专题09 认识分式期末复习(八大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题09 认识分式期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 分式的判断 1 题型二 按要求构造分式 1 题型三 分式有意义的条件 2 题型四 分式无意义的条件 2 题型五 分式值为零的条件 2 题型六 分式的求值 3 题型七 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 3 题型八 求使分式值为整数时未知数的整数值 3 题型九 判断分式变形是否正确 3 题型十 利用分式的基本性质判断分式值的变化 4 过关检测 4 题型一 分式的判断 例1：在代数式中，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式训练一 1．下列式子是分式的是（ ） A． B． C． D． 2．给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 故选：C． 题型二 按要求构造分式 例2：写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0： ． 变式训练二 1．甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是 h；乙每小时比甲每小时少做6个零件，做60个零件所用的时间是 h． 2．试编写一个可以用分式表示的实际问题． 题型三 分式有意义的条件 例3：当分式有意义时，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 变式训练三 1．分式有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 题型四 分式无意义的条件 例4：若分式 无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练四 1．若分式无意义，则x的值为 ． 2．当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 题型五 分式值为零的条件 例5：若分式的值为0，则x的值为（   ） A．3 B． C．7 D．0 变式训练五 1．分式的值为0，则的值为 ． 2．若分式的值为零，则 ． 题型六 分式的求值 例6：若，则 ． 变式训练六 1．若，则 ． 2．先化简，再求值：，其中． 题型七 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 例7：若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 变式训练七 1．若分式的值为负数，则的取值范围 ． 2．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 题型八 求使分式值为整数时未知数的整数值 例8：对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 变式训练八 1．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 2．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 题型九 判断分式变形是否正确 例9：下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练九 1．分式可以变形为（   ） A． B． C． D． 2．在下列各题的横线上填“”或“”： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型十 利用分式的基本性质判断分式值的变化 例10：若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 变式训练十 1．如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 2．若x、y的值均变成原来的相反数，则下列分式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 5．若分式的值为零，则x的值为（    ） A．3 B．3或 C．0 D． 6．下列分式中，当时，有意义的是（    ） A． B． C． D． 7．在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 8．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．．括号内应填： 10．当 时，分式无意义． 11．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 12．已知，则的值为 ． 13．若把分式中的字母x和y同时扩大3倍，则分式的值将 ． 三、解答题 14．已知，求的值． 15．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 16．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 17．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 认识分式期末复习（八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 分式的判断 1 题型二 按要求构造分式 2 题型三 分式有意义的条件 3 题型四 分式无意义的条件 4 题型五 分式值为零的条件 5 题型六 分式的求值 6 题型七 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 7 题型八 求使分式值为整数时未知数的整数值 8 题型九 判断分式变形是否正确 10 题型十 利用分式的基本性质判断分式值的变化 11 过关检测 13 题型一 分式的判断 例1：在代数式中，分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，分母中不含有字母则不是分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式中，分式有． ∴分式有4个． 故选：C． 变式训练一 1．下列式子是分式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、是分式，故此选项符合题意； C、不是分式，故此选项不符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选： 2．给出如下式子：①；②；③；④，其中是分式的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】此题考查了分式，形如（其中、都是整式，且中含有字母），这样的式子叫做分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义进行解答即可． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④，分式有①；③． 故选：C． 题型二 按要求构造分式 例2：写一个分式同时满足：①只含一个字母x； ②当时，分式的值为0： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式值为的条件，解题的关键是掌握分式值为的条件．根据分式值为的条件：分子等于零，分母不为零，再构建分式即可进行解答． 【详解】解：“只含有字母，且当时分式的值为”的分式为， 故答案为：（答案不唯一）． 变式训练二 1．甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是 h；乙每小时比甲每小时少做6个零件，做60个零件所用的时间是 h． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，认识分式，理解工作时间，工作总量以及工作效率之间的关系是解题的关键． 根据工作时间工作总量工作效率即可求解． 【详解】解：甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是， 乙每小时比甲每小时少做6个零件，做60个零件所用的时间是， 故答案为：；． 2．试编写一个可以用分式表示的实际问题． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的实际意义，根据题意，列出一个实际问题即可． 【详解】解：一项工程，甲单独完成需要天，求甲单独工作天所作的工程量是多少． 由题意可知：甲单独工作天所作的工程量为． 题型三 分式有意义的条件 例3：当分式有意义时，满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0即可求解． 【详解】解：当分式有意义时，， 解得， 故选D． 变式训练三 1．分式有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零可得，再解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案为： 题型四 分式无意义的条件 例4：若分式 无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义，根据分式无意义分母为解答即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式 无意义， ∴， 解得， 故选：． 变式训练四 1．若分式无意义，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 2．当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论． 【详解】解：当，，， ∴括号里的代数式可能是． 故选：B． 题型五 分式值为零的条件 例5：若分式的值为0，则x的值为（   ） A．3 B． C．7 D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是掌握分式为0的条件，正确的计算．根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 变式训练五 1．分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键． 根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解． 【详解】解：若分式的值为0，得且， 故， 故答案为：． 2．若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式值为0的条件：当分母不为0且分子值为0时，分式值为0． 根据分式值为0的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为零，则且， ， ， 故答案为：． 题型六 分式的求值 例6：若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，掌握求解的方法是解题的关键； 由已知可设，然后代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 变式训练六 1．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式求值，由题意得出，把等式两边同时除以x即可得出答案． 【详解】解：， 当时，则，则， 则， ∴， 故答案为：1． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分和求值，先把分子提取公因式x分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，再把分子和分母约分，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 题型七 求分式值为正(负)数时未知数的取值范围 例7：若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 变式训练七 1．若分式的值为负数，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 【详解】解：∵， 要使分式的值为负数，则， 解得， 故答案为：． 2．若代数式的值是正数，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式中根据分式的范围确定字母的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握同号得正，异号得负这一运算法则． 根据两数相除，同号得正，异号得负的法则，先确定分母的正负，判断分子的正负，即可得出x的取值范围． 【详解】解：代数式的值是正数， ， ， ． 题型八 求使分式值为整数时未知数的整数值 例8：对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 变式训练八 1．分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 【详解】解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 2．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 题型九 判断分式变形是否正确 例9：下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，掌握运算法则和性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式值不变据此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原变形错误，故此选项不符合题意； D、，与不一定相等，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 变式训练九 1．分式可以变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．在下列各题的横线上填“”或“”： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 题型十 利用分式的基本性质判断分式值的变化 例10：若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案． 【详解】解：A. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意； B. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意； C. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意； D. 中，的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意． 故选：C． 变式训练十 1．如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的a和b都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 2．若x、y的值均变成原来的相反数，则下列分式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质． 根据分式的基本性质，将x、y的值均变成原来的相反数，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】解：A. ，故该选项符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意； 故选：A． 一、单选题 1．在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，π，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 2．化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，分子将括号打开，再合并同类项，最后提取公因式，分母根据完全平方公式分解因式，最后约分即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 4．若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 5．若分式的值为零，则x的值为（    ） A．3 B．3或 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的值为 0 的条件，分式的值为 0 的条件是：（1） 分子为 0 ； （2）分母不为 0，两个条件需同时具备，据此可以解答本题． 【详解】解：由题意，可得且， 解得． 故选：D． 6．下列分式中，当时，有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义，直接利用分式的有意义的条件依次分析，即可． 【详解】解：当时，，，， 选项A C D中分母都为0，故选项A C D都不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 故选：B． 7．在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩． 【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分， ∴两班在这次测验中的总分为：分， ∴两班在这次测验中的总平均分是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． 8．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 二、填空题 9．．括号内应填： 【答案】 【分析】此题考查了分式的性质，根据分式的性质求解即可，解题的关键是掌握分式的性质：分子分母同时乘以或除以不为零的式子或数，分式的值 ． 【详解】解：∵， ∴括号内应填：． 故答案为：． 10．当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 11．若分式的值为正，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式的性质，不等式的解法，由题意可得：且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵的值为正， 又∵， ∴且， 且， 故答案为：且． 12．已知，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了分式的运算，解题关键是把整体代入分式，再准确进行计算． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：． 13．若把分式中的字母x和y同时扩大3倍，则分式的值将 ． 【答案】变为原来的三分之一 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同乘以相同的倍数，分式的值不变．根据分式的基本性质，分子分母同乘以相同的倍数，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：中的字母和同时增加3倍， ， 所以分式的值将变为原来的三分之一． 故答案为：变为原来的三分之一． 三、解答题 14．已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求分式的值，掌握整体代入法是解题的关键．将代入求解即可． 【详解】解：， ． 15．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 16．解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 17．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 18．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可； （）根据题例解答即可； （）解方程组，并把解表示成“和谐分式”，再根据方程组有正整数解解答即可； 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）解：， 故答案为：； （3）解：解方程组，得， ∵方程组有正整数解， ∴且能被整除， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$