05.动量和能量综合问题-2025年新高二物理暑假衔接讲义

动量和能量综合问题 课前检测 1 .(多选)如图所示，在水平光滑地面上有、两个木块，、之间用一轻弹簧连接．靠在墙壁上，用力向左推使两木块之间弹簧压缩并处于静止状态．若突然撤去力，则下列说法中正确的是（    ） A.木块离开墙壁前，、和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B.木块离开墙壁前，、和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 C.木块离开墙壁后，、和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 D.木块离开墙壁后，、和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 2 .斜向上发射的炮弹在最高点爆炸（爆炸时间极短）成质量均为的两块碎片，其中一块碎片沿原来的方向飞去。已知炮弹爆炸时距水平地面的高度为，炮弹爆炸前的动能为，爆炸后系统的机械能增加了，重力加速度大小为，不计空气阻力和火药的质量，则两块碎片落地点间的距离为（        ） A. B. C. D. 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难度    动量与能量综合 2023年 上海卷 20 16 中档 2023年 全国乙卷 25 20 较难 2023年 全国甲卷 24 12 中档 2023年 山东卷 18 16 较难 2023年 浙江卷 18 11 中档 2023年 广东卷 15 15 中档 目标解读 知识导图 课堂目标 1.熟悉并掌握动量与板块问题的解题思路和不同题型； 2.能够理解并掌握动量在碰撞次数的问题解决思路 ； 3.能够理解并掌握动量在规律性问题解决思路 。 课程重难点 重点：板块问题的应用； 难点：临界问题、碰撞次数问题以及规律性问题。 一、 临界极值问题 临界条件分类 含义 处理思路 常见问题 物块与木板不分离 地面光滑，表示二者共速 利用完全非弹性碰撞来处理 求木板最小长度 求动摩擦因数 满足条件 求滑行最远距离 恰好与木板上的挡板发生碰撞 刚好撞上挡板时共速 能量守恒和完全非弹性碰撞联立 求动摩擦因数 取值范围 求是否发生碰撞 刚好第几次碰撞（追不上） 物体 返回时与物体 共速 根据速度相等关系展开计算 求是否再次追上 求 动摩擦因数 取值范围 求质量满足条件 沿圆弧轨道上升最大高度 物块竖直方向速度为零，水平方向共速，部分动能转化为重力势能 列水平方向动量守恒等式计算 求上升最大高度 经典例题 3 .如图所示，在光滑冰面上放置一足够高光滑曲面体，箱子与冰车上的工人静止在冰面上．箱子的质量为 m，工人和冰车的总质量为，曲面体的质量，工人把箱子以初速度向左推出，箱子可看作质点，求： ( 1 )推出木箱后，工人和冰车的速度大小 v； ( 2 )木箱在曲面上上升的最大高度 h； ( 3 )判断箱子能否再次追上工人，说明判断依据． 4 .如图所示，质量为的小物块（大小不计）位于质最为、长度为的平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为，一端悬于小物块正上方高为处，另一端系一质量也为的小球（大小不计）.今将小球拉至悬线与竖直方向成由静止释放，小球到达最低点时与小物块发生弹性正碰．已知小物块离开平板车时速度大小是平板车此时速度的两倍，平板车与小物块的质量关系是，重力加速度为．求： ( 1 )小球与小物块碰后瞬间，小物块的速度大小． ( 2 )小物块与平板车之间的动摩擦因数． ( 3 )若为了使小物块与平板车不分离，平板车的长度至少为多少？ 题型总结 注意： 把握共速点 ，大部分的临界极值问题都要分析共速点的情况 明确研究对象，分析临界条件背后暗含的信息 巩固练习 5 .如图所示，光滑水平面上放着静止着的质量为2kg木板A和质量为1kg物块C。质量6kg的物块B以6m/s的初速度从木板左端滑上A，B、C的大小相对于A均可忽略，B与A之间的动摩擦因数，A的速度为3m/s时与C发生完全非弹性碰撞。求（ g取）： （1） A、C碰撞之前，B与A相对滑动时各自的加速度大小； （2） A、C碰撞后的瞬间，A、B、C的速度大小； （3） 确保B不从A上滑下来，A的最短长度。 6 .如图所示，是光滑水平轨道，是半径为、质量为的光滑的固定圆弧轨道，两轨道恰好相切．质量为的小木块静止在点，一个质量为的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和小木块一起运动，且恰能到达圆弧轨道的最高点（木块和子弹均可以看成质点）．求： ( 1 )子弹射入木块前的速度； ( 2 )若每当小木块返回到 O点，立即有相同的子弹射入小木块，并留在其中，则第2颗子弹射入小木块前后，小木块的动量变化量； ( 3 )在（2）的条件下，第17颗子弹射入小木块时，立即解除 BC圆弧轨道的锁定，小木块沿圆弧轨道上升的最大高度． 7 .如图所示，固定光滑圆轨道为圆弧，其半径，有一个可以视为质点的滑块从圆弧最高点无初速度释放，滑到最底端无碰撞地滑上左边的小车，已知滑块质量，小车质量、长，滑块与小车之间的动摩擦因数为0.25，小车与地面间的摩擦忽略不计。若滑块滑到小车左侧与挡板的碰撞为弹性碰撞，重力加速度为。求： （1）滑块滑上小车时的速度大小； （2）滑块最终停在小车上的位置； （3）滑块是否与挡板碰撞，若碰撞，求碰撞时小车在水平面上已滑行的距离；若不碰撞，求滑块相对小车静止时，小车在水平面上已滑行的距离。         8 .如图所示， AB为竖直平面内、半径的四分之一光滑圆弧轨道， BC和 DE均为光滑水平轨道， AB与 BC相切于 B点， DE足够长，停在 DE上的小车的上表面与 BC等高。质量为的物块甲从轨道最高点 A由静止释放，进人水平面后与原来静止的、质量为的物块乙发生弹性正碰，碰后取走甲，乙向右滑上小车。已知小车的质量，小车长，乙与小车之间的动摩擦因数为，甲和乙均可视为质点， g取。求： （1） 甲运动到圆弧轨道 B点时受到的支持力大小； （2） 甲与乙碰撞后瞬间，乙的速度大小； （3） 若，乙在小车上滑动过程中产生的热量 Q可能是多少（计算结果可含有）。 9 .如图，倾角为 θ的倾斜轨道与足够长的水平轨道交于 Q点，在倾斜轨道上高 h处由静止释放滑块A，一段时间后A与静止在水平轨道上 P处的滑块B发生弹性碰撞（碰撞时间忽略不计）。已知A、B的质量分别为 m和3 m，B与轨道间的动摩擦因数为 μ，A与轨道间无摩擦，重力加速度大小为 g，A、B均可视为质点，A过 Q点时速度大小不变。求： （1） 第一次碰撞后瞬间，A与B的速度大小 vA和 vB； （2） 滑块B在水平轨道上通过的总路程 s； （3） 若滑块B最初静止的 P处与 Q间的距离为，倾斜轨道的倾角，在第一次碰撞后B的速度减为零的时候，A与B刚好发生第二次碰撞，试确定 μ的大小。 变式训练 10 .一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角的直轨道 AB（足够长）、水平轨道 BC、竖直螺旋圆形轨道 CDPE、水平轨道 EF、无动力摆渡车 GH、水平直轨道 IJ组成，螺旋圆形轨道与轨道 BC、 EF相切于 C（ E）处，摆渡车上表面 GH及水平直轨道 IJ粗糙，其余各轨道均光滑，且各处平滑连接， C（ E）是圆形轨道的最低点， P是圆形轨道的最高点， D是圆形轨道上与圆心 O等高的点。凹槽 FKLI底面 KL水平光滑，上面放有一无动力摆渡车 GH，摆渡车上表面与直轨道 EF、直轨道 IJ位于同一水平面。一滑块（视为质点）质量 m=0.1kg，在直轨道 AB上距离 B点处由静止释放，它恰好可以完整地通过圆轨道，之后滑上摆渡车。已知滑块与 GH、IJ间的动摩擦因数，摆渡车质量 M=0.4kg，上表面 GH的长度 d=4.8m（其中 G为上表面的左端点， H为上表面的右端点），每当滑块由静止释放时摆渡车紧靠在竖直侧壁 FK处，当摆渡车碰到右侧壁 IL后立即静止。不计空气阻力， FI间的距离很大，取，。求： （1） 圆形轨道的半径 R； （2） 滑块到达 D点时轨道对它的作用力大小； （3） 滑块最终停在何处； （4） 改变滑块的释放位置，滑块在 IJ上最多能滑多远？    学生总结     真题演练 11 .如图，光滑水平面上有两个等高的滑板和，质量分别为和，右端和左端分别放置物块、，物块的质量均为，和以相同速度向右运动，和以相同速度向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后与粘在一起形成一个新物块，与粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为．重力加速度大小取． ( 1 )若，求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向； ( 2 )若，从碰撞后到新滑块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小． 二、 碰撞次数问题 分类 处理思路 常见问题 运动的物体碰固定挡板 1.明确研究对象：运动的物体 2.受力分析，结合受力分析加速度，计算每次碰撞速度和动能的变化量 3.结合能量守恒分析碰撞次数 求碰撞次数 求运动时间 求碰撞次数与能量的关系 运动的物体碰运动的物体 当两物体质量相同，那么根据速度交换的知识分析 当两物体质量不相同，则就要用到动碰动的弹性碰撞推导关系 经典例题 12 .如图所示，长木板质量为，长度为，静止在光滑的水平地面上，木板两端分别固定有竖直弹性挡板、（厚度不计），为木板的中点，一个质量为的小物块静止在点．现有一质量为的子弹，以的水平速度射入物块并留在其中（射入时间极短），已知重力加速度取． ( 1 )求子弹射入物块后的瞬间，二者的共同速度． ( 2 )射入之后，若与挡板恰好未发生碰撞，求与间的动摩擦因数． ( 3 )若与间的动摩擦因数，能与挡板碰撞几次？最终停在何处？ 13 .如图，质量为、足够长的长木板B静止在光滑水平地面上，在距长木板右端距离为处有一固定挡板C，质量为的小滑块A从长木板的左端以大小为的初速度滑上长木板，物块与长木板间的动摩擦因数为0.4，木板B与挡板C的碰撞过程中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略不计，取．求： ( 1 )若在B与C碰撞前A与B已相对静止，则至少为多少； ( 2 )若要使B与C第一次碰撞后，B向左运动的动量大小恰好等于A向右运动的动量大小，则最后AB静止，B不会再与C发生碰撞，求满足如上情况的取值； ( 3 )若，则B与C会碰撞几次．   题型总结 弹性碰撞推论 根据动量守恒得： 根据机械能守恒得： 得二者速度为： ， 巩固练习 14 .如图所示， A为内表面光滑的薄壁U型盒，质量，底面长， A的中央位置放有可视为质点、质量的滑块 B，初始 A、 B均静止。在 A左侧与 A相距处有一可视为质点、质量为的滑块 C，开始时 C以的初速度向右沿直线运动，与 A碰撞后粘在一起，已知 A、 C与水平面间的动摩擦因数均为，不考虑各物体相互碰撞的时间及 B与 A碰撞时的机械能损失，三物体始终在一条直线上运动，取。求： （1） C与 A碰撞前瞬间，滑块 C速度的大小； （2） A与 B发生第一次碰撞后 B的速度； （3） C开始运动到 B与 A发生第二次碰撞前经历的时间 t以及整个过程 B与 A碰撞的次数 N。 15 .如图所示， AB为足够长的光滑斜面，斜面底端 B处有一小段光滑圆弧与水平面 BE平滑相连，其中 CD部分粗糙，其长度 L=1m，其余部分光滑， DE部分长度为 S=1m， E点与半径 R=1m的竖直光滑半圆形轨道相接， O为轨道圆心， E为最低点， F为最高点。将质量的物块甲从斜面上由静止释放，如果物块甲能够穿过 CD区域，它将与静止在 D点右侧的质量为的物块乙发生弹性正碰，已知物块甲、乙与 CD间的动摩擦因数为，且物块均可看成质点。求： （1） 若物块乙被碰后恰好能通过圆轨道最高点 F，求其在水平面 BE上的落点到 E点的距离 x； （2） 若物块甲在斜面上释放的高度，求物块乙被碰后运动至圆轨道最低点 E时对轨道的压力大小； （3） 用质量的物块丙取代物块甲（丙与 CD间的动摩擦因数），为使物块丙能够与物块乙碰撞，并且碰撞次数不超过2次，求物块丙在斜面上释放的高度 h应在什么范围？（已知所有碰撞都是弹性正碰，且不考虑物块乙脱离轨道后与物块丙可能的碰撞） 16 .如图所示，轻质弹簧的左端与固定在水平轨道上的竖直挡板相连，在外力作用下小物块A缓慢将弹簧右端压缩至 O点并保持静止，小物块B静置于水平轨道上的 P点， P点与挡板间的水平轨道光滑， P点右侧的水平轨道粗糙．现由静止释放小物块A，弹簧恢复原长一段时间后，A、B发生弹性碰撞，碰撞前瞬间A的速度大小．A、B均可视为质点，它们的质量分别为、，它们与 P点右侧的水平轨道间的动摩擦因数均为，重力加速度大小，弹簧始终在弹性限度内，水平轨道足够长．   ( 1 )求A静止在 O点时，弹簧的弹性势能； ( 2 )求A、B发生碰撞后瞬间，B的速度大小； ( 3 )若A、B第二次发生碰撞时B已经静止，求A、B第二次发生碰撞前瞬间A的动能． 17 .如图所示，一个小孩做推物块的游戏，质量为的小物块放置在光滑水平面上，紧靠物块右端有一辆小车，小孩蹲在小车上，小孩与车的总质量为，一起静止在光滑水平面上，物块左侧紧挨着足够长的水平传送带，传送带的上表面与水平面在同一高度，传送带以速度顺时针转动．游戏时，小孩将物块以相对水平面大小为的速度向左推出，一段时间后返回到传送带右端，物块向右追上小孩后又立即被小孩以相对水平面的速度向左推出，如此反复，直至追不上小孩为止．已知物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为．求： ( 1 )物块第一次被推出后，小孩与车的速度大小． ( 2 )物块被小孩第一次推出后到再次追上小孩所用的时间． ( 3 )整个过程中小孩因推物块消耗的体能． 学生总结     真题演练 18 .如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为 M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为 l，圆管长度为．一质量为的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等．小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短．不计空气阻力，重力加速度大小为．     ( 1 )第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小 ( 2 )在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离 ( 3 )圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数 三、 规律性（含n）问题 规律性（含n）问题 处理思路 常见问题 计算 1、2、3...时物体运动的情况 ，观察分析出规律，通常能够得到等比数列或者倍数的关系 含 的关系式 求运动时间或速度 经典例题 19 .如图所示，水平轨道右侧有竖直墙壁，在 P点处静止放置小物块 a、 b（均可视为质点），质量分别为 m、2 m。物块 a、 b间有少量火药（质量可忽略），某时刻点燃火药使物块 a、 b迅速分开，分开后物块 a以 v0向右运动，与竖直墙壁发生碰撞，以原速率反向弹回。物块 b刚停止运动时，物块 a与之发生第一次碰撞。已知物块 a与 b的所有碰撞均为弹性碰撞，物块 a每次与竖直墙壁碰撞后都以原速率反弹，所有的碰撞时间极短，可忽略不计。物块 a与水平轨道间没有摩擦，物块 b与水平轨道间的动摩擦因数为 μ，重力加速度为 g。求： （1） 物块 a、 b分开瞬间，物块 b的速度大小 vb 0； （2） P点到竖直墙壁的距离 L； （3） 物块 a与 b发生第2次碰撞后瞬间，物块 a的速度大小； （4）物块 a、 b第 n次碰撞后到第 n+1次碰撞前，物块 b运动的位移大小。 题型总结 规律性问题做题步骤： ①明确研究对象 ②受力分析并结合题意得到 物体运动的基本情况 ③计算 1、2...时物体的速度、位移等大小， 分析前后关系，得出规律 巩固练习 20 .如图所示，质量分别为 m、3 m的滑块A和B靠在一起，静止在水平面上，中间有少量火药（质量可忽略），轻质弹簧左端固定，右端与滑块A接触但不拴接，弹簧处于自由伸长状态。某时刻点燃火药，滑块A、B分开，分开后瞬间A的速度大小为，B停止运动的瞬间A与B发生第一次碰撞。已知A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，A与水平面间没有摩擦，B与水平面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧振子的振动周期，为振子的质量， k为弹簧的劲度系数，重力加速度为 g。求： （1） 弹簧劲度系数 k的大小； （2） A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小： （3） A、B第 n次碰撞后到第次碰撞前B运动的位移大小及全过程中B运动的总位移大小。 21 .如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径．物块以的速度滑入圆轨道，滑过最高点，再沿圆轨道滑出后，与直轨道上处静止的物块碰撞，碰后粘在一起运动，点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段长度都为．物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为，、的质量均为 （重力加速度取；、视为质点，碰撞时间极短）． ( 1 )求滑过点时的速度大小和受到的弹力大小． ( 2 )若碰后最终停止在第个粗糙段上，求的数值． ( 3 )求碰后滑至第个()光滑段上的速度与的关系式． 22 .如图所示，为一半径为的四分之一竖直光滑圆弧轨道，其与光滑水平面相切于点，在水平面上依次紧密排列着体积相等、材料不同、标号为2、3、4… n的小球，小球质量分别为，将质量为的小球1从轨道上点由静止释放。已知小球之间的碰撞均为弹性正碰，每相邻两个小球之间只碰撞一次，重力加速度为，求：（1）小球3被撞后瞬间的动能与小球1碰撞小球2前瞬间的动能之比；（2）若，则当取何值时，第个小球获得的动能最大，并求出其最大动能。 学生总结     四、 课堂总结 五、 出门测 23 .如图所示的水平面， A点左侧和 B点右侧的水平面光滑，半径为 R、质量的光滑圆弧形槽放在水平面上，弧形槽刚好与水平面相切于 A点，质量为的物块乙左端拴接一轻弹簧，静止在水平面上，弹簧原长时左端点刚好位于水平面上的 B点．已知段粗糙且物块甲与段间的动摩擦因数为， A、 B两点之间的距离为 R，质量为 m的物块甲由弧形槽的最高点无初速度释放，重力加速度为 g，两物块均可视为质点．求：     ( 1 )物块甲刚到达水平面时弧形槽的位移大小； ( 2 )整个过程中弹簧储存的弹性势能的最大值．     学科网（北京）股份有限公司 $$ 动量和能量综合问题 课前检测 【教法备注】 一道考弹簧碰撞，一道考动量守恒定律中的爆炸问题，用时3-5分钟 注意：本讲义较为进阶，建议给85分以上的学生来使用 1 .(多选)如图所示，在水平光滑地面上有、两个木块，、之间用一轻弹簧连接．靠在墙壁上，用力向左推使两木块之间弹簧压缩并处于静止状态．若突然撤去力，则下列说法中正确的是（    ） A.木块离开墙壁前，、和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B.木块离开墙壁前，、和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 C.木块离开墙壁后，、和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒 D.木块离开墙壁后，、和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒 【教法备注】 易 【答案】 BC 【解析】 AB．撤去 后，木块 离开竖直墙前，竖直方向两物体所受的重力与水平面的支持力平衡，合力为零；而墙对 有向右的弹力，所以系统的合外力不为零，系统的动量不守恒，这个过程中，只有弹簧的弹力对 做功，系统的机械能守恒，故 A错误， B正确； CD． 一般开竖直墙后，系统水平方向不受外力，竖直方向外力平衡，所以系统所受的合外力为零，系统的动量守恒，只有弹簧的弹力做功，系统机械能也守恒，故C正确，D错误． 故选 BC． 2 .斜向上发射的炮弹在最高点爆炸（爆炸时间极短）成质量均为的两块碎片，其中一块碎片沿原来的方向飞去。已知炮弹爆炸时距水平地面的高度为，炮弹爆炸前的动能为，爆炸后系统的机械能增加了，重力加速度大小为，不计空气阻力和火药的质量，则两块碎片落地点间的距离为（        ） A. B. C. D. 【教法备注】 中 【答案】 B 【解析】 炮弹炸裂的过程水平方向动量守恒，设炮弹炸裂前的速度大小为，则 设炸裂后瞬间两块碎片的速度分别为、，有 解得 根据平抛运动规律有 两块碎片落地点之间的距离 解得 故答案为B。 考情分析 【教法备注】  知识点 试卷 题号 分值 难度    动量与能量综合 2023年 上海卷 20 16 中档 2023年 全国乙卷 25 20 较难 2023年 全国甲卷 24 12 中档 2023年 山东卷 18 16 较难 2023年 浙江卷 18 11 中档 2023年 广东卷 15 15 中档 【教法备注】 这部分考查难度较大，主要在压轴题出现，适用于程度好的学生 目标解读 【教法备注】  知识导图 课堂目标 熟悉并掌握动量与板块问题的解题思路和不同题型； 能够理解并掌握动量在碰撞次数的问题解决思路 ； 能够理解并掌握动量在规律性问题解决思路 。 【教法备注】  课程重难点 重点：板块问题的应用； 难点：临界问题、碰撞次数问题以及规律性问题。 【教法备注】  一、临界极值问题 临界条件分类 含义 处理思路 常见问题 物块与木板不分离 地面光滑，表示二者共速 利用完全非弹性碰撞来处理 求木板最小长度 求动摩擦因数 满足条件 求滑行最远距离 恰好与木板上的挡板发生碰撞 刚好撞上挡板时共速 能量守恒和完全非弹性碰撞联立 求动摩擦因数 取值范围 求是否发生碰撞 刚好第几次碰撞（追不上） 物体 返回时与物体 共速 根据速度相等关系展开计算 求是否再次追上 求 动摩擦因数 取值范围 求质量满足条件 沿圆弧轨道上升最大高度 物块竖直方向速度为零，水平方向共速，部分动能转化为重力势能 列水平方向动量守恒等式计算 求上升最大高度 【教法备注】  经典例题 【教法备注】  3 .如图所示，在光滑冰面上放置一足够高光滑曲面体，箱子与冰车上的工人静止在冰面上．箱子的质量为 m，工人和冰车的总质量为，曲面体的质量，工人把箱子以初速度向左推出，箱子可看作质点，求： ( 1 )推出木箱后，工人和冰车的速度大小 v； ( 2 )木箱在曲面上上升的最大高度 h； ( 3 )判断箱子能否再次追上工人，说明判断依据． 【教法备注】 中 板块碰撞模型 【答案】 (1)； (2)； (3)箱子能再次追上工人，依据见解析 【解析】 (1)以木箱、工人和冰车组成的系统为研究对象，取水平向左为正方向，由动量守恒定律得 解得 (2)以木箱和曲面体组成的系统为研究对象，取水平向左为正方向，由水平方向动量守恒定律得 解得木箱在曲面上上升的最大高度时与曲面体的共同速度为 木箱在上升过程中系统机械能守恒 解得木箱在曲面上上升的最大高度 (3)箱子冲上曲面体和从曲面体滑下的过程中，箱子和曲面体组成的系统动量守恒、机械能守恒，设箱子从曲面滑下来时的速度为，曲面体的速度为，以向左为正方向则有 解得 由箱子和工人最后再水平面上匀速直线运动，且箱子从斜面上滑下向右的速度比工人和冰车的速度大即 故箱子能再次追上工人． 4 .如图所示，质量为的小物块（大小不计）位于质最为、长度为的平板车的左端，系统原来静止在光滑水平地面上．一不可伸长的轻质细绳长为，一端悬于小物块正上方高为处，另一端系一质量也为的小球（大小不计）.今将小球拉至悬线与竖直方向成由静止释放，小球到达最低点时与小物块发生弹性正碰．已知小物块离开平板车时速度大小是平板车此时速度的两倍，平板车与小物块的质量关系是，重力加速度为．求： ( 1 )小球与小物块碰后瞬间，小物块的速度大小． ( 2 )小物块与平板车之间的动摩擦因数． ( 3 )若为了使小物块与平板车不分离，平板车的长度至少为多少？ 【教法备注】 中 板块碰撞模型 【答案】 (1)． (2)． (3)． 【解析】 (1)小球由静止摆到最低点的过程中，机械能守恒，则有，解得小物块到达最低点与碰撞之前瞬间的速度是； 小球与物块相撞时，没有能量损失，满足动量守恒与机械能守恒，则有： ， ， 因此可得出， ，即的速度为． (2)小物块在平板车上滑行的过程中，满足动量守恒，则有， 又得知，得出， 则小物块离开平板车时平板车的速度为， 由能量关系，得出． (3)若为了使与平板车不分离，则物块恰好滑到平板车最右端时与平板车共速，则有： ， 结合能量关系可知，解得． 题型总结 注意： 把握共速点 ，大部分的临界极值问题都要分析共速点的情况 明确研究对象，分析临界条件背后暗含的信息 巩固练习 5 .如图所示，光滑水平面上放着静止着的质量为2kg木板A和质量为1kg物块C。质量6kg的物块B以6m/s的初速度从木板左端滑上A，B、C的大小相对于A均可忽略，B与A之间的动摩擦因数，A的速度为3m/s时与C发生完全非弹性碰撞。求（ g取）：（1）A、C碰撞之前，B与A相对滑动时各自的加速度大小；（2）A、C碰撞后的瞬间，A、B、C的速度大小；（3）确保B不从A上滑下来，A的最短长度。 【教法备注】 中 【答案】 （1）； ；（2）2m/s， 5m/s， 2m/s；（3） 【解析】 （1）A、C碰撞之前，B与A相对滑动时，以B对象，根据牛顿第二定律可得 以A对象，根据牛顿第二定律可得 （2）A碰C前的速为，AC碰撞过程根据动量守恒有 解得 A碰C之前用时 B的初速度为，则A碰C时有 A、C碰撞后的瞬间速度都为，B的速度在碰撞的瞬间不发生变化，则B的速度为。（3）A与C碰前，A的速度从0增加到，位移为 该过程B的位移为 则A与C碰前，B比A多走了 设A与C碰撞后，直至A、B、C三者共速，B又比A多运动了，则有 联立得 为了确保B不从A上滑下来，A的最短长度为 6 .如图所示，是光滑水平轨道，是半径为、质量为的光滑的固定圆弧轨道，两轨道恰好相切．质量为的小木块静止在点，一个质量为的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和小木块一起运动，且恰能到达圆弧轨道的最高点（木块和子弹均可以看成质点）．求： ( 1 )子弹射入木块前的速度； ( 2 )若每当小木块返回到 O点，立即有相同的子弹射入小木块，并留在其中，则第2颗子弹射入小木块前后，小木块的动量变化量； ( 3 )在（2）的条件下，第17颗子弹射入小木块时，立即解除 BC圆弧轨道的锁定，小木块沿圆弧轨道上升的最大高度． 【教法备注】 中 【答案】 (1)； (2) ，方向向右； (3) 【解析】 (1)根据题意可知，子弹射入木块的过程，系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 系统由到的运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得 由以上两式解得 即子弹射入木块前的速度为． (2)射入第2颗子弹前，木块和第1颗子弹的总动量为，方向向左，第2颗子弹射入木块的过程中，该子弹和第1颗子弹以及木块组成的系统动量守恒，以子弹方向为正方向，由动量守恒定律有 解得 即第2颗子弹射入木块后，小木块的速度为零，动量为0，则小木块动量变化量为 方向向右． (3)以后当偶数子弹射中木块时，木块和子弹恰好静止，奇数子弹射中木块时，向右运动，第17颗子弹射中时，由动量守恒定律，以向右为正方向，得 木块以速度 v与轨道产生相互作用，水平方向的动量守恒，以向右为正方向 根据该过程系统机械能守恒，有 联立解得 7 .如图所示，固定光滑圆轨道为圆弧，其半径，有一个可以视为质点的滑块从圆弧最高点无初速度释放，滑到最底端无碰撞地滑上左边的小车，已知滑块质量，小车质量、长，滑块与小车之间的动摩擦因数为0.25，小车与地面间的摩擦忽略不计。若滑块滑到小车左侧与挡板的碰撞为弹性碰撞，重力加速度为。求：（1）滑块滑上小车时的速度大小；（2）滑块最终停在小车上的位置；（3）滑块是否与挡板碰撞，若碰撞，求碰撞时小车在水平面上已滑行的距离；若不碰撞，求滑块相对小车静止时，小车在水平面上已滑行的距离。        【教法备注】 中 【答案】 （1）；（2）距左侧挡板；（3）碰撞， 【解析】 【详解】（1）滑块在圆弧轨道上从最高点运动到最低点时，由动能定律有 解得 （2）滑块滑上小车，滑块与小车组成的系统动量守恒，则有 由能量守恒有 解得 所以滑块最终停在离小车左端 （3）由以上可知滑块与挡板发生碰撞，由动量守恒和机械能守恒有 由动能定律有 解得 8 .如图所示， AB为竖直平面内、半径的四分之一光滑圆弧轨道， BC和 DE均为光滑水平轨道， AB与 BC相切于 B点， DE足够长，停在 DE上的小车的上表面与 BC等高。质量为的物块甲从轨道最高点 A由静止释放，进人水平面后与原来静止的、质量为的物块乙发生弹性正碰，碰后取走甲，乙向右滑上小车。已知小车的质量，小车长，乙与小车之间的动摩擦因数为，甲和乙均可视为质点， g取。求：（1）甲运动到圆弧轨道 B点时受到的支持力大小；（2）甲与乙碰撞后瞬间，乙的速度大小；（3）若，乙在小车上滑动过程中产生的热量 Q可能是多少（计算结果可含有）。 【教法备注】 中 【答案】 （1）30N；（2）；（3）当时，乙将从小车的右端滑离小车，产生的热量当时，乙和小车最终将一起运动，产生的热量 【解析】 【详解】（1）甲从 A到 B，机械能守恒：                             …………………………①在 B点对甲受力分析有：                             …………………………②解①②得：                      …………………………③（2）甲与乙发生相碰后速度分别为、，有                      …………………………④                …………………………⑤解①④⑤得：                …………………………⑥（3）当乙滑上小车后，设乙刚好到小车最右端时与小车共速，速度为 v，有：                      …………………………⑦根据能量守恒有：………………………⑧解⑥⑦⑧得：                …………………………⑨当时，乙将从小车的右端滑离小车，产生的热量                …………………………⑩当时，乙和小车最终将一起运动，产生的热量 9 .如图，倾角为 θ的倾斜轨道与足够长的水平轨道交于 Q点，在倾斜轨道上高 h处由静止释放滑块A，一段时间后A与静止在水平轨道上 P处的滑块B发生弹性碰撞（碰撞时间忽略不计）。已知A、B的质量分别为 m和3 m，B与轨道间的动摩擦因数为 μ，A与轨道间无摩擦，重力加速度大小为 g，A、B均可视为质点，A过 Q点时速度大小不变。求：（1）第一次碰撞后瞬间，A与B的速度大小 vA和 vB；（2）滑块B在水平轨道上通过的总路程 s；（3）若滑块B最初静止的 P处与 Q间的距离为，倾斜轨道的倾角，在第一次碰撞后B的速度减为零的时候，A与B刚好发生第二次碰撞，试确定 μ的大小。 【教法备注】 中 【答案】 （1）， ；（2）；（3） 【解析】 （1）第一次碰撞前，机械能守恒，有 解得 第一次碰撞，水平向左为正，由动量守恒 由能量守恒 解得 方向向右 （2）由（1）中结果可知，A与B还会发生多次碰撞，直到速度均减为零。因A在运动过程中及与B在碰撞过程中均无机械能损失，故A、B组成的系统机械能的损失均由B克服水平轨道摩擦力做功造成，由能量守恒定律有 解得 （3）设第一次碰撞至B的速度减为零所经历的时间为 t，与B在时间 t内发生的位移分别为 xA、 xB，对B，由动量定理有 解得 对B有 解得 对，在时间 t内，设其在倾斜轨道、水平轨道上运动的时间分别 t1、 t2，在倾斜轨道上，由牛顿第二定律有 对有 解得 根据题意分析可知 即 解得 变式训练 10 .一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角的直轨道 AB（足够长）、水平轨道 BC、竖直螺旋圆形轨道 CDPE、水平轨道 EF、无动力摆渡车 GH、水平直轨道 IJ组成，螺旋圆形轨道与轨道 BC、 EF相切于 C（ E）处，摆渡车上表面 GH及水平直轨道 IJ粗糙，其余各轨道均光滑，且各处平滑连接， C（ E）是圆形轨道的最低点， P是圆形轨道的最高点， D是圆形轨道上与圆心 O等高的点。凹槽 FKLI底面 KL水平光滑，上面放有一无动力摆渡车 GH，摆渡车上表面与直轨道 EF、直轨道 IJ位于同一水平面。一滑块（视为质点）质量 m=0.1kg，在直轨道 AB上距离 B点处由静止释放，它恰好可以完整地通过圆轨道，之后滑上摆渡车。已知滑块与 GH、IJ间的动摩擦因数，摆渡车质量 M=0.4kg，上表面 GH的长度 d=4.8m（其中 G为上表面的左端点， H为上表面的右端点），每当滑块由静止释放时摆渡车紧靠在竖直侧壁 FK处，当摆渡车碰到右侧壁 IL后立即静止。不计空气阻力， FI间的距离很大，取，。求：（1）圆形轨道的半径 R；（2）滑块到达 D点时轨道对它的作用力大小；（3）滑块最终停在何处；（4）改变滑块的释放位置，滑块在 IJ上最多能滑多远？    【教法备注】 难 【答案】 （1）；（2）；（3）停在摆渡车上；（4） 【解析】 【详解】（1）滑块恰好可以完整地通过圆轨道，有 滑块从斜面开始运动到运动到 P，由动能定理可得 联合解得 （2）滑块由 P运动到 D，由动能定理可得 在 D点，轨道对滑块的作用力提供向心力，故 联合解得 （3）滑块从斜面开始运动到运动到 E，由动能定理可得 解得 因此滑块将以的速度在 F点冲上摆渡车， FI间的距离很大，根据动量守恒定律可知滑块与摆渡车共速，即 解得 滑块与 GH、IJ间的动摩擦因数都为，设滑块在粗糙面上滑行的距离为，当滑块运动到静止时，由动能定理可得 解得 故滑块最终停在摆渡车上；（4）当滑块与摆渡车共速时，在摆渡车上滑行的相对距离刚好为 d时，滑块滑上 IJ的速度最大，设此时共速的速度为，滑块在 F点的速度为，则由动量守恒定律可得 可得 从滑上摆渡车到共速由动能定理可得 联合解得 故滑块将以速度滑上 IJ，根据动能定理可得 解得 学生总结     真题演练 11 .如图，光滑水平面上有两个等高的滑板和，质量分别为和，右端和左端分别放置物块、，物块的质量均为，和以相同速度向右运动，和以相同速度向左运动，在某时刻发生碰撞，作用时间极短，碰撞后与粘在一起形成一个新物块，与粘在一起形成一个新滑板，物块与滑板之间的动摩擦因数均为．重力加速度大小取． ( 1 )若，求碰撞后瞬间新物块和新滑板各自速度的大小和方向； ( 2 )若，从碰撞后到新滑块与新滑板相对静止时，求两者相对位移的大小． 【教法备注】 中 【答案】 (1)，，方向均向右 (2) 【解析】 (1)物块、碰撞过程中满足动量守恒，设碰撞后物块、形成的新物块的速度为，、的质量均为，以向右方向为正方向，则有 解得 可知碰撞后物块、形成的新物块的速度大小为，方向向右．滑板、碰撞过程中满足动量守恒，设碰撞后滑板、形成的新滑板的速度为，滑板和的质量分别为和，则有 解得 则新滑板速度方向也向右． (2)若，可知碰后瞬间物块、形成的新物块的速度为 碰后瞬间滑板、形成的新滑板的速度为 可知碰后新物块相对于新滑板向右运动，新物块向右做匀减速运动，新滑板向右做匀加速运动，新物块的质量为，新滑板的质量为，相对静止时的共同速度为，根据动量守恒可得 解得 根据能量守恒可得 解得 ． 二、碰撞次数问题 分类 处理思路 常见问题 运动的物体碰固定挡板 1.明确研究对象：运动的物体 2.受力分析，结合受力分析加速度，计算每次碰撞速度和动能的变化量 3.结合能量守恒分析碰撞次数 求碰撞次数 求运动时间 求碰撞次数与能量的关系 运动的物体碰运动的物体 当两物体质量相同，那么根据速度交换的知识分析 当两物体质量不相同，则就要用到动碰动的弹性碰撞推导关系 【教法备注】 （部分题目可以分析出固定的规律，例如下面15、16题） 经典例题 12 .如图所示，长木板质量为，长度为，静止在光滑的水平地面上，木板两端分别固定有竖直弹性挡板、（厚度不计），为木板的中点，一个质量为的小物块静止在点．现有一质量为的子弹，以的水平速度射入物块并留在其中（射入时间极短），已知重力加速度取． ( 1 )求子弹射入物块后的瞬间，二者的共同速度． ( 2 )射入之后，若与挡板恰好未发生碰撞，求与间的动摩擦因数． ( 3 )若与间的动摩擦因数，能与挡板碰撞几次？最终停在何处？ 【教法备注】 中 板块碰撞模型 【答案】 (1) (2) (3)碰撞次数为次，最终刚好停在点 【解析】 (1)子弹射入物块过程系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：，代入数据解得：． (2)由题意可知，与碰撞前达到共同速度，、、系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：，由能量守恒定律得：， 代入数据解得：． (3)、、组成的系统动量守恒，最终三者速度相等，以向左为正方向，由能量守恒定律得：， 碰撞次数：， 代入数据解得：， 由题意可知，碰撞次数为次，最终刚好停在点． 13 .如图，质量为、足够长的长木板B静止在光滑水平地面上，在距长木板右端距离为处有一固定挡板C，质量为的小滑块A从长木板的左端以大小为的初速度滑上长木板，物块与长木板间的动摩擦因数为0.4，木板B与挡板C的碰撞过程中没有机械能损失且碰撞时间极短可忽略不计，取．求： ( 1 )若在B与C碰撞前A与B已相对静止，则至少为多少； ( 2 )若要使B与C第一次碰撞后，B向左运动的动量大小恰好等于A向右运动的动量大小，则最后AB静止，B不会再与C发生碰撞，求满足如上情况的取值； ( 3 )若，则B与C会碰撞几次．   【教法备注】 难 板块碰撞模型 【答案】 (1) (2) (3)3次 【解析】 (1)A在B上做匀减速运动，B做匀加速运动，设A、B相对静止时，共同速度为，根据动量守恒有 B运动加速度大小 B运动的距离 因此，要使B与C碰撞前A与B已相对静止，则应． (2)B与C碰撞后，当A向右的动量等于B向右动量时 根据动量守恒有 B运动的距离 因此，应． (3)当时 得 此时 ， B与C碰撞后的速度大小为 相邻两次碰撞的时间间隔 此时 ， B与C再次碰撞后的速度大小为 相邻两次碰撞的时间间隔 此时 ， B与C第三次碰撞后的速度大小为 此后不再碰撞，因此碰撞次数为3次． 题型总结 弹性碰撞推论根据动量守恒得： 根据机械能守恒得： 得二者速度为： ， 【教法备注】 【注意】 如果题目中出现“碰撞过程中机械能不损失”，这实际就是弹性碰撞。 【记忆技巧】 仔细观察 、 ，结果很容易记忆， 就是把 中所有的 角标1换为角标2 即可。 但这里一般题目出现的都是动碰静，不要求学生一定要把上述公式记住，但动碰静的情况一定要记住（即 ） 巩固练习 14 .如图所示， A为内表面光滑的薄壁U型盒，质量，底面长， A的中央位置放有可视为质点、质量的滑块 B，初始 A、 B均静止。在 A左侧与 A相距处有一可视为质点、质量为的滑块 C，开始时 C以的初速度向右沿直线运动，与 A碰撞后粘在一起，已知 A、 C与水平面间的动摩擦因数均为，不考虑各物体相互碰撞的时间及 B与 A碰撞时的机械能损失，三物体始终在一条直线上运动，取。求：（1） C与 A碰撞前瞬间，滑块 C速度的大小；（2） A与 B发生第一次碰撞后 B的速度；（3） C开始运动到 B与 A发生第二次碰撞前经历的时间 t以及整个过程 B与 A碰撞的次数 N。 【教法备注】 难 【答案】 （1）24m/s；（2）11m/s；（3），6 【解析】 （1）从 C开始运动到与 A碰撞前过程，对 C由动能定理得 解得 （2） A、 C碰撞过程系统动量守恒，以水平向右为正方向，设碰后瞬间 A、 C整体的速度大小为 vA，由动量守恒定律得 解得 设 A、 C在摩擦力作用下向右做匀减速运动的加速度大小为 a，由牛顿第二定律得 解得 设 A、 C整体向右运动后速度减为，根据运动学规律得 解得 设 A、 C整体与 B发生第一次弹性碰撞后 A、 C整体的速度大小为 vA 1，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得 （3） A、 C整体与 B发生第一次弹性碰撞后 A、 C静止， B向右匀速运动距离 L，直到发生第二次碰撞。 C与 A碰撞前做减速运动的时间为 A、 C共同向右做减速运动的时间为 B向右匀速运动的时间为 因此 C从开始运动到 A与 B发生第二次碰撞前经历的时间为 设 A运动的总路程为 s，对 A运动的全过程由能量守恒定律得 解得 s=18m A、 B每次碰撞都会交换速度，重复之前的运动过程直至停止运动，易知 第1次碰撞到第2次碰撞之间， A静止；第2次碰撞到第3次碰撞之间， A前进 L；第3次碰撞到第4次碰撞， A静止；第4次到第5次碰撞， A前进 L；第5次碰撞到第6次碰撞， A静止；第6次碰撞后 A前进3.125m后静止，无法再与 B碰撞，所以碰撞次数为 15 .如图所示， AB为足够长的光滑斜面，斜面底端 B处有一小段光滑圆弧与水平面 BE平滑相连，其中 CD部分粗糙，其长度 L=1m，其余部分光滑， DE部分长度为 S=1m， E点与半径 R=1m的竖直光滑半圆形轨道相接， O为轨道圆心， E为最低点， F为最高点。将质量的物块甲从斜面上由静止释放，如果物块甲能够穿过 CD区域，它将与静止在 D点右侧的质量为的物块乙发生弹性正碰，已知物块甲、乙与 CD间的动摩擦因数为，且物块均可看成质点。求：（1）若物块乙被碰后恰好能通过圆轨道最高点 F，求其在水平面 BE上的落点到 E点的距离 x；（2）若物块甲在斜面上释放的高度，求物块乙被碰后运动至圆轨道最低点 E时对轨道的压力大小；（3）用质量的物块丙取代物块甲（丙与 CD间的动摩擦因数），为使物块丙能够与物块乙碰撞，并且碰撞次数不超过2次，求物块丙在斜面上释放的高度 h应在什么范围？（已知所有碰撞都是弹性正碰，且不考虑物块乙脱离轨道后与物块丙可能的碰撞） 【教法备注】 难 注意圆周临界条件和碰撞次数问题的联系 【答案】 （1）2m；（2）；（3）或 【解析】 （1）物块乙恰好过最高点 解得 平抛运动，竖直方向上有 水平方向上有 水平轨道上的落点到 E点的距离为 （2）设物块甲碰前速度为 v0，由动能定理有 解得 根据动量守恒和机械能守恒有 ， 解得 在 E点有 解得 由牛顿第三定律有 （3）要使物块丙能够与物块乙碰撞，需满足 则有 丙和乙碰撞交换速度，乙滑到圆弧上返回后，第2次乙和丙碰撞交换速度，此后丙不再与乙发生碰撞，需满足 则有 第1次丙与乙发生碰撞后，乙获得速度 v3，在半圆形轨道上运动高度超过 O点等高点，则乙将脱离圆轨道，不再与丙发生碰撞 则有 丙与乙碰前速度设为 v4，则有 在丙下滑至与乙碰前，由动能定理列式 解得 综上所述，丙在斜面上释放的高度 h范围为 或 16 .如图所示，轻质弹簧的左端与固定在水平轨道上的竖直挡板相连，在外力作用下小物块A缓慢将弹簧右端压缩至 O点并保持静止，小物块B静置于水平轨道上的 P点， P点与挡板间的水平轨道光滑， P点右侧的水平轨道粗糙．现由静止释放小物块A，弹簧恢复原长一段时间后，A、B发生弹性碰撞，碰撞前瞬间A的速度大小．A、B均可视为质点，它们的质量分别为、，它们与 P点右侧的水平轨道间的动摩擦因数均为，重力加速度大小，弹簧始终在弹性限度内，水平轨道足够长．   ( 1 )求A静止在 O点时，弹簧的弹性势能； ( 2 )求A、B发生碰撞后瞬间，B的速度大小； ( 3 )若A、B第二次发生碰撞时B已经静止，求A、B第二次发生碰撞前瞬间A的动能． 【教法备注】 中 【答案】 (1)； (2)； (3) 【解析】 (1)A由 O点到 P点的过程中，根据机械能守恒定律有 解得 (2)设A、B发生碰撞后瞬间，A、B的速度分别为、，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得 (3)设A、B发生碰撞后，B滑行位移 x后静止，根据动能定理有 在（2）中解得 从A、B发生第一次碰撞后瞬间到A、B第二次发生碰撞前瞬间，根据动能定理有 解得 17 .如图所示，一个小孩做推物块的游戏，质量为的小物块放置在光滑水平面上，紧靠物块右端有一辆小车，小孩蹲在小车上，小孩与车的总质量为，一起静止在光滑水平面上，物块左侧紧挨着足够长的水平传送带，传送带的上表面与水平面在同一高度，传送带以速度顺时针转动．游戏时，小孩将物块以相对水平面大小为的速度向左推出，一段时间后返回到传送带右端，物块向右追上小孩后又立即被小孩以相对水平面的速度向左推出，如此反复，直至追不上小孩为止．已知物块与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为．求： ( 1 )物块第一次被推出后，小孩与车的速度大小． ( 2 )物块被小孩第一次推出后到再次追上小孩所用的时间． ( 3 )整个过程中小孩因推物块消耗的体能． 【教法备注】 难 这道题目变相的考察了碰撞次数，用小孩推这一过程代指碰撞 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)小物块、小孩、小车组成的系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：， 解得小孩与车的速度大小：． 答：物块第一次被推出后，小孩与车的速度大小为． (2)小物块在传送带上先做匀减速直线运动，再做反向的匀加速直线运动， 小物块在传送带上滑动过程，小物块的加速度大小：， 在传送带上返回时速度为，在带上往返一次的时间为，， 小物块返回离开传送带后做匀速直线运动，经追赶小孩，则：， 解得：． 答：物块被小孩第一次推出后到再次追上小孩所用的时间是． (3)由第二问可知，小物块回到光滑水平面时速度为， 每经过一次传送带，小物块动量的变化量大小， 要使小物块不能追上小车，则小车速度大小需满足， 假设物块最多能被小孩向左推出的次数为， 则此时物块与小车小孩组成的系统的动量满足：， 解得：， 解得：，只能取整数次，所以，物块最多只能被推出次， 第次推出后车的速度为：， 由能量守恒定律可知，人消耗的体能： ， 解得：． 答：整个过程中小孩因推物块消耗的体能是． 学生总结     真题演练 18 .如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为 M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为 l，圆管长度为．一质量为的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等．小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短．不计空气阻力，重力加速度大小为   ． ( 1 )第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小 ( 2 )在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离 ( 3 )圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数 【教法备注】 难 【答案】 (1)小球碰后速度大小为，圆盘速度大小为， (2) (3) 【解析】 (1)过程1：小球释放后自由下落，下降，根据机械能守恒定律 解得 过程2：小球以与静止圆盘发生弹性碰撞，根据能量守恒定律和动量守恒定律分别有 解得 即小球碰后速度大小，方向竖直向上，圆盘速度大小为，方向竖直向下； (2)第一次碰后，小球做竖直上抛运动，圆盘摩擦力与重力平衡，匀速下滑，所以只要圆盘下降速度比小球快，二者间距就不断增大，当二者速度相同时，间距最大，即 解得 根据运动学公式得最大距离为 (3)第一次碰撞后到第二次碰撞时，两者位移相等，则有 即 解得 此时小球的速度 圆盘的速度仍为，这段时间内圆盘下降的位移 之后第二次发生弹性碰撞，根据动量守恒 根据能量守恒 联立解得 同理可得当位移相等时 解得 圆盘向下运动 此时圆盘距下端管口，之后二者第三次发生碰撞，碰前小球的速度 有动量守恒 机械能守恒 得碰后小球速度为 圆盘速度 当二者即将四次碰撞时 即 得 在这段时间内，圆盘向下移动 此时圆盘距离下端管口长度为 此时可得出圆盘每次碰后到下一次碰前，下降距离逐次增加2 l，故若发生下一次碰撞，圆盘将向下移动，则第四次碰撞后落出管口外，因此圆盘在管内运动的过程中，小球与圆盘的碰撞次数为4次． 三、规律性（含n）问题 规律性（含n）问题 处理思路 常见问题 计算 1、2、3...时物体运动的情况 ，观察分析出规律，通常能够得到等比数列或者倍数的关系 含 的关系式 求运动时间或速度 经典例题 19 .如图所示，水平轨道右侧有竖直墙壁，在 P点处静止放置小物块 a、 b（均可视为质点），质量分别为 m、2 m。物块 a、 b间有少量火药（质量可忽略），某时刻点燃火药使物块 a、 b迅速分开，分开后物块 a以 v0向右运动，与竖直墙壁发生碰撞，以原速率反向弹回。物块 b刚停止运动时，物块 a与之发生第一次碰撞。已知物块 a与 b的所有碰撞均为弹性碰撞，物块 a每次与竖直墙壁碰撞后都以原速率反弹，所有的碰撞时间极短，可忽略不计。物块 a与水平轨道间没有摩擦，物块 b与水平轨道间的动摩擦因数为 μ，重力加速度为 g。求：（1）物块 a、 b分开瞬间，物块 b的速度大小 vb 0；（2） P点到竖直墙壁的距离 L；（3）物块 a与 b发生第2次碰撞后瞬间，物块 a的速度大小；（4）物块 a、 b第 n次碰撞后到第 n+1次碰撞前，物块 b运动的位移大小。 【教法备注】 难 多次碰撞模型 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 （1）火药点燃物块 a、 b分开的过程，根据动量守恒定律有 解得     （2）对于物块 b，根据牛顿第二定律得 b沿水平面滑动的加速度大小为 设分开后 b在水平面上滑动的时间 t0、滑过的距离 x b 0，根据 分开后 b在水平面上滑动的时间为 根据 分开后 b在水平面上滑过的距离为 此段时间内物块 a运动通过程 根据题意分析可知 解得 （3）设 a、 b第1次碰撞后的速度分别为 v a 1和 v b 1，已知 a与 b的所有碰撞均为弹性碰撞，根据动量守恒定律 根据能量守恒定律 整理可得 代入数据得 根据题意分析可知，第2次碰撞前 b已停止运动，则 a与 b第2次碰撞后的速度大小为 即 （4） a与 b第2次碰撞后， b的速度大小 a与 b第 n次碰撞前， a的速度大小 a与 b第 n次碰撞后， b的速度大小为 a与 b第 n次碰撞后， b滑动的位移为 解得 题型总结 规律性问题做题步骤： ①明确研究对象 ②受力分析并结合题意得到 物体运动的基本情况 ③计算 1、2...时物体的速度、位移等大小， 分析前后关系，得出规律 【教法备注】  巩固练习 20 .如图所示，质量分别为 m、3 m的滑块A和B靠在一起，静止在水平面上，中间有少量火药（质量可忽略），轻质弹簧左端固定，右端与滑块A接触但不拴接，弹簧处于自由伸长状态。某时刻点燃火药，滑块A、B分开，分开后瞬间A的速度大小为，B停止运动的瞬间A与B发生第一次碰撞。已知A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，A与水平面间没有摩擦，B与水平面间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧振子的振动周期，为振子的质量， k为弹簧的劲度系数，重力加速度为 g。求：（1）弹簧劲度系数 k的大小；（2）A与B发生第3次碰撞前瞬间A的速度大小：（3）A、B第 n次碰撞后到第次碰撞前B运动的位移大小及全过程中B运动的总位移大小。 【教法备注】 中 【答案】 （1）；（2）；（3）； 【解析】 （1）根据题意分析可知，A、B分开过程系统动量守恒，分离后瞬间A的速度大小为。则有 解得 对滑块B由牛顿第二定律有 分开后B在水平面上滑动的时间为 分开后B在水平面上滑过的距离为 根据题意分析可知，滑块A开始压缩弹簧到与弹簧分离的过程做简谐运动，结合题述和简谐运动知识可知，滑块A做简谐运动的时间为 滑块A与弹簧分离后在水平面上做匀速运动直到与B第一次碰撞，运动的时间为 结合题述有 联立得 （2）设第1次碰撞后瞬间滑块A、B的速度分别为和，A与B间的所有碰撞均为弹性碰撞，碰撞过程根据动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 假设第2次碰撞前B已停止运动，则第1次碰撞后B滑动的时间为 A运动时间为 其中 可得 则第2次碰撞前B已停止运动，第2次碰撞后，A的速度 即A与B第3次碰撞前瞬间A的速度大小为；（3）A与B第2次碰撞后瞬间，B的速度大小 A与B第2次碰撞后，B滑动的位移 A与B第 n次碰撞前，A的速度大小 A与B第 n次碰撞后瞬间，B的速度大小为 A与B第 n次碰撞后到次碰撞前，B滑动的位移为 B运动的总位移为 21 .如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径．物块以的速度滑入圆轨道，滑过最高点，再沿圆轨道滑出后，与直轨道上处静止的物块碰撞，碰后粘在一起运动，点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段长度都为．物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为，、的质量均为 （重力加速度取；、视为质点，碰撞时间极短）． ( 1 )求滑过点时的速度大小和受到的弹力大小． ( 2 )若碰后最终停止在第个粗糙段上，求的数值． ( 3 )求碰后滑至第个()光滑段上的速度与的关系式． 【教法备注】 难 【答案】 (1)； (2) (3)() 【解析】 (1)由机械能守恒定律可得：；解得：；由，可得． (2)碰撞前的速度为，由机械能守恒定律可得：，得；碰撞后以共同速度前进，设向右为正方向，由动量守恒定律可得：，解得：；故总动能；滑块每经过一段粗糙段损失的机械能 ， ． (3)整体滑至第个光滑段上损失的能量： 从碰撞后运动到第个光滑段的过程中，由能量守恒定律可得： ，代入解得：()． 22 .如图所示，为一半径为的四分之一竖直光滑圆弧轨道，其与光滑水平面相切于点，在水平面上依次紧密排列着体积相等、材料不同、标号为2、3、4… n的小球，小球质量分别为，将质量为的小球1从轨道上点由静止释放。已知小球之间的碰撞均为弹性正碰，每相邻两个小球之间只碰撞一次，重力加速度为，求：（1）小球3被撞后瞬间的动能与小球1碰撞小球2前瞬间的动能之比；（2）若，则当取何值时，第个小球获得的动能最大，并求出其最大动能。 【教法备注】 难 【答案】 （1）；（2）， 【解析】 【详解】（1）设小球1碰前瞬间速度为，1、2两球碰撞瞬间，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得 2、3两球碰撞瞬间，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得 解得（2）小球1从四分之一竖直圆弧轨道滚下的过程有根据第（1）问可知，碰撞后，3、4交换速度，4、5交换速度，……故第个小球的速度大小为，解得当时，即当时，最大且则 学生总结     四、课堂总结 五、出门测 23 .如图所示的水平面， A点左侧和 B点右侧的水平面光滑，半径为 R、质量的光滑圆弧形槽放在水平面上，弧形槽刚好与水平面相切于 A点，质量为的物块乙左端拴接一轻弹簧，静止在水平面上，弹簧原长时左端点刚好位于水平面上的 B点．已知段粗糙且物块甲与段间的动摩擦因数为， A、 B两点之间的距离为 R，质量为 m的物块甲由弧形槽的最高点无初速度释放，重力加速度为 g，两物块均可视为质点．求：     ( 1 )物块甲刚到达水平面时弧形槽的位移大小； ( 2 )整个过程中弹簧储存的弹性势能的最大值．     【教法备注】 中 【答案】 (1)； (2) ; 【解析】 (1)物块甲沿光滑弧形槽下滑的过程中，物块甲和弧形槽组成的系统水平方向动量守恒，假设该过程中弧形槽的位移为 x，则物块甲的水平位移大小为，由动量守恒定律得 解得 (2)设物块甲滑到弧形槽底端的速度为，此时弧形槽的速度为，该过程中由动量守恒以及机械能守恒定律得 ， 解得 ， 滑块甲刚好滑到 B点的速度为，由动能定理得 解得 此后当物块甲与物块乙共速时，弹簧的弹性势能最大，设共同的速度为，对甲乙及弹簧组成的系统，右动量守恒定律可得 由能量守恒可得弹簧的最大弹性势能 联立解得 学科网（北京）股份有限公司 $$