专题04 计数原理和统计概率-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（安徽专用）

专题04 计数原理和统计概率 题型概览 题型01 排列组合和古典概型 题型02 二项式定理 题型03 统计 题型04 随机变量和分布 排列组合和古典概型题型01 1．（2025·安徽马鞍山·二模）如图，一个圆环分成，，，四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为 .（用数字作答） 【答案】12 【分析】分同色或同色，两类情况求解即可. 【详解】若同色，3种颜色（全部用完），有种， 若同色，3种颜色（全部用完），有种， 所以共有种， 故答案为：12 2．（2025·安徽合肥·二模）如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 ．    【答案】 【分析】根据题意，利用分步乘法计数原理和列举法求出事件数，再利用条件概率公式求概率即可. 【详解】设“每行都放置两枚棋子”为事件A，“每列都有两枚棋子”为事件B， 则所求概率为， 根据题意，每行都放置两枚棋子,即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有种方法， 所以，. 对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格，此时第二行有种放置方法，则第三、四行的放置方法如图，    图1有1种方法，图2、3、4、5各有2种方法，图6中，第三行有种放置方法，其选定方格后，第四行只有唯一的放置方法.所以总共有种方法. 因为第一行棋子有种放置方法，其他5种情况同理，故. 所以，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率 故答案为： 3．（2025·安徽黄山·二模）某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有 种不同的安排方法． 【答案】1280 【分析】根据分步计数乘法原理，结合题意计算即可得结果. 【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法. 所以，总共有种不同的安排方法. 故答案为：1280. 4．（2025·安徽安庆·二模）将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为 . 【答案】 【分析】古典概型求概率，先求所有情况共有种，而每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可. 【详解】将3个1，3个2，3个3共9个数填入一共有种方法. 每行，每列的和为3的倍数有两种可能： ①每行或每列的数字相同，有种方法， ②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法. 所以每行，每列的和都是3的倍数的概率为. 故答案为：. 5．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在正方体中，为过正方体的任意两个顶点的直线，则（   ） A．S有56个元素 B．若，则满足平面的概率为 C．S中有4个元素与正方体所有棱的夹角相等 D．若，则，为异面直线的概率为 【答案】BCD 【分析】根据排列组合问题可知共有个元素，其中12条棱，12条面对角线，4条体对角线，再分类讨论，根据古典概型可解. 【详解】在正方体中，共有8个顶点，任取两个顶点组合共有条直线，所以S有28个元素，故A错； 满足平面的有，所以满足平面的概率为，故B正确； 根据正方体性质易知四条体对角线与所有棱的夹角相等，故C正确； 对应D，S有28个元素，12条棱，12条面对角线，4条体对角线，任取2条共有种， 与棱异面的直线有：共12条，所以与棱异面的有； 与面对角线异面有：共13条， 与面对角线异面的有； 与体对角线异面的有：共12条，所以与体对角线异面有； 即任选2条异面的共有：种，概率，故D正确， 故选：BCD. 6．（2025·安徽淮北·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗•狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“数”：，其中，.利用“数”可以进一步定义两个概念：“阶乘”：，且，“组合数” (1)计算和的值； (2)证明：对任意； (3)证明：对任意. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接利用关系式的运算求出结果； （2）利用关系式的定义和关系式的转换证明出结果； （3）直接利用“数”可定义“阶乘”及“组合数”关系式的变换求出结果. 【详解】（1）由题意知， . （2）因为 ， 所以，即. （3）由（2）知， 所以 将上述个等式左右两边分别相加得 . 二项式定理题型02 7．（2025·安徽马鞍山·二模）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（    ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中系数最大的项是第2项 【答案】BC 【分析】对于AB，令，可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得展开式通项，令指数为0，可得常数项，据此可判断选项正误；对于D，依次写出各项系数，即可判断选项正误. 【详解】由题可得展开式通项为. 对于A，令，可得展开式各项系数和，则， 则展开式共有7项，故A错误； 对于B，二项式系数和为，故B正确； 对于C，对于通项，令，则常数项为，故C正确； 对于D，由通项，可得各项系数依次为： 则系数最大项为第5项，故D错误. 故选：BC 8．（2025·安徽蚌埠·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】672 【分析】利用二项式展开式的通项公式，计算即可得结果. 【详解】由题意得， 令，解得，故常数项为. 故答案为： 统计题型03 9．（2025·安徽芜湖·二模）一组数11，13，15，26，29，30，32，33，36，若去掉11和36，则该组数以下哪个数字特征不变（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 【答案】B 【分析】对于A，计算去掉前的平均数和去掉后的平均数即可判断，对于B，根据去掉最小的数和最大的数对中位数无影响即可判断，对于C，计算去掉前的方差和去掉后的方差即可判断，对于D，计算去掉前的极差和去掉后的极差即可求解. 【详解】对于A，去掉前的平均数为， 去掉后的平均数为，故A错误； 去掉最小的数和最大的数对中位数无影响，故B正确； 对于C，去掉前的方差为， 去掉后的方差为，故C错误； 对于D，去掉前的极差为，去掉后的极差为，故D错误. 故选：B. 10．（2025·安徽黄山·二模）为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（   ）    A．3.2 B．5 C．5.04 D．15.7 【答案】A 【分析】根据题意求出用水量的15.4%分位数，即可得. 【详解】由题意及，则，可得吨. 故选：A 11．（2025·安徽池州·二模）春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的众数为5 B．这组数据的平均数为5 C．这组数据的第60百分位数为6 D．这组数据的极差为5 【答案】C 【分析】根据众数，平均数，百分位数，极差的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，这组数据的众数为，故A错误； 对于B，这组数据的平均数为，故B错误； 对于C，将这组数据按从小到大的顺序排列为， 因为， 所以这组数据的第60百分位数为6，故C正确； 对于D，这组数据的极差为，故D错误. 故选：C. 12．（2025·安徽蚌埠·二模）小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（    ） A．8 B．8.5 C．12 D．13 【答案】D 【分析】利用百分位数的定义即可得解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：， 又，所以这组数据的分位数为13. 故选：D. 13．（2025·安徽淮北·二模）某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知所有学生成绩均在区间内，则（    ） A．图中的值为0.005 B．这组数据的平均数为73 C．这组数据的众数为75 D．这组数据的中位数约为71.7 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图中各小矩形得面积之和为1，可求出的值，再结合平均数、众数、中位数的定义判断BCD. 【详解】对于A，由频率分布图可知：，解得，故A正确； 对于B，由频率分布图可知：，故B正确； 对于C，由频率分布图可知众数为65，故C错误； 对于D，设这组数据的中位数约为，因为，, 所以中位数在区间内，则，解得，故D正确； 故选：ABD. 14．（2025·安徽安庆·二模）某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（    ） A．样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B．按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C．水费支出的中位数的估计值为45 D．若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 【答案】BD 【分析】根据频率之和为1即可求解A,根据抽样比即可求解B,根据中位数的计算即可求解C,根据二项分布的期望公式即可求解D. 【详解】因，所以样本中支出在的频率为A错误； ，B正确： 因，中位数的估计值为，C错误； 记抽出的5户中一季度水费支出位于区间的用户数为，根据题意可知，D正确. 故选:BD. 15．（2025·安徽合肥·二模）从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 【答案】AB 【分析】由频率分布直方图求出对应的值，即可判断AB选项；由互斥事件的定义求来判断C选项；求出来判断D选项. 【详解】， ， ∵，∴， ∴，A选项正确；，B选项正确； ∵“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于80分”，C选项错误； 由频率估计概率得：， ，D选项错误. 故选：AB 16．（2025·安徽马鞍山·二模）马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示： 第天 最低气温（单位） 由最小二乘法得到经验回归方程，则的值为 . 【答案】 【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程后可求得的值. 【详解】由表格中的数据可得，， 所以回归直线过点，则，解得. 故答案为：. 17．（2025·安徽滁州·二模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据月用电量在内的用户数量及频率求得，再求出月用电量在区间内用户数量，进而得月用电量不低于用户数量，求出其频率即可； （2）根据分层抽样方法，求出月用电量在区间，，的居民用户数，再根据古典概率求解方法求出概率即可. 【详解】（1）， 月用电量在区间内的居民用户有户， 所以月用电量不低于的居民用户有户， 其频率为． （2）月用电量在区间，，的居民用户各有户， 按分层随机抽样从中随机抽取9户，则月用电量在区间，，的居民用户各有3，4，2户， 从这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户居民用户月用电量在区间内的概率． 18．（2025·安徽·二模）某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 (1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】(1)相关，理由见解析 (2)，身高为的某同学，体重大概为 【分析】（1）根据题意，由相关系数的公式代入计算，即可判断； （2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）. 因为（或）， 所以，即身高与体重间是高度相关的； （2）因为， 所以， 所以体重关于身高的回归方程为， 所以当时，. 即某同学身高为时，体重大概为. 随机变量和分布题型04 19．（2025·安徽淮北·二模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据从甲箱中取出球的颜色进行分类讨论，再结合条件概率公式分别计算从乙箱中取出两球颜色相同的概率，最后根据全概率公式求出最终结果. 【详解】从甲箱中随机取一个球，甲箱中有个红球和个白球， 那么从甲箱中取出红球的概率；取出白球的概率. 若从甲箱中取出一个红球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球. 从个球中取出个球的组合数为种. 从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种. 所以在从甲箱取出红球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率. 若从甲箱中取出一个白球放入乙箱，则乙箱中有个红球和个白球. 从个球中取出个球的组合数为种. 从个红球中取出个红球的组合数为种；从个白球中取出个白球的组合数为种. 所以在从甲箱取出白球的条件下，从乙箱取出两球颜色相同的概率. 由全概率公式可得，取出的两球颜色相同的概率为： . 故选：B. 20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则， 所以. 故选：A. 21．（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用条件概率公式得出，然后利用公式化简得出结论. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以，即， 即，于是. 故选：B. 22．（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（    ） A． B． C．与相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】先求出事件结合和事件的关系可得D，根据独立事件的定义即可判断C，利用条件概率公式计算即可判断A，B. 【详解】随机事件A，B满足，，， 又， 所以，故D正确； 又， 所以不相互独立，故C不正确； ，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确. 故选：ABD. 23．（2025·安徽蚌埠·二模）已知随机变量，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正态分布曲线的对称性，结合期望、方差的性质求解即可. 【详解】因为随机变量，所以，故A正确； ，故B正确； 随机变量，所以， 所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 24．（2025·安徽芜湖·二模）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 【答案】(1)， (2) (3)1000 【分析】（1）先计算出每个芯片通过测试的合格率后，可得服从二项分布，则可借助二项分布的期望与方差公式计算得解； （2）可借助正难则反的思想计算出出一枚芯片合格的概率，也可借助全概率公式计算出出一枚芯片合格的概率，再结合首次测试（测试I）通过率为与条件概率公式计算从而得解； （3）由题意可得，则，，再结合所给参考内容，可得，，利用基本不等式可得，则对，均有，取可得，计算即可得解. 【详解】（1）每个芯片通过测试的合格率为，， 则，； （2）解法一：记事件A：通过测试I，事件B：通过测试II，事件C：芯片合格， ， 则； 解法二：记事件：经过测试I，事件：经过测试II，事件B：芯片合格， ，，，， ， 则； （3）因为，所以，， 解法一：，， ，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 解法二：由已知得对，， ， 记，，， 又，当且仅当时等号成立， ，均有， 取，则， 根据题意要使得总能不超过0.1， 当，即时满足条件， 最小样本量大约为1000. 25．（2025·安徽马鞍山·二模）两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为.记一次游戏后，得分总和为分. (1)求的分布列和数学期望； (2)若有人玩该游戏各一次，求恰有人游戏得分不低于分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再利用期望公式求期望； （2）结合（1）求事件一局游戏得分不低于分的概率和事件一局游戏得分低于分的概率，再结合独立重复事件概率公式求结论. 【详解】（1）由题知，可能取的值为，，，.       ，， ， ， 的分布列为： 故. （2）由（1）知，得分不低于分和低于分的概率均为 故人玩该游戏各一次恰有人游戏得分不低于分的概率为. 26．（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【答案】(1)个学生； (2)分布列见解析，均值为. 【分析】（1）根据题设求得、，应用正态分布的三段区间概率及对称性得，即可求人数； （2）由题意平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布，应用二项分布的概率公式求分布列，进而求均值. 【详解】（1）由题设，且， 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布， 由， 所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上； （2）由（1）知， 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布， 所以，， ，， 所以分布列如下， 0 1 2 3 . 27．（2025·安徽合肥·二模）当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． (1)若的分布列为，，，求的最大值； (2)证明：； (3)若，且为定值，设，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）写出，再求导即可求出其最值； （2）转化为证明，再作差放缩即可证明； （3）根据得到，两边同时求导即可证明. 【详解】（1）由题意知，，其中． 令，则． 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以在时取得最大值，且最大值为． （2）要证，即证， 因为 （当且仅当，即时等号成立成立）， ， 所以. （3）由题意知， 则， 由，则， 所以，则，即得． 28．（2025·安徽蚌埠·二模）某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可以认为是否喜欢排球与性别有关联. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）计算卡方结合表中数据判断即可； （2）（i）由题意构造可得，进而可得数列的通项公式，从而求得； （ii）由题意可得，再根据等比数列求和即可. 【详解】（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联. 根据表中的数据，经计算得到 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联. （2）（i）由题意知， 设，所以，所以，解得， 所以， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即第次传球后球在乙手中的概率为. （ii）因为， 所以当时，的数学期望 ，即的数学期望为 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 计数原理和统计概率 题型概览 题型01 排列组合和古典概型 题型02 二项式定理 题型03 统计 题型04 随机变量和分布 排列组合和古典概型题型01 1．（2025·安徽马鞍山·二模）如图，一个圆环分成，，，四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为 .（用数字作答） 2．（2025·安徽合肥·二模）如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为 ．    3．（2025·安徽黄山·二模）某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有 种不同的安排方法． 4．（2025·安徽安庆·二模）将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的概率为 . 5．（2025·安徽芜湖·二模）如图，在正方体中，为过正方体的任意两个顶点的直线，则（   ） A．S有56个元素 B．若，则满足平面的概率为 C．S中有4个元素与正方体所有棱的夹角相等 D．若，则，为异面直线的概率为 6．（2025·安徽淮北·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗•狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“数”：，其中，.利用“数”可以进一步定义两个概念：“阶乘”：，且，“组合数” (1)计算和的值； (2)证明：对任意； (3)证明：对任意. 二项式定理题型02 7．（2025·安徽马鞍山·二模）已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（    ） A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中系数最大的项是第2项 8．（2025·安徽蚌埠·二模）在的展开式中，常数项为 . 统计题型03 9．（2025·安徽芜湖·二模）一组数11，13，15，26，29，30，32，33，36，若去掉11和36，则该组数以下哪个数字特征不变（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 10．（2025·安徽黄山·二模）为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（   ）    A．3.2 B．5 C．5.04 D．15.7 11．（2025·安徽池州·二模）春季是流感的高发季节，某医院对8名甲型流感患者展开临床观察，记录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的众数为5 B．这组数据的平均数为5 C．这组数据的第60百分位数为6 D．这组数据的极差为5 12．（2025·安徽蚌埠·二模）小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（    ） A．8 B．8.5 C．12 D．13 13．（2025·安徽淮北·二模）某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知所有学生成绩均在区间内，则（    ） A．图中的值为0.005 B．这组数据的平均数为73 C．这组数据的众数为75 D．这组数据的中位数约为71.7 14．（2025·安徽安庆·二模）某市为了了解一季度居民的用水情况，随机抽取了若干居民用户的水费支出（单位：元）进行调查，将所得样本数据分为4组：，整理得频率分布直方图如图所示，则（    ） A．样本中水费支出位于区间的频率为0.03 B．按分层抽样，从水费支出位于区间和的用户中共抽取16户，则应从水费支出在的用户中抽4户 C．水费支出的中位数的估计值为45 D．若从该市全体居民用户中随机抽取5户，以事件发生的频率作为概率，则水费支出位于区间的用户数的估计值为3 15．（2025·安徽合肥·二模）从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 16．（2025·安徽马鞍山·二模）马鞍山市某月连续四天的最低气温如下表所示： 第天 最低气温（单位） 由最小二乘法得到经验回归方程，则的值为 . 17．（2025·安徽滁州·二模）从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，适当分组后结果整理如下表： 月用电量（kW·h） 用户数量 频率 20 0.3 40 0.2 由于表格受损，只能看到部分数据． (1)求的值并计算月用电量不低于的居民用户的频率； (2)为深入研究月用电量不低于的居民用户月用电情况，按分层随机抽样从中抽取了9户进行调查，求在这9户居民用户中随机抽取3户，恰有2户月用电量在区间内的概率． 18．（2025·安徽·二模）某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从15岁人群中选取了9人，测得他们的身高（单位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 均值 身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164 体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52 (1)若两组变量间的样本相关系数满足，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否高度相关，说明理由（精确到0.01）； (2)建立关于的经验回归方程，并预测某同学身高为时，体重的估计值（保留整数）. 参考数据：，，，，. 参考公式：样本相关系数，经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，. 随机变量和分布题型04 19．（2025·安徽淮北·二模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·安徽安庆·二模）设事件为两个随机事件，，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（2025·安徽滁州·二模）某同学春节期间计划观看《蛟龙行动》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》三部电影，观看顺序随机．记“最先观看《哪吒之魔童闹海》”为事件，“最后观看《蛟龙行动》”为事件，则（    ） A． B． C．与相互独立 D． 23．（2025·安徽蚌埠·二模）已知随机变量，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·安徽芜湖·二模）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，末通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废. (1)若某批次生产了n枚芯片，合格数为随机变量X.当，时，求X的期望与方差； (2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率； (3)为估计（2）中的，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过0.1，试根据参考内容估计最小样本量. 参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有. 25．（2025·安徽马鞍山·二模）两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为；再从第二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得分，抽中白球得分，且抽中黑球的概率为.记一次游戏后，得分总和为分. (1)求的分布列和数学期望； (2)若有人玩该游戏各一次，求恰有人游戏得分不低于分的概率. 26．（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 27．（2025·安徽合肥·二模）当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． (1)若的分布列为，，，求的最大值； (2)证明：； (3)若，且为定值，设，证明：． 28．（2025·安徽蚌埠·二模）某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$