精品解析：贵州省贵阳市清华中学2024-2025学年高一下学期第二阶段考试数学试题

贵阳市清华中学2024-2025学年第二学期高一年级第二阶段考 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列命题正确的个数是 ①； ②；③； ④ A 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 是两两不同的三条直线，是两个不同平面，下面四个命题中，正确的是（ ） A. 若直线异面，异面，则异面 B. 若，则 C. 若，则与所成的角相等 D. 若，则 5. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 6. 正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别以直角边，以直角边，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的三个几何体的体积为，，，则，，的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（ ） A. B. C. D. 10. 在平行四边形中，，，，E为的中点，，则（ ） A. B. C D. 11. 如图，正方体的棱长为分别的中点，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成角 C. 过的平面截正方体所得截面的周长为 D. 三棱锥外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则______. 13. 已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为_____ 14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角所对的边分别为，且．设点为的费马点，且满足，则内角_____，边的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量． （1）为何值时，与垂直？ （2）若，求的值． 16. 如图，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若为中点，求证：平面 （3）求点到平面的距离． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． 18. 的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，的面积为. （i）求； （ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长. 19. 在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； （1）证明在底面射影是底面三角形的垂心； （2）（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若不是直角三角形，过点作底面的高，请直接利用的关系证明：； （3）设是内一点，点到、、的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市清华中学2024-2025学年第二学期高一年级第二阶段考 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷 满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 下列命题正确的个数是 ①； ②；③； ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由两相反向量的和为零向量知①正确；由可得②错误；由可得③错；由可得④错. 【详解】由两相反向量的和为零向量知①正确； 由于两向量的数量积结果为一实数知②错误，正确结果应为0； 由向量的减法运算法则，③错； 由向量数乘的意义知，④错， 即正确的个数是，故选A. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数乘运算，平面向量数量积公式，意在考查对基本运算的掌握情况，属于简单题. 2. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义直接判断. 【详解】由 又，则，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 3. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则 确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 4. 是两两不同的三条直线，是两个不同平面，下面四个命题中，正确的是（ ） A. 若直线异面，异面，则异面 B. 若，则 C. 若，则与所成的角相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可． 【详解】对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与异面，与异面，， 或与异面，与异面，与相交于点， 或与异面，与异面，与异面，故选项A错误； 对于B，若，则可能是平行或相交， 对于C，由异面直线所成角的定义或共面直线所成角的定义可知，选项C正确； 对于D，若，则与可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，，，， 或，，与相交于点， 或，，与异面，故选项D错误． 故选：C． 5. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦定理求得，结合且，即可得. 【详解】由题设及，则， 又，故为锐角，且，所以. 故选：B 6. 正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积与体积分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出该几何体，利用已知条件分别计算正六棱台上底面积、侧面面积、表面积、正六棱台的高即可. 【详解】 如图在正六棱台中， 因为， 所以侧面的梯形的高即正六棱台斜高为：， 所以梯形的面积为：， 所以该正六棱台的上底面积为：， 同理下底面积为：， 所以正六棱台的表面积为：， 正六棱台的高为， 所以正六棱台的体积为：， 故选：C 7. 已知，分别以直角边，以直角边，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的三个几何体的体积为，，，则，，的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 分别计算三个旋转体的体积，进而推导出它们之间的关系.得出选项. 【详解】以直角边所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为，以直角边所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为，以斜边所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为， 所以， 所以， 故选：C. 【点睛】本题主要考查旋转体的体积，考查考生的空间想象能力，属于中档题. 8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果. 【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行， 所以六边形为边长为的正六边形，， 所以， 所以， 设，则， 所以， 因动点P在“六芒星”上（内部以及边界）， 所以，所以， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复平面内，，对应的复数分别为，，且，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由向量的坐标运算即可得到，结合同角的平方关系即可求得，从而得到结果. 【详解】因为，，且， 即，所以， 即，又， 则或， 所以或. 故选：AC 10. 在平行四边形中，，，，E为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用给定条件，利用向量的基底表示及数量积的运算律逐项求解判断. 详解】对于A，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，则，D正确. 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为分别的中点，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成角为 C. 过的平面截正方体所得截面的周长为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，连接，证明，即为异面直线和所成的角，在中即可计算，对于B，连接交于点，连接，即证平面,即为直线与平面所成角，在中计算即可判断，对于C，连接，由，即证，即四边形即为所求，对于D，三棱锥的外接球必然也是正方体的外接球，在正方体中即可求解. 【详解】对于A：连接，在正方体中，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角为异面直线和所成的角， 又，所以为等边三角形，所以，故A正确； 对于B：连接交于点，连接，在正方体中，平面平面, 所以,又四边形为正方形， 所以，平面，所以平面, 所以为直线与平面所成角,又, 所以, 所以在中,,所以,故B错误; 对于C：连接，由，又分别为的中点，所以，所以， 所以四边形为过的平面截正方体所得的截面，由， 所以， 所以四边形的周长为，故C正确； 对于D：三棱锥外接球必然也是正方体的外接球， 所以外接球的直径为正方体的体对角线， 所以，所以外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，其中为虚数单位，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式即可求得的值. 【详解】因为复数满足，则，故. 故答案为：. 13. 已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用相似将圆柱的半径用x表示，然后将侧面积用x表示，即可求出最大值. 【详解】作出圆锥的轴截面，如图： 设圆柱的半径为r，由题意得，即， 则圆柱的侧面积， 而， ∴当时，圆柱侧面积S取最大值． 故答案为：. 14. 费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点．具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于120°时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．已知的内角所对的边分别为，且．设点为的费马点，且满足，则内角_____，边的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由，利用二倍角余弦公式和正弦定理，结合勾股定理可得A为直角，由利用平面向量数量积定义可得，再由基本不等式即可得答案. 【详解】因为， 所以， 即， 由正弦定理可得， 所以； 由费马定义可得：, 设，，, 显然, 即 即, 可得, 又因为 , 所以， 化为, 即， 所以, 由，得, 当且仅当时，等号成立. 即边的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知向量． （1）为何值时，与垂直？ （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，根据向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解； （2）由，根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量，可得， 因为，所以，解得， 所以当时，与垂直． （2）因为， 由，可得，解得 所以当时，的值为. 16. 如图，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若为中点，求证：平面 （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）结合已知可证四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判断定理可证明结论； （2）根据条件可得，，结合线面垂直的判断定理可证明结论； （3）由（2）得平面，结合等体积法即可求解． 【小问1详解】 由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，且， 所以四边形是平行四边形，故， 又，所以是等腰三角形，同理是等腰三角形， 因为为中点，所以 ， 所以，. 因为，所以，故． 因为，，，平面，所以平面. 【小问3详解】 由（2）得. 在中，， 所以，故. 设点到平面的距离为， 由，得，得， 故点到平面的距离为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，即可证明面面垂直； （2）表达出二面角的平面角，即可求出二面角的平面角的正弦值. 【小问1详解】 由题意， 因为四边形为菱形，所以. 连接AC. 因为， 所以为等边三角形，从而. 在中，是的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以. ∵，面，平面，面， ∴平面. 又平面， ∴平面PCE⊥平面PAD 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在平面中，过点作，垂足为，连接. 因为平面,平面，所以. 又, 平面,平面，所以平面. 又平面，所以， 从而是二面角的平面角． 在Rt中，,， 所以.在Rt中，，， 所以. 在Rt中, , 所以二面角的平面角的正弦值为. 18. 的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，的面积为. （i）求； （ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，进而得出，即可得出答案； （2）根据面积公式可推得，然后根据余弦定理可求得；设，，推得，.代入，根据“1”的代换，即可根据基本不等式得出取最小值时的值，进而得出.根据余弦定理，在中，求出.然后在中，根据余弦定理，即可求出的长. 【小问1详解】 由正弦定理以及可得，. 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 （i）由已知可得，，所以. 由余弦定理可知，， 所以，. （ii）设，，则. 所以，则，所以. 同理可得，. 所以. 当且仅当，即，时取等号. 所以，. 又在中，有， 在中，有， 所以，. 19. 在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； （1）证明在底面的射影是底面三角形的垂心； （2）（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若不是直角三角形，过点作底面的高，请直接利用的关系证明：； （3）设是内一点，点到、、的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，由线面垂直的判定定理和性质定理可证得平面，进而得出，同理可得，即可证明； （2）（ⅰ）由三角形的面积公式和余弦定理可得，再求出，即可给出、、、的关系；（ⅱ）由等体积法即可证明. （3）由等体积法可得，再由三元基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面，又平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得：， 所以在底面的射影是底面三角形的垂心. 【小问2详解】 （ⅰ）所以， 由余弦定理可得：， 所以 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. （ⅱ），又因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以， 所以，两边同时平方化简可得： 所以. 【小问3详解】 在四面体中，因为两两垂直， 故分别为面对应的高， 即，又因为， 所以，对于内任意一点，连接， 因为， 所以， 又因为，则有， 等式两边同时除以，可得， 由三元不等式可得：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $