专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、向量、复数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（安徽专用）

专题01 集合与常用逻辑用语、复数、平面向量 题型概览 题型01 集合的计算 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 集合和常用逻辑用语题型01 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽淮北·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽滁州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽黄山·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽合肥·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽池州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽蚌埠·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽安庆·二模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是 . 常用逻辑用语题型02 12．（2025·安徽合肥·二模）若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．（2025·安徽安庆·二模）已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 复数题型03 15．（2025·安徽芜湖·二模）若，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D．1 16．（2025·安徽·二模）若，则（    ） A． B． C． D．2 17．（2025·安徽淮北·二模）若，则（    ） A． B． C．2 D． 18．（2025·安徽黄山·二模）设复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 19．（2025·安徽滁州·二模）已知复数满足，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽马鞍山·二模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·安徽蚌埠·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 22．（2025·安徽池州·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·安徽合肥·二模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D．2 24．（2025·安徽安庆·二模）已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 平面向量题型04 25．（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，若 ，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．（2025·安徽滁州·二模）已知为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 28．（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量，满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 29．（2025·安徽·二模）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·安徽池州·二模）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025·安徽合肥·二模）已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·安徽马鞍山·二模）点是半径为2的圆内一定点，且，过点作圆的两条互相垂直的弦，，则（    ） A．为定值 B．的取值范围是 C．为定值 D．四边形面积的最大值为 33．（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 34．（2025·安徽池州·二模）在三棱锥中，给定下列四个条件：①；②；③；④.下列组合条件中，一定能断定三棱锥是正三棱锥的有（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 35．（2025·安徽芜湖·二模）已知向量，满足，且，，则与所成角的大小为 . 36．（2025·安徽蚌埠·二模）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是 .    2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、复数、平面向量 题型概览 题型01 集合的计算 题型02 常用逻辑用语 题型03 复数 题型04 平面向量 集合和常用逻辑用语题型01 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义求解即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：A. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，即，解得， 所以，则， 故选：C. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解集合，再求出集合在中的补集，最后求出集合与的交集. 【详解】对于不等式，解得，即集合. 所以或. 集合，可得. 故选：C. 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得集合，进而可得进行集合间的运算. 【详解】解不等式的解集为， 所以， 又，则， 则. 故选：B. 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解绝对值不等式求解集合A，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以，又，则 . 故选：A. 6．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由，或， 所以 . 故选：D 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别化简集合，结合交集的运算规律即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， ， 故选：. 8．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ，故. 故选：C. 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解集合和集合，再根据并集的定义求出与的并集. 【详解】因为，所以. 故选：D. 10．已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案. 【详解】， 又，所以，得. 故选：C. 11．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是 . 【答案】2025 【分析】先求出集合A，再根据题干中的定义即可求出结果. 【详解】若集合，则集合， 故，解得. 故答案为： 常用逻辑用语题型02 12．若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内的直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果. 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 13．“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义列式求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若函数为奇函数，则，即， 整理得，即，解得， 当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，都符合题意， 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 14．已知平面向量，则“”是“在方向上的投影向量为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先根据投影向量的定义，写出在方向上的投影向量为，然后结合条件即可判定. 【详解】由于在方向上的投影向量， 若，则，故， 若，则， 故选：C. 复数题型03 15．若，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：D. 16．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可. 【详解】因，，则， 则，. 故选：D. 17．若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，代入化简，由复数相等即可得出答案. 【详解】设 ，则， 所以， 由，所以，故， 所以， 故选：A. 18．设复数满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】应用复数除法的几何意义及模长的定义求复数的模长. 【详解】由题设，则. 故选：A 19．已知复数满足，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算进行化简，即可得解. 【详解】由， 则， 其实部为，虚部为， 故实部与虚部之积为， 故选：A. 20．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的模的公式求，再结合复数除法法则求结论. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 21．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算求得，根据共轭复数概念得到对应点坐标，即可判定象限. 【详解】因为复数满足，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选A. 22．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案. 【详解】， 则. 故选：B 23．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到复数的代数式，再利用复数的除法运算即可. 【详解】由题意，，则. 所以复数的虚部是 故选：A. 24．已知复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模的定义即可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 平面向量题型04 25．已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以.    故选：A 26．已知向量，若 ，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由向量共线以及垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得，则， 由可得，解得. 故选：D 27．已知为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】由题意得. 故选：B. 28．已知平面向量，满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因，，，则. 故答案为：B 29．若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，再由投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即， 且在上的投影向量为 故选：C. 30．已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律求解即可. 【详解】由， 所以. 故选：A. 31．已知向量，，设，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合向量坐标运算公式求，，再求，，，再结合向量夹角公式求结论. 【详解】因为，， 所以， ， 所以，， ， 设与的夹角为， 则，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C. 32．点是半径为2的圆内一定点，且，过点作圆的两条互相垂直的弦，，则（    ） A．为定值 B．的取值范围是 C．为定值 D．四边形面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，由相交弦定理可判断选项正误；对于B，由题可得， 然后由题可得范围，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由题及选项A分析可判断选项正误；对于D，由题可得，然后由结合基本不等式可判断选项正误. 【详解】对于A，如图，作过P，O两点的直线，与圆O交于E，F两点.    则由题知，又A，P，B三点共线，则由相交弦定理可得：，故A正确； 对于B，，当A，O，B三点共线， 即时，取最小值.如图，过O做AB垂线，垂足为Q， 由垂径定理，可得， 则， 注意到，当且仅当AB与以O为圆心，为半径的圆 相切时取等号，则. 综上，的取值范围是，故B正确； 对于C，. 注意到，则， 又由A分析可得：，则，故C正确； 对于D，四边形面积为，如图过O作CD垂线，垂足为M， 由垂径定理可得， 则， 则， 注意到四边形PQOM为矩形，则， 则， 当且仅当时取等号.故D错误. 故选：ABC 33．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 34．在三棱锥中，给定下列四个条件：①；②；③；④.下列组合条件中，一定能断定三棱锥是正三棱锥的有（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】ACD 【分析】正三棱锥是指底面是等边三角形，侧面是三个全等的等腰三角形，利用向量数量积的运算律逐个判断各个选项即可. 【详解】对于A，由①-②得， 即，即，再代回①由数量积的定义可得 ，在侧面三个三角形中由余弦定理可得， 所以由①②一定能断定三棱锥是正三棱锥，选项A正确； 对于B，由①得， 化简即为③，而由①得，即， 同理可得， 即在底面的投影为的垂心，但无法保证为等边三角形， 所以由①③不一定能断定三棱锥是正三棱锥，选项B不正确； 对于C，由④-②得，即， 代入④可得， 在侧面三个三角形中由余弦定理可得， ，， 三式两两相减得， 化简可得，所以由②④一定能断定三棱锥是正三棱锥，选项C正确； 对于D，由③+④得，由选项C可知，选项D正确. 故选：ACD. 35．已知向量，满足，且，，则与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】直接代向量的夹角公式即得两向量夹角的大小. 【详解】由题得， 则与的夹角的余弦为， 而与的夹角的范围为，故夹角为. 故答案为：. 36．键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是 .    【答案】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为，则,当点与点重合时，取最小值，当点与点重合时，取最大值. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为，则,, 所以， 当点与点重合时，取最小值， 当点与点重合时，取最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：.    2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$