专题05 解析几何-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（安徽专用）

专题05 解析几何 题型概览 题型01 直线和圆 题型02 椭圆 题型03 双曲线 题型4 抛物线 直线和圆题型01 1．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得，且，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线的方程，再求出直线的方程，求得点的坐标，求出以为直径的圆的方程，易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解. 【详解】如图，，解得， 所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6， 即，化简得，其中， ，则， ， 所以，即，则直线的斜率为， 所以直线，即， 联立，解得，即， 因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 将两圆的方程相减得， 故直线的方程为. 故选：B. 2．（2025·安徽安庆·二模）已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线与曲线联立，得出方程，然后韦达定理得出，分类讨论即可得出答案. 【详解】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段， 当时，，此时，则，不合题意； 当时，，得，解得. 又，所以不成立， 故选：A. 3．（2025·安徽合肥·二模）已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 显然两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大，最大值为， 故选：B. 4．（2025·安徽·二模）已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，过的直线与交于，两点，交的准线于点，则（    ） A． B．若直线的斜率为1，则以线段为直径的圆截轴所得的弦长为10 C．若，则 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】设出直线的方程，与抛物线联立，消元可表达两根和与积，设出点，表达向量的数量积即可判断选项A；斜率已知，则弦长和中点坐标可表达；圆的方程已知，求弦长可判断B；，则A为P与B的中点，结合抛物线定义可判断C；求角正切值的最值，考虑引入参数，用不等式的方法求解. 【详解】设直线：，，，其中， ∴，整理得，则， ，A正确； 直线的斜率为1，则此时，， ∴， 设为中点， 又， 易知，所以以为直径的圆截轴所得弦长为，B错误； 过A，分别作的垂线，垂足分别为，，因为，则A为P与B的中点，所以，由抛物线的定义可知，，C选项正确； 设与轴交于点，因为，所以不妨设， 所以， 当且仅当时取等号，D选项正确. 故选：. 5．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 【答案】9 【分析】法一：准确画图，可得四边形是边长为3正方形，进而求得其面积； 法二：将两圆方程做差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系即可求得，利用两点间距离公式求得，进而求得四边形的面积. 【详解】由已知，圆，圆， 圆心，半径，圆心，半径， 法一：如图，准确画图，容易发现四边形是边长为3正方形，其面积为9； 法二：将两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程为： 到距离为，所以，即， 又， 所以，四边形的面积. 故答案为：9. 6．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线，，点在上． (1)求的最小值； (2)设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点． （ⅰ）求直线斜率的取值范围； （ⅱ）证明直线过定点． 【答案】(1)取最小值为 (2)（ⅰ）直线斜率的取值范围为； （ⅱ）证明见解析． 【分析】（1）设，由两点间的距离公式可得，进而可求最小值； （2）记直线的斜率分别为，设切线方程为，由题意可得，进而可得，联立直线与椭圆方程可得，（ⅰ）可得，计算可求直线斜率的取值范围；（ⅱ）可求得直线的方程为，进而可求定点. 【详解】（1）设，则，又， 所以， 所以当时，取最小值，最小值为. （2）记直线的斜率分别为， 因为点的横坐标为2，可得，设过的圆的切线方程为， 由题意可得，即， 因为是方程的根，所以， 又，所以， 所以，即， （ⅰ）因为的斜率为， 所以， 又因为，所以. 即直线斜率的取值范围为； （ⅱ）因为，所以， 所以直线的方程为，即， 即，即， 令，则，所以直线过定点． 7．（2025·安徽芜湖·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若圆与曲线恰有一个公共点，且圆与轴相切于点，求圆的半径. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点的坐标得到圆心坐标，再由圆上的点到圆心的距离相等得到的关系； （2）联立圆和曲线的方程，因为只有一个公共点，所以恰有一个正数y满足，转化成与图象只有一个交点的问题，利用导数得到函数的图象，从而确定的值. 【详解】（1）因为圆经过轴上的两点和，所以圆心为的中点， 又因为该圆经过点和， 所以化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）设圆的半径为，且不妨设圆心在轴的上方，因为圆与轴相切于点， 所以圆心，圆的方程为， 联立消去得， 于是 ， 因为圆与曲线恰有一个公共点，所以恰有一个正数y满足， 记，， 令，得；令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，      因此当时，没有正数解；当时，恰有一个正数解； 当时，因为当和时均可任意大总有两个正数解. 综上，. 8．（2025·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆上的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为.证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）设椭圆的方程为，将点和的坐标代入椭圆方程，求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设，则，求出圆的方程，将圆和圆的方程作差，可得出直线的方程，求出圆心到直线的距离以及的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意知：，， 解得，                    所以椭圆的方程为. （2）设，则，且圆的方程为， 即圆的方程为.          因为圆的方程为，             将圆的方程与圆的方程作差得，             所以的方程为，                          点到直线的距离 ， 又因为，所以的面积为为定值. 椭圆题型02 9．（2025·安徽淮北·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】可先求出抛物线的焦点坐标，再根据椭圆的性质求出的值，最后根据椭圆长轴长与的关系求出椭圆长轴的长. 【详解】在抛物线中，焦点坐标为. 因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以椭圆的焦点在轴上，且（为椭圆的半焦距）. 在椭圆中， ，又因为，所以. 而在椭圆中，，所以. 椭圆的长轴长为. 故选：C. 10．（2025·安徽滁州·二模）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意设，结合椭圆的性质和余弦定理以及二倍角的余弦公式计算出，再由离心率的公式计算可得. 【详解】由题意设， 由椭圆定义， 所以， 设， 对应用余弦定理可得，可得， 对应用余弦定理可得，可得， 又，代入并化简可得， 所以，， 所以离心率. 故答案为：. 11．（2025·安徽淮北·二模）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由椭圆的定义结合题意可得出，，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案. 【详解】由题可知，由椭圆的定义知：，， 所以，又因为， 所以， ，所以， 解得：，， 所以在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： 所以，可得：，即， 所以，因为， 所以. 故答案为：.    12．（2025·安徽·二模）已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)求面积的最大值； (3)过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，代入计算，然后表示出三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到结果； （3）根据题意，联立直线与直线，表示出点的横坐标，然后表示出中点横坐标，即可证明. 【详解】（1）依题意，所以， 因为，所以， 所以， 所以的方程为； （2）设直线：，，，易知 由可得，，，， ，解得， 的面积是与的面积之差， 所以的面积 设，所以，当且仅当时取“=”， 所以面积的最大值为； （3）直线：， 由，解得， 所以线段的中点横坐标为， 所以， 所以线段的中点在直线上. 13．（2025·安徽蚌埠·二模）椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. (1)求的方程； (2)已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）由椭圆，的方程求椭圆，的长轴长和短轴长，结合椭圆相似的定义列方程求，由此可得结论； （2）（i）设直线的方程为，联立与椭圆求线段的中点坐标，联立与椭圆求线段的中点坐标，由此证明结论； （ii）连接，取的中点，证明，联立方程组结合弦长公式求，，由此可得的面积解析式，再结合基本不等式求其最值. 【详解】（1）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 又与的相似比为，所以，解得， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得， 方程的判别式 设， 所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标， 即中点的坐标为. 由，得， 方程的判别式 设，所以， 故中点的纵坐标为中点的横坐标，即中点的坐标为. 所以的中点与的中点重合，所以. （ii）如图，连接，取的中点，连接，又分别为的中点，所以 ，所以，， 所以的面积. 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由 得，设，所 以， 所以 同理可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为. 14．（2025·安徽池州·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据题意，列出方程求出的得解； （2）法一，设点，由结合点在椭圆上求出点的轨迹方程，由两点间距离公式，利用转化为二次函数求最值，得解；法二，由，解得，将用表示，利用椭圆范围求出答案. 【详解】（1）由题意可设椭圆，且 所以，解得 所以的方程为. （2）解法一：设点，所以， 由，得，解得. 又，所以，化解得， 所以，由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，则，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 解法二：设点，所以， 由，得，解得. 由得，解得， 所以， 当且仅当时，取“=”，即， 所以的最小值为，此时点的坐标为或. 双曲线题型03 15．（2025·安徽芜湖·二模）已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，，点F关于l的对称点为，结合题意可得，解出、后代入中化简后结合离心率定义计算即可得解. 【详解】由双曲线对称性，不妨设，， 点F关于l的对称点为，则有， 解得，则有， 整理得， 即， 化简得，故， 则. 故选：B. 16．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的左焦点为，连接、、、，根据对称性及已知条件可得四边形为矩形，设，根据双曲线的定义表示出，，在中利用勾股定理得到，再在中利用勾股定理得到、的关系，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，因为，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：D. 17．（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系可得，再根据双曲线的定义，设，则，结合余弦定理计算可得与，进而可得，从而得到. 【详解】如图，因为直线的斜率为，所以， 所以，. 设，则，又， 所以，在中， 由余弦定理得， 即 ，整理得. 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，即，所以，所以.    故选：B. 18．（2025·安徽黄山·二模）已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得不等式，利用双曲线的离心率计算公式和范围，求解不等式即得其范围. 【详解】依题意，，而， 因，故得. 故选：B. 19．（2025·安徽合肥·二模）已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出点，算出，结合已知可得 ，即可求解 【详解】不妨令渐近线方程为，顶点为， 则过顶点与渐近线垂直的直线的方程为 ， 令，得，则， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 故选：. 20．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若 ，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，根据条件可得，，求出点的坐标，由关系求出点的坐标，利用得到关系，运算得解. 【详解】如图，设与交于点， 由，且是的中点， 所以，又， 所以，又，易得， ， 则，代入双曲线方程可得， 设点，则，， 又设，由可得，即， 由，得，即， 化简整理得， ，解得或， 又，，解得. 故选：D. 21．（2025·安徽·二模）已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为 . 【答案】5 【分析】通过题意写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程列出等式求出，写出方程求出焦距即可. 【详解】易知，，，得出和， 因为渐近线方程为，故，解得， 所以，所以的焦距为. 故答案为：5. 22．（2025·安徽淮北·二模）已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为 (1)求双曲线的方程； (2)点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先根据直线斜率之积得到关于的方程，解出的值，再将的值代入另一个方程求出的值，最后根据双曲线标准方程的形式得出双曲线的方程． (2)方法1通过设直线方程与双曲线方程联立，结合已知点在直线上得到关于的表达式，再根据面积关系列出等式求解，进而得到点坐标； 方法2先求出直线PQ与轴交点的横坐标关于的表达式，再根据面积关系消去，得到关于的方程，最后联立双曲线方程求解点坐标． 【详解】（1）由得，解得， 又，解得，于是的方程为：. （2）（方法1）设，显然， 设直线，与0联立，消去得，则， 又在直线上，得，代入上式得 于是，即， 整理得，解得，进而， 即所求点坐标为. （方法2）设，显然直线的斜率存在，其方程为： ，令，解得 依题意 将（1）代入上式，消去得. 整理得，即 由知联立，解得. 即所求点坐标为.    23．（2025·安徽滁州·二模）已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为． (1)求的方程； (2)若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值； （ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）由题意计算出，，然后解出方程； （2）（ⅰ）由题意设直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示计算即可； （ⅱ）方法1：设点的横坐标为，由直线的方程和直线的方程结合中点坐标公式求出点的坐标为．代入双曲线方程得出，通过计算求得点的坐标； 方法2：设点的坐标为，令代入双曲线方程解得，再结合计算得．又由（ⅰ）知计算即可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意知，，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）（ⅰ）由题意知．显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，． 由得． 由，，得且，，． 所以 ． 故直线和的斜率之和为定值4． （ⅱ）方法1：设点的横坐标为， 由（ⅰ）设直线的方程为，则直线的方程为， 于是，， 所以， 所以点的坐标为． 在方程中，令，得， 所以， 所以， 可得， 所以或，又因为， 所以，所以点的坐标为． 方法2：设点的坐标为， 在方程中，令，得，所以， 所以，解得． 又，且为线段的中点，所以， 又由（ⅰ）知或（舍去）． 所以点的坐标为． 随机变量和分布题型04 24．（2025·安徽马鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合几何意义及抛物线的定义列式求解. 【详解】抛物线的焦点，准线，过作准线的垂线，垂足为，作轴于， 由直线的斜率为，得，而， 则，设点，令，， 于是，解得，同理， 因此 ， 当为钝角时，同理求得，所以. 故选：C 25．（2025·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（   ） A．的最小值为4 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．当时，则 D． 【答案】BCD 【分析】由题设可得，，设，联立抛物线并应用韦达定理得，，应用弦长公式、抛物线的定义求弦长，确定的中点横坐标，即可得判断A、B、C；应用向量数量积的坐标表示及韦达公式化简判断D. 【详解】由题设，则，， 可设，联立抛物线得，显然， 所以，，则 ，当且仅当时等号成立，A错； 由抛物线的定义知，而的中点横坐标为， 所以的中点与直线的距离为，即为的一半， 所以以线段为直径的圆与直线相切，B对； 若，且，则，而， 所以，则， 所以，则，C对； 由，D对. 故选：BCD 26．（2025·安徽蚌埠·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．若直线的斜率分别为，则 D． 【答案】ACD 【分析】选项A：利用抛物线焦半径公式，结合前面得到的，计算的值来判断对错. 选项B：通过进行变形，结合均值不等式以及抛物线方程（即与的关系），得出的范围，进而判断的范围. 选项C：根据抛物线方程，通过两式相减得到直线斜率公式，进而计算的值. 选项D：先对进行合理假设，结合和联立方程组，经过多次平方、化简等操作，计算的值. 【详解】因为为上的任意三点，且，所以为的重心，，所以，， 所以，故A正确； ，所以，解得，所以，故B错误； 因为两式相减，得， 所以，同理可得，所以 ，故C正确； 不妨设，则，代入0，得， 所以，由得， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解析几何 题型概览 题型01 直线和圆 题型02 椭圆 题型03 双曲线 题型04 抛物线 直线和圆题型01 1．（2025·安徽池州·二模）已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽安庆·二模）已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·二模）已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（    ） A． B．8 C．12 D．16 4．（2025·安徽·二模）已知为抛物线：的焦点，为坐标原点，过的直线与交于，两点，交的准线于点，则（    ） A． B．若直线的斜率为1，则以线段为直径的圆截轴所得的弦长为10 C．若，则 D．的最大值为 5．（2025·安徽安庆·二模）已知圆与圆相交于两点，则四边形的面积等于 . 6．（2025·安徽合肥·二模）已知抛物线，，点在上． (1)求的最小值； (2)设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点． （ⅰ）求直线斜率的取值范围； （ⅱ）证明直线过定点． 7．（2025·安徽芜湖·二模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于，两个动点. (1)求点的轨迹的方程； (2)若圆与曲线恰有一个公共点，且圆与轴相切于点，求圆的半径. 8．（2025·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点和是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆上的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若为椭圆上任意一点，以点为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为.证明：的面积为定值，并求出该定值. 椭圆题型02 9．（2025·安徽淮北·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（    ） A．2 B． C．4 D．8 10．（2025·安徽滁州·二模）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 11．（2025·安徽淮北·二模）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为 . 12．（2025·安徽·二模）已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过点的直线交于，两点（在线段上），当直线的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)求面积的最大值； (3)过且与轴平行的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上. 13．（2025·安徽蚌埠·二模）椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. (1)求的方程； (2)已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 14．（2025·安徽池州·二模）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 双曲线题型03 15．（2025·安徽芜湖·二模）已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 16．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．（2025·安徽黄山·二模）已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·安徽合肥·二模）已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（    ） A．3 B．2 C． D． 20．（2025·安徽池州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，是的右支上一点，在轴上的射影为，为坐标原点.若 ，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·安徽·二模）已知双曲线：的渐近线方程为，则的焦距为 . 22．（2025·安徽淮北·二模）已知双曲线经过点为其左，右顶点，且与的斜率之积为 (1)求双曲线的方程； (2)点为实轴上一点，直线交于另一点，记的面积为的面积为，若，求点坐标. 23．（2025·安徽滁州·二模）已知双曲线的右焦点为，点在右支上，且的最小值为1，的渐近线为． (1)求的方程； (2)若点在轴上方，且轴，过点的直线与双曲线交于两点． （ⅰ）求证：直线和的斜率之和为定值； （ⅱ）过点作轴的垂线，与直线交于点，设线段的中点为，过点作平行于轴的直线，交于两点，的面积为，求点的坐标． 随机变量和分布题型04 24．（2025·安徽马鞍山·二模）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过焦点且与交于，两点，若直线的斜率为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 25．（2025·安徽黄山·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（   ） A．的最小值为4 B．以线段为直径的圆与直线相切 C．当时，则 D． 26．（2025·安徽蚌埠·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点，使得 C．若直线的斜率分别为，则 D． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$