精品解析：上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期模拟质量调研数学试卷

上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期模拟质量调研数学试卷 2025年6月 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. -3和5的等差中项是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差中项的性质即可求出. 【详解】设和的等差中项是 则. 故答案为：. 2. 若一个球的半径是1，则这个球的表面积是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用球的表面积公式计算得解. 【详解】依题意，这个球的表面积是. 故答案为：. 3. 在长方体中，直线与直线的位置关系是_______________； 【答案】异面 【解析】 【分析】结合图形，直接根据异面直线的定义求解即可. 【详解】因为直线与直线不同在任何一个平面内， 所以由异面直线的定义可知， 直线与直线的位置关系是异面. 故答案为：异面 【点睛】本题考查异面直线的定义，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题． 4. 不透明的盒子里有2个红球、3个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是____________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式直接求解. 【详解】依题意，从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率. 故答案为： 5. 已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式列式求解. 【详解】设圆柱的高为，依题意，，所以. 故答案为：2 6. 已知圆的方程是，则这个圆的半径是____________. 【答案】3 【解析】 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 7. 一组从小到大排列的10个数据：0,1,2,3,4,8,9,10,11,13，这组数据的第80百分位数是____________. 【答案】10.5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用第80百分位数的定义直接求解. 【详解】由，得这组数据的第80百分位数是. 故答案为：10.5 8. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出二面角大小. 【详解】在堑堵中，平面，平面，则， 而，平面，因此平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 在中，，则. 故答案为： 9. 某高中为了了解高二年级学生的作业情况，利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样，先将所有学生按进行编号，从中抽取40个样本.若从下面的随机数表中第1行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则得到的第3个样本编号是____________. 【答案】 【解析】 【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组，并取到内的数，不重复取，选取个数即可. 【详解】选取的位数依次为，，（舍），， 则得到的第3个样本编号是. 故答案为： 10. 双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是____________. 【答案】或4 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合夹角大小求出，进而求出焦距. 【详解】双曲线的其中一条渐近线方程是， 由两条渐近线夹角是，得直线的倾斜角是或， 则，或，， 所以该双曲线焦距长是或4. 故答案为：或4 11. 已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中），则的最大值为____________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据给定条件，令，再结合已知画出图形，由圆的公共点个数即可得解. 【详解】设，，，则， 由知，或，， 所以点在以为圆心，以1或2为半径的圆上， 如图，作出以点为圆心，1或2为半径的4个圆， 观察图形知，这4个圆两两的公共点有，共7个， 4个圆上到点和到点距离为1或2的点最多有7个， 所以的最大值为7. 故答案为：7. 12. 已知曲线. 给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； ③曲线上存在一点，使得到点的距离小于； ④曲线所围成区域的面积大于. 其中，所有正确结论的序号为_________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误. 【详解】由，则且，易知曲线为封闭曲线， 所以，易得，故， 时；时；时， 故曲线过点，显然不关于直线对称，①错； 对于曲线上任意点，其关于轴对称点为， 则，故曲线关于轴对称， 综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线上恰好有个整点，②对； 由圆过点，故圆上点均在曲线上或内， 所以曲线上不存在点，使得到点的距离小于，③错； 如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，④对. 故答案为：②④ 【点睛】关键点点睛：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键. 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ） A. 当时，不等式成立 B. 当时，不等式成立 C. 当时，不等式成立 D. 当时，不等式成立 【答案】C 【解析】 【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论. 【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立， 故选：C. 14. 在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 15. 某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（ ） A. B. A与不互斥 C. D. A与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】因为每位学生至少选报一门，所以判断C；根据容斥原理求判断A；通过判断是否为0判断B；通过判断等式是否成立判断两事件是否相互独立. 【详解】因为每位学生至少选报一门，所以，C正确； 由容斥原理，所以， 所以，A正确； 因为，所以A与B不互斥，B正确； 因为，，所以A与C不独立，D错误. 故选：D 16. 已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列.若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有“性质”；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有“性质”.则数列具有“性质”是具有“性质”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】用反证法证明充分性；举反例说明不必要性. 【详解】充分性：若数列具有性质P，即存在使得，则对于任意正实数，区间内至多有一项； 否则，若存在两项，，满足，，则，导致， 故数列具有“性质”；所以数列具有“性质”是具有“性质”的充分条件； 必要性：举反例，满足性质（取），但不满足性质（因趋近于1，无法找到固定的）； 所以数列具有“性质”不是具有“性质”的必要条件； 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的首面，再利用等差数列、等比数列通项公式求得答案. （2）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 等比数列的公比是2，，则，， 由，得，又等差数列公差是-2，则， 所以和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 记和的前项和分别为，，则． 而，， 所以. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【小问1详解】 直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. 小问2详解】 依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 19. 随着DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行业迎来结构性变革.某人工智能实验室记录了5月17日至23日的模型训练任务情况，如下表所示.例如：17日为数据清洗任务，训练耗时9小时，模型准确率提升，当日效率（模型准确率提升值与训练耗时的比值）为. 日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 任务 数据清洗 模型调试 参数优化 轻度拟合 架构调整 算法优化 性能测试 训练耗时 9小时 12小时 14小时 12小时 14小时 12小时 14小时 准确率提升值 1.0％ 1.3％ 1.2% 0.9% 1.1% 1.0% 1.3% （1）写出训练耗时的平均数、中位数、标准差和极差； （2）从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，求这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率； （3）该实验室24日完成最终部署，耗时超过10小时.记17日至20日这四天训练耗时的方差为日至24日这四天训练耗时的方差为.若，求24日的训练耗时. 【答案】（1）平均数为小时，中位数为12小时，标准差小时； （2）； （3）17小时. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据直接求出平均数、中位数、标准差. （2）求出每天的当日效率，再计算古典概率. （3）求出两段数据的平均数进而求出方差，再建立方程求得答案. 小问1详解】 将17日至23日的训练耗时数据由小到大排列为：， 平均数为（小时）； 中位数为12小时； 标准差（小时）. 【小问2详解】 日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 当日效率 0.1111 0.1083 0.0857 0.075 0.0786 0.0833 0.0929 从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，有5种选法， 其中至少有两天当日效率不低于的选法只有1种选法， 所以这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率为. 【小问3详解】 17日至20日这四天训练耗时的平均数， 方差， 设24日的训练耗时为小时，21日至24日这四天训练耗时的平均数， 方差，由， 得，整理得，解得或，又， 所以24日的训练耗时为17小时. 20. 如图，是等腰直角三角形，是BC中点，E、F分别是AB、AC边上的动点，且.将沿EF折起，点折起到点的位置，使二面角的大小为，连接PB、PC得到四棱锥. （1）证明：直线平面PBC； （2）若点是线段AB的中点，求PD和底面BCFE所成的角的大小； （3）当点在线段AB上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定推理得证. （2）作出二面角的平面角，进而作出线面角，再利用几何法求出线面角大小. （3）由（2）求出点到平面BCFE的距离，再求出锥体体积的函数关系，进而求出最大值. 【小问1详解】 由，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 连接，连接， 在等腰中，，为中点， 则，由，得， 则是二面角的平面角，故， 且平面，又平面，因此平面平面， 在平面内过作于点，又平面平面， 则平面，是直线PD和底面所成的角， 由点是线段AB的中点，得，， 所以PD和底面BCFE所成的角的大小为. 【小问3详解】 设，则，而， 面积，，， 因此三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为. 21. 如图，已知椭圆的焦距为2.若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，PQ,PR分别经过椭圆的左右焦点，则称为“好三角形”. （1）求椭圆的离心率； （2）若“好三角形”满足：，求点的坐标； （3）证明：当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 【答案】（1）； （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出，进而求出离心率. （2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入椭圆方程求解方程组即得. （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理求出，纵坐标的比，再利用三角形面积公式求出，并用的纵坐标表示，同证明即可. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距，则，椭圆：的离心率. 【小问2详解】 设，而，由，得， 因此，消去得，解得，， 所以点. 【小问3详解】 设， 由点在轴上方，得均不与轴重直，设， ， 由得， 则，即， 而，于是，即， 同理，因此，又， 则，而， 从而，记， 下面证明不等式对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 而，因此对任意恒成立， 所以当时，取得最大值，即当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市杨浦区2024-2025学年高二下学期模拟质量调研数学试卷 2025年6月 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. -3和5的等差中项是____________. 2. 若一个球的半径是1，则这个球的表面积是____________. 3. 在长方体中，直线与直线的位置关系是_______________； 4. 不透明的盒子里有2个红球、3个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从盒子里任意摸出一个球，这个球恰好为红球的概率是____________. 5. 已知圆柱的底面半径是1，若圆柱的体积是，则该圆柱的高是____________. 6. 已知圆方程是，则这个圆的半径是____________. 7. 一组从小到大排列的10个数据：0,1,2,3,4,8,9,10,11,13，这组数据的第80百分位数是____________. 8. 中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为____________. 9. 某高中为了了解高二年级学生的作业情况，利用随机数表对该校400名高二学生进行抽样，先将所有学生按进行编号，从中抽取40个样本.若从下面的随机数表中第1行第6列的数开始，依次向右，到行末后转至下一行的行首，逐个取样，直到取足样本为止，则得到的第3个样本编号是____________. 10. 双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是____________. 11. 已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中），则的最大值为____________. 12 已知曲线. 给出下列四个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）； ③曲线上存在一点，使得到点的距离小于； ④曲线所围成区域的面积大于. 其中，所有正确结论序号为_________. 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13 用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ） A. 当时，不等式成立 B. 当时，不等式成立 C. 当时，不等式成立 D. 当时，不等式成立 14. 在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. -2 15. 某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（ ） A. B. A与不互斥 C. D. A与相互独立 16. 已知无穷数列是各项均为正数的严格减数列.若存在实数，对任意正整数都有成立，则称数列具有“性质”；若存在实数，对任意正实数，数列至多有一项属于开区间，则称数列具有“性质”.则数列具有“性质”是具有“性质”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. （1）求和的通项公式； （2）求数列前项和. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 19. 随着DeepSeek大模型的全面落地，人工智能行业迎来结构性变革.某人工智能实验室记录了5月17日至23日的模型训练任务情况，如下表所示.例如：17日为数据清洗任务，训练耗时9小时，模型准确率提升，当日效率（模型准确率提升值与训练耗时的比值）为. 日期 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 任务 数据清洗 模型调试 参数优化 轻度拟合 架构调整 算法优化 性能测试 训练耗时 9小时 12小时 14小时 12小时 14小时 12小时 14小时 准确率提升值 1.0％ 1.3％ 1.2% 0.9% 1.1% 1.0% 1.3% （1）写出训练耗时的平均数、中位数、标准差和极差； （2）从17日至23日这七天中，随机选取连续三天的数据，求这三天中至少有两天的当日效率不低于的概率； （3）该实验室24日完成最终部署，耗时超过10小时.记17日至20日这四天训练耗时的方差为日至24日这四天训练耗时的方差为.若，求24日的训练耗时. 20. 如图，是等腰直角三角形，是BC中点，E、F分别是AB、AC边上的动点，且.将沿EF折起，点折起到点的位置，使二面角的大小为，连接PB、PC得到四棱锥. （1）证明：直线平面PBC； （2）若点是线段AB的中点，求PD和底面BCFE所成的角的大小； （3）当点在线段AB上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值. 21. 如图，已知椭圆的焦距为2.若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，PQ,PR分别经过椭圆的左右焦点，则称为“好三角形”. （1）求椭圆的离心率； （2）若“好三角形”满足：，求点的坐标； （3）证明：当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$