第2节 高中物理用到的数学知识-【金榜题名】2025-2026学年初升高物理知识衔接

初高中衔接教材 第2节 高中物理用到的数学知识 一、锐角三角函数 因此，在这些直角三角形中，∠A的对边 1锐角三角函数的定义 与斜边的比值是一个固定的值，根据同样 (1)直角三角形的三条边。 道理，由“相似三角形”知识可以知道，在 如图所示，在直角B 这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的 三角形△ABC中， 比值，∠A的邻边与斜边的比值分别是某 ∠C是直角，则 个周定的值。 AC、BC叫做直角 这样，在△ABC中，∠C是直角，我们把 边，AB叫做斜边，∠A、∠B都是锐角。 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正 对于∠A来说，AC叫做∠A的邻边，BC 弦，记作sinA:锐角A的邻边与斜边的比 叫做∠A的对边。 叫做∠A的余弦，记作cosA;锐角A的 (2)锐角三角函数。初中几何课本中给出锐 对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 角三角函数的定义，是依据这样一个基本事 tanA:锐角A的邻边与对边的比叫作 实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对 ∠A的余切，记作cotA,于是我们得到锐 边、邻边与斜边的比值是一个固定的值。 角A的四个锐角三角函数。 B 三角函数定义如下： B 设∠A=a,并令AC=x,BC=y,AB=r, 则a的四个三角函数值定义为： C Ca C ∠A的正弦sina= ∠A的对边_BC_y 斜边 ABr 关于这点，我们看上图，图中的直角三角 ∠A的余弦csa=∠A的邻边-AC=工 斜边 AB r 形AB1C1、AB2C2、AB3C3、…都有一个 相同的锐角A,即锐角A取一个固定值。 ∠A的正切tana= ∠A的对边_C=y ∠A的邻边ACx 如图所示，许多直角三角形中相等的那个 ∠A的余切cota= ∠A的邻边=AC=x 锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同 ∠A的对边BCy 一条直线上，那么斜边必然都落在另一条 ∠A的正弦、余弦、正切、余切统称为三角 直线上，不难看出： 函数（高中数学还将会学到其他的三角函 B1C1∥B2C2∥B3C3∥…， 数名称)。 ,△AB1C1p△AB2C2△AB3C3 2.锐角三角函数的主要性质 6-始-品 (1)三角函数值只是一个比值，由角的大 AB3 小确定，与直角三角形的边长无关。 ·4· 第一部分学习方法衔接 (2)sina,cosa、tana、cota均为正值。 现把这些值列在下面的表格中，这些值都 (3)当0<a<90°时，正弦与正切函数为增 是要求记忆的。其他角度的三角函数的 函数：余弦与余切函数为减函数。 值可以查数学用表或用计算器来算 (4)对于同一个角，存在如下的关系： 角度 0° 30° 37 45 53 60 90 ①平方和关系： sima+cos2a-()}2+(5）》2= sin 3 2 4 3 2 5 1 5 2 2 月 的 4 3 1 cos 2 5 5 2 0 2 ②比值的关系： y x 不存 tan 0 3 4 1 3 3 3 sin&_L=义=tana cos a-r=I 在 cosa工 sin a y y r 不存 3 cot 0 cot a 在 3 ③倒数关系： 表格中的37°和53°角同学们在初中很少 tan a- cot a'cot a- 1,所以tan ax tan a 遇到，但我们在高中物理中经常要用到它 cot a=1 们。其实这两个角也是大家熟悉的。还 (5)若a3互为余角，则有： 记得“勾三股四弦五”吧？在这个直角三 sin a=cos B.cos a=sin B,tan a=cot B. 角形中，长为5的边所对的是直角，长为3 cot a=tan B 的边所对的锐角就是37°，长为4的边对 3.三角关系式 的角就是53°。 (1)sin(180°-0)=sin0 539 cos(180°-0)=-cos0 tan(180°-0)=-tan0 A 37° cot(180°-0)=-cot0 二、正、余弦定理 (2)sin(90°-0)=cos0 cos(90°-0)=sin0 1.正弦定理：如图，sin A sin B sin C tan(90°-0)=cot0 cot(90°-0)=tan0 (3)sin20+cos20=1 (4)tan0·cot0=1 4.0~90°之间的特殊角的各三角函数值 2.余弦定理：如图，a2=b2+c2一2 bccos A; 高中物理计算中经常用到0°、30°、37°、 62 a2+c2-2accos B;c2 a2+62- 45°，53°、60°、90°的角的三角函数的值。 2abcos C. ·5· C 初高中衔接教材 三、直线方程 五、角的弧度制表示 直线y=kx十b的图线如图所示。 1.弧度制一另一种度量角的单位制 角的单位，除了我们熟知的“度、分、秒”以 外，还可以用另一个单位—弧度。它的 单位是“弧度”，记作“rad”,读作“弧度”。 在一个圆中，圆心角的弧度值等于圆弧的 长度除以圆的半径。所以，当圆弧的长度 L,直线的斜率：k=Ay △x =tan 0. 等于圆的半径长度时，这段圆弧所对的圆 心角称为1弧度的角，如图： 2.纵截距y%和横截距xo。直线与x、y轴 1=2 的交点A、B到原点O的距离就是横截距 1 rad 2 rad x。和纵截距yo,分别等于y=0时x的值 0 和x=0时y的值，即x0= k%=b。 ∠AOB=lrad ∠A0C=2rad 应用：直线的斜率k和纵横截距是解决图 象问题的重要手段和方法。 2.角度制与弧度制的换算 显然，一个平角所对应的弧长就是一个“半 四、一元二次函数 圆”，如果这个圆的半径是R,那么这段弧 一元二次函数y=ax2十bx十c 长就是元R,所以，180的角用弧度做单位 1.顶点坐标公式：(- b4ac-2). 2a'4a 就是180°=Rπ/R=π弧度，πrad,这个关 系式可以作为角度与弧度的换算关系式。 2.判别式△=b2-4ac 由上述关系式可知： (1)△>0，y=a.x2十bx+c图象与x轴有 180°=πrad 两个交点： 360°=2xrad (2)△=0，y=a,x2十bx+c图象与x轴有 1°-780rad0.01745rad 且只有一个交点： (3)△<0，y=a.x2十bx十c图象与x轴没 1ad=(19）≈57.30=5718 有交点。 今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符 3.配方y=a(x+,) 2a +4ac-b2 号rad可以省略不写，例如：3表示3rad, Aa sinr表示rrad角的正弦。 应用：主要用于解决极值问题，尤其是判 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 别式法，它是一种非常有效的方法，如解 该记住，你能自己推出30°、45°、60°、90°、 答追及、相遇问题。 120°、150°分别等于多少弧度了吧！ 。6