专题02 三角函数和解三角形-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（安徽专用）

专题02 三角函数和解三角形 题型概览 题型01 三角函数的性质 题型02 三角恒等变换 题型03 解三角形 三角函数的性质题型01 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由对称性可得，再利用诱导公式计算即可得解. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 2．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的对称轴与单调区间求出函数的周期，进而得到的值，再结合对称轴求出的值，最后代入求出的值. 【详解】因为函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴， 所以，所以，即，所以或. 又，所以或， 所以或，解得或， 所以或， 所以或. 故选：C. 3．（2025·安徽安庆·二模）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得图象变换后的函数解析式，根据对称性求得正确答案. 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位得 ， 由该函数为奇函数可知， 即，所以的最小正值为. 故选：A 4．（2025·安徽·二模）已知函数和，则（    ） A．和的最小正周期相同 B．和在区间上的单调性相同 C．的图象向右平移个单位长度得到的图象 D．和的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】根据函数的单调性，对称性，周期性及函数的平移变换分别判断个选项. 【详解】对于A：和的最小正周期均为，选项A正确； 对于B：当时，，所以单调递增， 当时，，所以单调递增，选项B正确； 对于C：的图象向右平移个单位长度所得函数为，选项C错误； 对于D：，选项D正确. 故选：ABD. 5．（2025·安徽池州·二模）某弹簧振子（简称振子）在完成一次简谐运动的过程中，时间（单位：秒）与位移（单位：毫米）之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是（    ） A．当时间时，该简谐运动的位移 B．该简谐运动的初相为 C．该函数的一个极值点为 D．该函数在上单调递增 【答案】ABD 【分析】本题可根据三角函数初相的概念、极值点的判断以及单调性的相关性质，分别对选项中的内容进行分析判断. 【详解】当时，将其代入函数中，可得： 则.所以选项A正确. 在函数中，，所以该简谐运动的初相为，选项B正确. 对函数求导，可得. 当时，. 因为极值点处导数为，所以不是该函数的极值点，选项C错误. 令，，解这个不等式求函数的单调递增区间. 得到，. 当时，单调递增区间为，而，所以该函数在上单调递增，选项D正确. 故选：ABD. 6．（2025·安徽合肥·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．与的图象关于直线对称 B．与的图象关于点对称 C．当时， D．当时，与的图象恰有4个交点 【答案】ACD 【分析】根据三角函数图象的平移变换得到，利用正弦函数图象的对称性判断AB；验证即可判断C；求出方程的解的个数即可判断D. 【详解】由题得，， A：与的图象关于直线对称的函数为 ，故A正确； B：当时，， ，所以与的图象不关于点对称，故B错误； C：， 当时，， 令，则，在上恒小于0， 所以在上恒大于0，即，即，故C正确； D：令，即， 得（无解）或， 解得， 又，所以， 解得（），所以， 即函数图象共有4个交点，故D正确. 故选：ACD 7．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则 . 【答案】 【分析】由题意可表示出，，，四点坐标，再结合圆的定义计算即可得. 【详解】由题意可设，，则， ，，， 则、中点与、中点均为，， 由，，，四点在同一个圆上，故为圆心，， 则，， 即有，则，又，则. 故答案为：. 三角恒等变换题型02 8．（2025·安徽淮北·二模）在中，记，则（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】利用两角和差公式以及、化简AB选项；令化简，使其为关于的函数，求函数值域即可判断C选项；利用一元二次方程有根，则可根据求解判断D选项. 【详解】由题意可得， ， ， 则，故AB错误； 若，则 因，则，则，得， 则，故C错误； ，即， 则方程在上存在根， 则，即， 等号成立时， 因，则，则， 此时变为， 得，则， 故当时，取最大值，故D正确. 故选：D 9．（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质结合诱导公式得，然后根据诱导公式得，最后逐项验证求解即可判断. 【详解】当时，，则， 所以，即， 又，所以， 所以，或（不恒成立，舍去）， 所以， 当时，，则， 所以，即， 又，所以， 所以，或（不恒成立，舍去）， 所以， 综上，， 对于A，，，此时，则，解得，不合题意； 对于B，，，此时，则，解得，不合题意； 对于C，，，此时，则，解得，不合题意； 对于D，，，此时，则，解得，符合题意. 故选：D 10．（2025·安徽·二模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 11．（2025·安徽池州·二模）已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由题，可得，利用二倍角余弦公式化简运算得解. 【详解】由，得， . 故选：A. 12．（2025·安徽合肥·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角关系，两角差正弦公式化简可得，由此可求，由配方，结合平方关系可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 13．（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，利用和条件求出，将看成方程的两根，分解因式求得，根据角的范围确定的值，进而求出角. 【详解】由，可得，故， 因，代入解得， 可将看成方程的两根，解得 或， 因，都是锐角，且，由，解得， 而，故，则. 故答案为：. 解三角形题型03 14．（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数关系可得，再根据双曲线的定义，设，则，结合余弦定理计算可得与，进而可得，从而得到. 【详解】如图，因为直线的斜率为，所以， 所以，. 设，则，又， 所以，在中， 由余弦定理得， 即 ，整理得. 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以，即，所以，所以.    故选：B. 15．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离. 【详解】由题设，，则，而， 所以，则， 由，，则，而， 又， 所以，则， 由 . 故选：C 16．（2025·安徽芜湖·二模）在中，已知，，则此三角形的面积可能为（   ） A． B． C．12 D．15 【答案】AC 【分析】由题意利用余弦定理，三角形面积公式，结合基本不等式求出三角形面积的范围即可判断. 【详解】因为，，则，， 所以， 因为，所以 故三角形的面积， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，则此三角形面积的最大值为12. 因为，所以A，C正确, 故选：AC. 17．（2025·安徽池州·二模）在三棱锥中，给定下列四个条件：①；②；③；④.下列组合条件中，一定能断定三棱锥是正三棱锥的有（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】ACD 【分析】正三棱锥是指底面是等边三角形，侧面是三个全等的等腰三角形，利用向量数量积的运算律逐个判断各个选项即可. 【详解】对于A，由①-②得， 即，即，再代回①由数量积的定义可得 ，在侧面三个三角形中由余弦定理可得， 所以由①②一定能断定三棱锥是正三棱锥，选项A正确； 对于B，由①得， 化简即为③，而由①得，即， 同理可得， 即在底面的投影为的垂心，但无法保证为等边三角形， 所以由①③不一定能断定三棱锥是正三棱锥，选项B不正确； 对于C，由④-②得，即， 代入④可得， 在侧面三个三角形中由余弦定理可得， ，， 三式两两相减得， 化简可得，所以由②④一定能断定三棱锥是正三棱锥，选项C正确； 对于D，由③+④得，由选项C可知，选项D正确. 故选：ACD. 18．（2025·安徽滁州·二模）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意设，结合椭圆的性质和余弦定理以及二倍角的余弦公式计算出，再由离心率的公式计算可得. 【详解】由题意设， 由椭圆定义， 所以， 设， 对应用余弦定理可得，可得， 对应用余弦定理可得，可得， 又，代入并化简可得， 所以，， 所以离心率. 故答案为：. 19．（2025·安徽淮北·二模）四棱锥中，平面， (1)求； (2)求证：； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）分别在和中使用余弦定理，解方程即可得出答案； （2）先证得，，由线面垂直的判定定理证得平面，由线面垂直的性质定理即可证得； （3）法一：先求出和的面积，再由等体积法求出点到平面的距离，即可求出与平面所成角的正弦值；法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式即可得出答案. 【详解】（1）分别在和中使用余弦定理得： 即， 得，所以； （2）因为， 由余弦定理可得：， 所以，从而，所以. 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. （3）方法一：设三棱锥的体积为和的面积分列为， 点到平面的距离为，因为，所以 因为平面，平面， 所以，，所以， 所以， 且，由得 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：因为平面，以为坐标原点， 分別以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以可取， 设与平面所成角为的， 所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 20．（2025·安徽淮北·二模）的内角的对边分别为 (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式求得，结合余弦定理计算求得，进而得出结果. 【详解】（1）由得， 因为 , 所以， 即， 所以， 所以. （2）因为三角形的面积为， 所以，所以， 由余弦定理知，即， 所以， 故， 所以三角形的周长为. 21．（2025·安徽池州·二模）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长. ①；②；③的周长为. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由两角差的正弦公式化简得，利用平方关系求得答案； （2）若选①，由正弦定理可知存在且唯一确定，由求得答案；若选②，由，由正弦定理知，所以不存在；若选③，由正弦定理可得，结合求得答案. 【详解】（1）由题意知.又， 所以，即， 化简得， 又，，则， 又， 解得，. （2）由（1）知为定值. 若选①，由正弦定理可知存在且唯一确定，记边上高为， 则，所以边上高线的长为9； 若选②，由（1）知，， 由正弦定理知，所以不存在； 若选③的周长为，即 由，由正弦定理， 设，则， 解得，所以，故存在且唯一确定， 记边上高为，则，即边上高线的长为9. 22．（2025·安徽蚌埠·二模）记的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用三角形内角和代换，再利用诱导公式和正弦定理边化角，即可得； （2）利用等面积公式求出，再结合余弦定理可解得，即可求解周长. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 所以， 又，所以，又，所以. （2） 因为边上的高为，所以的面积, 又由的面积，解得， 由余弦定理得， 即，解得. 所以的周长. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角函数和解三角形 题型概览 题型01 三角函数的性质 题型02 三角恒等变换 题型03 解三角形 三角函数的性质题型01 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知角和角的顶点在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，终边关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．（2025·安徽蚌埠·二模）已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2025·安徽安庆·二模）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点成中心对称，则的最小正值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽·二模）已知函数和，则（    ） A．和的最小正周期相同 B．和在区间上的单调性相同 C．的图象向右平移个单位长度得到的图象 D．和的图象关于直线对称 5．（2025·安徽池州·二模）某弹簧振子（简称振子）在完成一次简谐运动的过程中，时间（单位：秒）与位移（单位：毫米）之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是（    ） A．当时间时，该简谐运动的位移 B．该简谐运动的初相为 C．该函数的一个极值点为 D．该函数在上单调递增 6．（2025·安徽合肥·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．与的图象关于直线对称 B．与的图象关于点对称 C．当时， D．当时，与的图象恰有4个交点 7．（2025·安徽芜湖·二模）已知函数的部分图象如图所示，若A，B，C，D四点在同一个圆上，则 . 三角恒等变换题型02 8．（2025·安徽淮北·二模）在中，记，则（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．的最小值为 D．的最大值为 9．（2025·安徽马鞍山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2025·安徽·二模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽池州·二模）已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 12．（2025·安徽合肥·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 解三角形题型03 14．（2025·安徽蚌埠·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（   ） A． B． C． D．10 16．（2025·安徽芜湖·二模）在中，已知，，则此三角形的面积可能为（   ） A． B． C．12 D．15 17．（2025·安徽池州·二模）在三棱锥中，给定下列四个条件：①；②；③；④.下列组合条件中，一定能断定三棱锥是正三棱锥的有（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 18．（2025·安徽滁州·二模）已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 19．（2025·安徽淮北·二模）四棱锥中，平面， (1)求； (2)求证：； (3)求与平面所成角的正弦值. 20．（2025·安徽淮北·二模）的内角的对边分别为 (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 21．（2025·安徽池州·二模）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长. ①；②；③的周长为. 22．（2025·安徽蚌埠·二模）记的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的高为，求的周长. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$