21.4 第2课时 利用二次函数解决桥梁建筑等问题-【木牍中考】2025-2026学年九年级上册数学同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级上册 第二十一章 第二课时 利用二次函数解决桥梁建筑等问题 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 21.4 二次函数的应用 1.利用二次函数解决拱桥中的有关问题；（重点） 2.能运用二次函数的图象与性质进行决策．（难点） 前 言 学习目标及重难点 课时A计划 导入新课 课时A计划 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗 ? 导入新课 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：利用二次函数解决桥梁类问题 问题2 这是什么样的函数呢？ 问题1 你能想出办法来吗？ 建立函数模型 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 课时A计划 课程讲授 新课推进 （0，0） （4，0） （2，2） （-2，-2） （2，-2） （0，0） （-2，0） （2，0） （0，2） （-4，0） （0，0） （-2，2） y y y y o o o o x x x x 谁最合适 课时A计划 课程讲授 新课推进 问题3 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 问题4 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图 由于顶点坐标系是（0,0），因此这个二次函数的形式为 -3 y -2 O -2 -3 3 2 课时A计划 课程讲授 新课推进 问题5 如何确定a是多少？ -3 y -2 O -2 -3 3 2 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出 ,解得 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． A 课时A计划 课程讲授 新课推进 由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是： 现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3m时， 因此拱顶离水面高1.125m. 课时A计划 课程讲授 小结 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 ? 课时A计划 课程讲授 新课推进 例1 如图,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如下图求这条抛物线对应的函数表达式; 答:所求抛物线对应的函数表达式 为 解： (1) 根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0，0.5) ,对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为y = 2+0.5. 抛物线经过点(450，81.5),代入上式,得 81.5 = +0.5. 解方程,得 +0.5(-450≤x ≤450) 课时A计划 课程讲授 新课推进 (2)当x = 450 - 100 = 350(m)时,得 y = ×3502+0.5 = 49.5(m). 当x = 450 - 50 = 400( m)时,得 y = ×4002+0.5 =64.5 (m). 答:距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m,64.5 m. (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长. 课时A计划 课程讲授 新课推进 解： (1) 答案不唯一.如以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为原点建立平面直角坐标系 xOy，如图所示， 则 A( -4,0)，B(4,0)，C(0,6). 设这条抛物线的表达式为 y=a(x-4)(x+4). 将 C(0,6)代入，得 -16a=6，a=， 所以抛物线的表达式为 y . 例2 一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽度 AB=8 m，隧道的最高点 C 到公路的距离为 6 m. (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； 课时A计划 课程讲授 新课推进 解：(2) 由(1)知抛物线的表达式为 y . 当 x=1时，y= . 因为4.4+0.5=4.9< ， 所以这辆货车能安全通过这条隧道. (2)现有一辆货车的高度是 4.4 m，货车的宽度是 2 m.为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少 0.5 m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道. 课时A计划 习题解析 解：(1) 建立如图所示的平面直角坐标系，设所求抛物线的表达式为 y=ax2，点D的坐标为D(5，b)，则B(10，b-3)，把D、B的坐标分别代入y=ax2, 得解得 习题1 如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位 AB时，宽为 20 m，若水位上升 3 m，水面就会达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m. (1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的表达式； y= - x2 ∴抛物线的表达式为 . 课时A计划 习题解析 如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位 AB时，宽为 20 m，若水位上升 3 m，水面就会达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m. (2) 若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？ 解：(2) ∵b= -1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， =5(h)，所以再持续5小时到达拱桥的拱顶． 课时A计划 习题解析 　 习题2 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的表达式. O A C D B y x 20 m h 解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为y=ax2. ∵该抛物线过(10,-4), ∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2. 课时A计划 习题解析 习题3 一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). 课时A计划 习题解析 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为y=－ (x-1)2+2.25. 数学化 x y o A ●B(1,2.25) (0,1.25) ● C(2.5,0) ● D(-2.5,0) 课时A计划 习题解析 习题4 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式． 解：设抛物线的表达式为y=ax2 . ∵点B（6，﹣5.6）在抛物线的图象上， ∴﹣5.6=36a， ∴抛物线的表达式为 课时A计划 小结 课堂总结 转化 回归 （二次函数的图象和性质） （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 拱桥问题 转化的关键 课时A计划 课后作业 课堂总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$