； 直线，与平面相交，故直线与平面相交，故B错误； 由图，显然平面与平面相交，故C错误； 由， ，且，， 故平面与平面平行，故D正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 已知，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 C. 若为的垂心，，则 D. 若，，分别表示，△的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】 A、用正弦定理求角A的正弦值，再根据角的范围确定角的大小； B、根据向量夹角为钝角的条件求解即可； C、利用垂心性质得到向量垂直关系，通过向量运算得出的值； D、通过向量等式变形，结合坐标运算和向量数量积性质求三角形面积比； 【详解】A、根据正弦定理，，得：，此时或，两个均符合题意，A错误； B、向量，，则.夹角为钝角需满足数量积小于0且不共线：，B正确； C、设为三角形的垂心，则，，C正确； D、由，可得，设的中点分别为,则，即，所以，，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数据的方差为1，则数据的方差为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用方差公式求解即可. 【详解】设的平均数为， 则的平均数为， 所以的方差为： . 故答案为：4. 13. 设复数，满足，，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算. 【详解】方法一：设，， ， ，又，所以，， . 故答案为：. 方法二：如图所示，设复数所对应的点为,, 由已知, ∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴. 【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解 14. 在中，角的对边分别是，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用三角形面积得到方程，求出，结合二倍角的正弦公式求出，从而计算出，利用三角形边上的中线的向量表示，利用平面向量数量积公式求出向量的模长即可． 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以， 因为，点为线段的中点， 所以， ， ， 故答案为：． 四、解答题．本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知，，. （1）若三点共线，求实数的值； （2）若，以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三点共线可知，由向量共线的坐标表示即可求解； （2）由可知，根据向量垂直的坐标表示求出实数的值，进而可根据向量模长计算公式可计算，，.以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥，根据圆锥的表面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，，，，. ∵三点共线，，，解得， 即实数的值为. 【小问2详解】 由（1）知，. ，，，即. ，，，，. 以的边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径，高，母线长的圆锥， 故该几何体的表面积为. 16. 在△中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若△的面积为，求边上的中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，因为， 由余弦定理得：， 又，所以． 【小问2详解】 由，所以， 由（1），所以， 因为为边上的中线，所以， 则 ，即. 故边上的中线的长为. 17. 如图，在正三棱柱中，D为棱AC的中点，E为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BDE； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1） 证明：设交于点O，连接DO， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边形，则O为的中点， 因为D为AC的中点，所以OD为的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2） 证明：在正三棱柱中，且， 因为，，所以四边形是正方形，所以， 因为D，E分别是AC，的中点，所以DE是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面ABC，平面ABC，所以， 在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，BD，平面BDE， 所以平面BDE，因为平面，所以平面平面BDE. （3） 【解析】 【分析】（1）设交于点O，连接DO，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面BDE，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. （3）根据二面角的平面角的定义可得即为所求二面角的平面角，然后在直角三角形内求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设正三棱柱底边边长为2a， 取BC的中点，连接AF，取CF中点，连接DG，过作GH垂直BE于点H，连接DH， 因为三角形ABC为正三角形，且F为BC中点，所以， 又因为此多面体为正三棱柱，所以平面平面， 且平面平面，所以平面， 因为为AC中点，为FC中点，所以，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面HGD，平面HGD， 所以平面DHG，又平面DHG，所以， 由此，即为所求二面角的平面角， 在直角三角形DGC中，，则， 在直角三角形BCE中，， 又，所以在直角三角形BHG中，， 则， 又因为平面，且平面，所以， 所以. 18. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 【答案】（1），平均数为81 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合加权平均数运算求解； （2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 由频率和为1，得，解得； 设综合评分的平均数为， 则， 所以综合评分的平均数为81. 【小问2详解】 由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E； 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， 则，， 所以所求的概率为. 【小问3详解】 由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 所以， . 19. 已知中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上一点，，求的面积； （3）若为锐角三角形，作（位于直线异侧），使得四边形满足，，求边的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理将已知等式变形可得； （2）由向量的线性运算两边平方后结合正弦定理得到方程①，再由余弦定理和角度关系得到方程②，解方程求出，然后再由三角形的面积公式可得； （3）设，在中，由正弦定理得，再由中，由正弦定理得，利用二倍角的正弦公式，降幂公式，辅助角公式最后结合正弦函数的值域可得. 【小问1详解】 由题意得 根据正弦定理可得：， 根据余弦定理可得：，即； 【小问2详解】 由知， 两边同时平方得， 即，化简得.① 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 而，， ，即，② 由①②得，由于，得，代入②得. 的面积为. 【小问3详解】 如图， 设，则， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得： ， 是锐角三角形，， ，当时，可得的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $