专题10 分式的运算期末复习(十大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题10 分式的运算期末复习（十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 分式的混合运算 1 题型二 分式化简求值 1 题型三 分式方程的定义 2 题型四 解分式方程 2 题型五 根据分式方程解的情况求值 2 题型六 分式方程无解问题 3 题型七 分式方程的行程问题 3 题型八 分式方程的工程问题 3 题型九 分式方程的经济问题 4 题型十 分式方程和差倍分问题 5 过关检测 5 题型一 分式的混合运算 例1：计算：． 变式训练一 1．若，则 ． 2．化简：． 题型二 分式化简求值 例2：先化简，再求值：，其中． 变式训练二 1．先化简：，若，求值． 2．先化简，再求值：，其中． 题型三 分式方程的定义 例3：下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 变式训练三 1．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 题型四 解分式方程 例4：解方程： 变式训练四 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．解分式方程：． 题型五 根据分式方程解的情况求值 例5：已知是方程的解，那么实数的值为 ． 变式训练五 1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 题型六 分式方程无解问题 例6：若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 变式训练六 1．已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 2．若关于的方程无解，求的值． 题型七 分式方程的行程问题 例7：甲、乙两组学生从学校出发，去距学校的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的倍，结果两组学生同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？ 变式训练七 1．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 题型八 分式方程的工程问题 例8：一项工程，如果甲、乙两队合作，48个月可以完成；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队单独做，还需60个月才能完成．问：甲、乙两队单独完成该工程各需要几个月？ 变式训练八 1．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵．实际每天种多少棵树？ (1)①本题可设原计划每天种树的棵数x棵，根据题意列方程得：__________； ②本题可设实际种树的天数y天，根据题意列方程得：______________． (2)选择其中一种方程解答此题． 2．甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 题型九 分式方程的经济问题 例9：某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知一个篮球的价格比一个足球的价格多30元，花1800元购买的篮球个数和花1350 元购买的足球个数相同． (1)一个篮球和一个足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划采购篮球、足球共30个，且总费用不超过3200元，那么需采购篮球最多多少个？ 变式训练九 1．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少40元，且300元购买甲型垃圾桶的数量与500元购买乙型垃圾桶的数量相同．求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价． 2．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提升学生的阅读理解能力，现决定购买《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》两种书．若购买1本《钢铁是怎样炼成的》比1本《经典常谈》进价多10元；若用2520元购买《钢铁是怎样炼成的》与用1800元购买《经典常谈》的本数相同． (1)求每本《钢铁是怎样炼成的》和每本《经典常谈》各为多少元？ (2)若该校购进《钢铁是怎样炼成的》的本数比购进《经典常谈》的本数的2倍还多5本，且《经典常谈》的本数不少于17本，购进这两种书的总费用不超过1980元，则该校几种购货方案？ 题型十 分式方程和差倍分问题 例10：某公园为了美化环境，预备购进两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的1.4倍，若花费14000元购买款花卉和7000元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多300株． (1)求两款花卉的单价是分别多少元？ (2)该公园有12480元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进两款花卉共1000株，其中款花卉数量不超过400株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 变式训练十 1．某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某校八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款225元．已知八年级（1）班的人均捐款额是八年级（2）班的1.2倍，且八年级（1）班的人数比八年级（2）班多5人．两个班各有多少人？ 一、单选题 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．某公司运来一箱梨，共有80个，计划每名员工分若干个，结果多出5个；若每名员工多分1个，则差9个，有多少名员工？假设有x名员工，以下方程正确的是（    ） A．B． C． D． 3．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 4．若方程有增根，则n的值为（    ） A．0 B． C．5 D．以上都不对 5．一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（    ） A． B． C． D． 6．农机厂职工到距工厂的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍．若设自行车的速度为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 7．若，则等于（   ） A． B． C． D． 8．新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．分式、的最简公分母是 ． 10．若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ． 11．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 12．临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 13．如果，那么分式的值是 ． 三、解答题 14．化简： (1)； (2)． 15．解下列分式方程： (1)； (2)． 16．先化简： 再从不等式中选取一个合适的整数，代入求值． 17．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 18．某工厂计划生产两种产品共60件，需要购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需要甲种材料，乙种材料；生产一件B产品需要甲、乙两种材料各．已知乙种材料每千克的价格比甲种材料每千克的价格贵10元，且用100元购买的甲种材料与用140元购买的乙种材料一样多． (1)求甲、乙两种材料每千克的价格； (2)现在工厂要求用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，求有哪几种符合条件的生产方案； (3)在（2）的条件下，若生产一件A产品需要加工费40元，生产一件B产品需要加工费50元，则选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？请直接写出方案． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 分式的运算期末复习（十大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 分式的混合运算 1 题型二 分式化简求值 2 题型三 分式方程的定义 4 题型四 解分式方程 5 题型五 根据分式方程解的情况求值 6 题型六 分式方程无解问题 8 题型七 分式方程的行程问题 10 题型八 分式方程的工程问题 11 题型九 分式方程的经济问题 14 题型十 分式方程和差倍分问题 16 过关检测 18 题型一 分式的混合运算 例1：计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 利用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 变式训练一 1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故， 故答案为：． 2．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的四则混合运算，先计算括号里面的，再把除法转化成乘法，然后约分计算即可． 【详解】解： 题型二 分式化简求值 例2：先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先计算括号内减法，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 变式训练二 1．先化简：，若，求值． 【答案】化简得，求值得 【分析】本题考查分式的化简和代数式求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简，再利用整体法代入求值即可． 【详解】解： ， 由， 得， ∴原式． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号内的分式加法，再算分式除法，然后通过约分化成最简结果，最后把的值代入求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型三 分式方程的定义 例3：下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 变式训练三 1．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 2．下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 题型四 解分式方程 例4：解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意检验． 去分母，转化为一元一次方程，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得 ， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 变式训练四 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解： 去分母，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， 故选C． 2．解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程. 先去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可. 【详解】解： 解得 经检验，当时，， 所以解为. 题型五 根据分式方程解的情况求值 例5：已知是方程的解，那么实数的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次方程，理解方程的解的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．将代入分式方程，得到关于m的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得：， 故答案为：3． 变式训练五 1．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为非负数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得， ∵x为非负数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：A． 2．分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，根据题意列出不等式且，求出不等式的解集即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 题型六 分式方程无解问题 例6：若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键． 先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解：， ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：或时，分式方程无解， 故选：D． 变式训练六 1．已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【答案】 2 或 【分析】本题主要考查分式方程的运算，理解增根，无解的含义是关键． （1）根据增根的含义“分母为零”代入计算即可； （2）①根据方程有增根时，原方程无解，代入计算即可；②根据时，原方程无解，代入计算即可． 【详解】解：（1）若该方程有增根，则，即． （2）， 移项得，， ∴， 去分母、整理得， 当方程有增根时，原方程无解，即， 解得； 当时，原方程无解，即； 综合上述得，的值为或． 故答案为：①2；②或． 2．若关于的方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握“分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0”是解题的关键； 解分式方程得出，再分两种情况：当整式方程无解时，和增根两种情况求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当整式方程无解时，，即； 当产生增根时，即时，，解得：； 综上，当方程无解时，或． 题型七 分式方程的行程问题 例7：甲、乙两组学生从学校出发，去距学校的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的倍，结果两组学生同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？ 【答案】； 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键． 设步行速度为，则自行车的速度为，由此列分式方程求解即可． 【详解】解：设步行速度为，则自行车的速度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行速度为， ∴， ∴自行车的速度为． 变式训练七 1．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得： 故答案为：A． 2．杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 【答案】在大桥的现有条件下还可以再提高限速 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时，根据提速后汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟建立方程求出提速前的限速即可得到结论． 【详解】解：设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵， ∴在大桥的现有条件下还可以再提高限速． 题型八 分式方程的工程问题 例8：一项工程，如果甲、乙两队合作，48个月可以完成；如果甲队单独做40个月后，剩下的工程由乙队单独做，还需60个月才能完成．问：甲、乙两队单独完成该工程各需要几个月？ 【答案】甲需要个月；乙需要个月 【分析】本题考查了二元一次方程组与分式方程的综合应用，根据应用信息列出方程是解题的关键． 设甲乙两队单独完成该工程分别需要个月和个月，根据题意列出方程组后求解即可． 【详解】解：设甲乙两队单独完成该工程分别需要个月和个月， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：甲需要个月；乙需要个月． 变式训练八 1．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵．实际每天种多少棵树？ (1)①本题可设原计划每天种树的棵数x棵，根据题意列方程得：__________； ②本题可设实际种树的天数y天，根据题意列方程得：______________． (2)选择其中一种方程解答此题． 【答案】(1)①；②； (2)见解析． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据各数量之间的关系 所列方程，找出表示的实际意义是解此题的关键． （1）①设原计划每天种树的棵数为x棵，则实际每天种树的棵数为棵， 根据每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵，即可列出分式方程；②设实际种树的天数为y天，则原计划种树的天数为天，根据每天比原计划多种，结果不仅提前1天完成任务，还多种了48棵，即可列出分式方程； （2）解分式方程，检验后得出的值，即可得解． 【详解】（1）解：①设原计划每天种树的棵数为x棵，则实际每天种树的棵数为棵， 根据题意：； ②设实际种树的天数为y天，则原计划种树的天数为天， 根据题意：； （2）解：选择方程①， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （棵）， 实际每天种48棵树； 选择方程②， ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （棵）， 实际每天种48棵树． 2．甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 【答案】(1)D (2) (3)符合 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键： （1）根据两队同时开工且恰好同时完工，列出方程，进行判断即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （3）根据方程的解，进行检验即可． 【详解】（1）解：设乙队每天安装x台，根据题意，得：； 故选D； （2）解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解． （3）由（2）知方程的解为， 当时，， 把代入方程：左边右边， ∴左边等于右边， ∴方程的解符合原方程且具有实际意义． 题型九 分式方程的经济问题 例9：某中学为落实教育部办公厅发布的《关于进一步加强中小学生体质管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知一个篮球的价格比一个足球的价格多30元，花1800元购买的篮球个数和花1350 元购买的足球个数相同． (1)一个篮球和一个足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划采购篮球、足球共30个，且总费用不超过3200元，那么需采购篮球最多多少个？ 【答案】(1)篮球120元，足球90元； (2)16个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式等应用，理解题意，理清数量关系是解题关键． （1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意列出分式方程并求解即可； （2）设采购篮球个，则采购足球个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可获得答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，符合题意 ∴足球的单价为元 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）设采购篮球个，则采购足球个， 根据题意，得，解得， ∵为整数， ∴最大取16． 答：最多采购篮球16个． 变式训练九 1．垃圾分类齐参与，美好生活共创建．某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少40元，且300元购买甲型垃圾桶的数量与500元购买乙型垃圾桶的数量相同．求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价． 【答案】甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为60元/个、100元/个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意、找准等量关系、列出分式方程成为解题的关键． 设乙种型号的垃圾桶的单价为x元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，再根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设乙种型号的垃圾桶的单价为x元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解， 所以． 答：甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为60元/个、100元/个． 2．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提升学生的阅读理解能力，现决定购买《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》两种书．若购买1本《钢铁是怎样炼成的》比1本《经典常谈》进价多10元；若用2520元购买《钢铁是怎样炼成的》与用1800元购买《经典常谈》的本数相同． (1)求每本《钢铁是怎样炼成的》和每本《经典常谈》各为多少元？ (2)若该校购进《钢铁是怎样炼成的》的本数比购进《经典常谈》的本数的2倍还多5本，且《经典常谈》的本数不少于17本，购进这两种书的总费用不超过1980元，则该校几种购货方案？ 【答案】(1)每本《钢铁是怎样炼成的》35元，每本《经典常谈》25元； (2)共有三种购买方案，见解析 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设每本《经典常谈》元，则每本《钢铁是怎样炼成的》元，根据用2520元购买《钢铁是怎样炼成的》与用1800元购买《经典常谈》的本数相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买本《经典常谈》，则购买本《钢铁是怎样炼成的》，根据《经典常谈》的本数不少于17本，购进《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》的总费用不超过1980元，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：设每本《经典常谈》元，则每本《钢铁是怎样炼成的》元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的根，且符合题意，此时， 答：每本《钢铁是怎样炼成的》35元，每本《经典常谈》25元； （2）解：设购买本《经典常谈》，则购买本《钢铁是怎样炼成的》， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，，， 共有三种购买方案：①购买17本《经典常谈》，购买39本《钢铁是怎样炼成的》 ②购买18本《经典常谈》，购买41本《钢铁是怎样炼成的》 ③购买19本《经典常谈》，购买43本《钢铁是怎样炼成的》． 题型十 分式方程和差倍分问题 例10：某公园为了美化环境，预备购进两款花卉美化公园，已知款花卉的单价是款花卉的1.4倍，若花费14000元购买款花卉和7000元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多300株． (1)求两款花卉的单价是分别多少元？ (2)该公园有12480元预备款，在不超出预备款的前提下，准备购进两款花卉共1000株，其中款花卉数量不超过400株，求该公园购买花卉的最低总费用为多少？ 【答案】(1)A款花卉单价为14元，B款花卉单价为10元 (2)12400元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解答本题的关键． （1）设B款花卉单价为x元，则A款花卉单价为元，根据“花费14000元购买款花卉和7000元购买款花卉，可购买款花卉比款花卉多300株”列方程求解即可； （2）设A款花卉数量为a株，B款花卉为株，根据款花卉数量不超过400株，列不等式组并结合一次函数的性质分析求解即可． 【详解】（1）解：设B款花卉单价为x元，则A款花卉单价为元，由题意可得 ， ， 经检验，是原方程的解， (元) ， 答：A款花卉单价为14元，B款花卉单价为10元； （2）解：设A款花卉数量为a株，B款花卉为株， 根据题意得：， 解得：， 设该公园购买花卉的总费用 ∵ ∴随的增大而增大， ∴当A款花卉购买600株，此时总费用最少为元． 变式训练十 1．某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据结果比原计划少用了2辆车列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 2．某校八年级（1）班共捐款300元，八年级（2）班共捐款225元．已知八年级（1）班的人均捐款额是八年级（2）班的1.2倍，且八年级（1）班的人数比八年级（2）班多5人．两个班各有多少人？ 【答案】八年级（1）班有50人，八年级（2）班有45人． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设八年级（2）班有x人，八年级（1）班有人，根据题意列出方程，求解，最后检验即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设八年级（2）班有x人，八年级（1）班有人，根据题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：八年级（1）班有50人，八年级（2）班有45人． 一、单选题 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 2．某公司运来一箱梨，共有80个，计划每名员工分若干个，结果多出5个；若每名员工多分1个，则差9个，有多少名员工？假设有x名员工，以下方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据计划每名员工分若干个，结果多出5个可知每人分个，根据每名员工多分1个，则差9个可知每人分个，据此列出方程即可． 【详解】解：设有x名员工， 由题意得，， 故选：C． 3．已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 4．若方程有增根，则n的值为（    ） A．0 B． C．5 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为0时，的值．已知方程两边都乘以去分母后求出的值，由方程有增根得到，即可求出的值． 【详解】解：已知方程去分母得， 解得， 由分式方程有增根得， ， ． 故选：C． 5．一项工程，甲独做要x天完成，乙独做要y天完成，则甲、乙合做完成工程需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查工程问题中的合作完工时间计算．熟练掌握工程问题的基本公式：，是解题的关键． 根据，用工作总量“1”除以甲、乙合作的工作效率得到甲、乙合做完成工程需要的天数． 【详解】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是，工作总量是1， ∴两人合做完成这项工程所需的天数是 故本题选：C． 6．农机厂职工到距工厂的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍．若设自行车的速度为，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列分式方程，根据骑自行车先走半小时，但骑自行车和乘汽车的人同时到达为等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车速度为， 根据题意可得：， 故选：C 7．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 8．新定义  对于实数a、b，定义一种新运算“⊕”为：，这里等式右边是实数运算．按此规定，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ∴， ∴ 解得， 经检验是分式方程的解． 故选A． 二、填空题 9．分式、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，掌握最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式、的最简公分母是， 故答案为： ． 10．若关于的分式方程有整数解，则整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先求出分式方程的解，再根据有整数解即可求得整数的值，计算即可得到答案． 【详解】解： 方程有解，则，则， ， 方程有整数解， ，， 或或或， 当时，，此时方程无解， 的值的和为， 故答案为：． 11．观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程． 【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：， 即， 故答案为：． 12．临近春节，甲厂联系一辆车送m名员工返乡过年，租金为3000元，临出发时，有3名乙厂员工也随车返乡，如果所有乘车人员平均分摊车费，则甲厂员工最后人均车费比原来少了 元． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，先根据题意列代数式，再进行分式的减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．如果，那么分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．设，则，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 三、解答题 14．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）将括号内分式进行通分化解，然后因式分解化简即可； （2）将括号内分式进行通分化解，将除法换算成乘法，对分式进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解方式方程的方法是关键； （1）原方程两边都乘以去分母，求出整式方程的解后再检验即可得解； （2）原方程两边都乘以去分母，求出整式方程的解后再检验即可得解． 【详解】（1）解：方程两边都乘以，去分母得 ， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴原方程的解是； （2）解：方程两边都乘以，去分母得 ， 解得：， 经检验：是原方程的解； ∴原方程的解是． 16．先化简： 再从不等式中选取一个合适的整数，代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据不等式的整数解以及分式有意义的条件得出，将代入求解． 【详解】解: 原式 ∵，为整数，且 ∴ 取得原式 17．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可． 【详解】（1）解：∵分式方程的根是， ∴， 解得 （2）解：去分母，并化简得， 当，即时，方程无解，则分式方程也无解， 当，即时， ∵分式方程无解， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 解得， 综上，当或时，分式方程无解． 18．某工厂计划生产两种产品共60件，需要购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需要甲种材料，乙种材料；生产一件B产品需要甲、乙两种材料各．已知乙种材料每千克的价格比甲种材料每千克的价格贵10元，且用100元购买的甲种材料与用140元购买的乙种材料一样多． (1)求甲、乙两种材料每千克的价格； (2)现在工厂要求用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，求有哪几种符合条件的生产方案； (3)在（2）的条件下，若生产一件A产品需要加工费40元，生产一件B产品需要加工费50元，则选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？请直接写出方案． 【答案】(1)甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元 (2)四种方案，具体见解析 (3)生产A产品21件，B产品39件时成本最低 【分析】此题考查了分式方程、一元一次不等式组、一次函数的应用，正确列出函数解析式和方程是关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克元．用100元购买的甲种材料与用140元购买的乙种材料一样多．据此列出分式方程并解方程即可； （2）设生产B产品a件，生产A产品件．用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，据此列出不等式组并解不等式组即可； （3）设生产成本为W元，列出W与a之间的一次函数关系式，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，． 答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元． （2）设生产B产品a件，生产A产品件．根据题意，得 解得． 的值为非负整数， ， 则共有如下四种方案： A（件） 21 20 19 18 B（件） 39 40 41 42 （3）生产A产品21件，B产品39件成本最低．理由如下： 设生产成本为W元， 则W与a之间的函数关系式为 ． 随a的增大而增大， ∴当时，总成本最低． 即生产A产品21件，B产品39件时成本最低． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$