爪形三角形的三大魔法武器讲义-2026届高三数学一轮复习之解透一题系列

第28题 爪形三角形解题的三大“魔法武器“（解透一题） 【2025届四川省成都三诊T8】 已知在△ABC中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ） A．   B．       C．1       D． 本题围绕△ABC展开，涉及三角形中的角度（π且AD为其角平分线）和边长关系（）．综合运用三角形内角平分线定理、正弦定理以及三角函数的相关知识来求解tan∠ABC的值．通过本题可以考查学生的数学抽象素养，将三角形中的几何关系抽象为数学等式；还考查了数学建模素养，把实际的三角形问题建立成可求解的数学模型，从而培养学生解决实际问题的能力． “多思少算” 是高中数学解题的一种非常重要的策略，选择题关注选项的提示作用． 方法一：动态观察+特殊值试错法 解析：动态分析，过定角A和边BA，令B变化，如图， 当AD垂直BC时，，显然需要增大，即，排除A; 观察选项，选项C取值对应角B为特殊角，在此情况下求CD的大小． 如图， 在三角形ABD中， ，在三角形ADC中， ， 所以，故答案选C． 方法点评：动态分析，特殊值验证，适用于选择，如果是解答题呢？ 本题是与三角形角平分线有关的解三角形问题，其本质上是求解组合三角形的问题，在中，如果视DC为定值，那么一对边角确定，三角形的外接圆大小确定．问题要求，本质是求角，令，则合三角形的角都可以表示出，只需要借助建立的方程即可． 方法二：三角方程"魔法公式" 令，鉴于为的角平分线，且， 故． 为了简化运算，不妨取长度为单位1，即 在里，依据正弦定理有)，即． 所以． 在中，根据正弦定理，其中， 所以，则． 或（舍去，θ是三角形内角） 所以，即 方法点评：借助建立的方程，得到的二次方程．本题求，题目在给出爪型图（三角形组合图象）情景下求，从高中知识板块可以联系到解析几何，直线的倾斜角与斜率则可沟通，于是建立适当坐标系，转化为解析几何问题． 方法三：坐标系变身术 以B为坐标原点，以BA 方向为轴建立直角坐标系， 不妨设 ，则 则（其中， 联立解得， 同理， 联立解得， 又，即整理得： 即， 注意解得 ，所以 方法点评：作为解答题的答题，借助直线倾斜角直接构建目标元，优化了运算． 选择题优先用"动态+特殊值"：快速排除选项，减少计算量，就像用排除法做逻辑题． 解答题看条件选武器： 如果题目强调三角函数关系（如正弦、余弦），用三角方程法； 如果图形有明显的直线或坐标关系，用坐标系变身术． 画图是解题神器：无论用哪种方法，先画草图标出关键信息，让大脑和眼睛一起工作！ 【训练用动态观察法----图形是否有“动态元素”（旋转、滑动）】 1．在正方形中，点是边的中点，点是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设正方形的边长为，证明出，求出的长，即可得解. 【详解】如下图所示： 不妨设正方形的边长为， 因为，则，所以， 又因为，故， 所以，即，解得，故. 故选：C. 【类题训练，改线段关系为面积关系】 2．在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面积之比可得，，作边上高，垂足为，即可求. 【详解】 因为， 即，在中，作边上高，垂足为， 则， 故选:A. 【类题训练，爪形三角形的解答】 3．中，为线段上的点，则（    ） A． B．若D为中点，则线段长度为13 C．若为的角平分线，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据向量的数量积运算可判断A，由中点的向量公式及数量积的运算性质求解可判断B，由角平分线定理可判断C，由余弦定理求出, 根据直角三角形可知判断D. 【详解】，所以A正确； D为中点时，，， ，所以B错误； 若为角的角平分线，根据内角平分线定理：，所以C正确； 在三角形中由余弦定理可得，所以，故D正确. 故选：ACD 【类题训练，加强角平分线性质推导思想应用】 4．在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，，. (1)求的值； (2)求边AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用余弦定理可求，再利用同角的三角函数基本关系式和倍角公式可求. （2）利用可得关于的方程，从而可求边AB的长. 【详解】（1） 在中，由余弦定理可得， 而为三角形内角，故， 因为AD为∠A的角平分线，故. （2）因为， 所以， 故， 解得. 【拓展训练，加强角平分线性质推导思想应用】 5．的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理可得，即可利用等面积法得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得：，则， 而，且，则． （2）因为，所以由余弦定理得，即， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 因为，所以， 解得，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第28题 爪形三角形解题的三大“魔法武器“（解透一题） 【2025届四川省成都三诊T8】 已知在△ABC中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ） A．   B．       C．1       D． 本题围绕△ABC展开，涉及三角形中的角度（π且AD为其角平分线）和边长关系（）．综合运用三角形内角平分线定理、正弦定理以及三角函数的相关知识来求解tan∠ABC的值．通过本题可以考查学生的数学抽象素养，将三角形中的几何关系抽象为数学等式；还考查了数学建模素养，把实际的三角形问题建立成可求解的数学模型，从而培养学生解决实际问题的能力． “多思少算” 是高中数学解题的一种非常重要的策略，选择题关注选项的提示作用． 方法一：动态观察+特殊值试错法 解析：动态分析，过定角A和边BA，令B变化，如图， 当AD垂直BC时，，显然需要增大，即，排除A; 观察选项，选项C取值对应角B为特殊角，在此情况下求CD的大小． 如图， 在三角形ABD中， ，在三角形ADC中， ， 所以，故答案选C． 方法点评：动态分析，特殊值验证，适用于选择，如果是解答题呢？ 本题是与三角形角平分线有关的解三角形问题，其本质上是求解组合三角形的问题，在中，如果视DC为定值，那么一对边角确定，三角形的外接圆大小确定．问题要求，本质是求角，令，则合三角形的角都可以表示出，只需要借助建立的方程即可． 方法二：三角方程"魔法公式" 令，鉴于为的角平分线，且， 故． 为了简化运算，不妨取长度为单位1，即 在里，依据正弦定理有)，即． 所以． 在中，根据正弦定理，其中， 所以，则． 或（舍去，θ是三角形内角） 所以，即 方法点评：借助建立的方程，得到的二次方程．本题求，题目在给出爪型图（三角形组合图象）情景下求，从高中知识板块可以联系到解析几何，直线的倾斜角与斜率则可沟通，于是建立适当坐标系，转化为解析几何问题． 方法三：坐标系变身术 以B为坐标原点，以BA 方向为轴建立直角坐标系， 不妨设 ，则 则（其中， 联立解得， 同理， 联立解得， 又，即整理得： 即， 注意解得 ，所以 方法点评：作为解答题的答题，借助直线倾斜角直接构建目标元，优化了运算． 选择题优先用"动态+特殊值"：快速排除选项，减少计算量，就像用排除法做逻辑题． 解答题看条件选武器： 如果题目强调三角函数关系（如正弦、余弦），用三角方程法； 如果图形有明显的直线或坐标关系，用坐标系变身术． 画图是解题神器：无论用哪种方法，先画草图标出关键信息，让大脑和眼睛一起工作！ 【训练用动态观察法----图形是否有“动态元素”（旋转、滑动）】 1．在正方形中，点是边的中点，点是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【类题训练，改线段关系为面积关系】 2．在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（    ） A． B． C． D． 【类题训练，爪形三角形的解答】 3．中，为线段上的点，则（    ） A． B．若D为中点，则线段长度为13 C．若为的角平分线，则 D．若，则 【类题训练，加强角平分线性质推导思想应用】 4．在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，，. (1)求的值； (2)求边AB的长. 【拓展训练，加强角平分线性质推导思想应用】 5．的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$