专题1.4（3） 特殊平行四边形的性质与判定（专项练习）（拓展培优）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.4（3） 特殊平行四边形的性质与判定（专项练习） （拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）判定矩形为正方形，可添加的条件是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形加判定菱形的条件可判定正方形，菱形加判定矩形的条件可判定正方形，据此即可求解；掌握正方形的判定方法是解题的关键． 解：对角线互相垂直的矩形是正方形； 故选：B． 2．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，的角平分线交于点P，连接，刚好，则矩形的面积是（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由角平分线的性质和直角三角形的性质可求，，即可求解． 解：∵四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积， 故答案为：C． 3．（2025·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 解：连接，设与交于点，如图，   平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，点E、G分别在边、上，现将菱形沿折叠，使得点A恰好落在的四等分点F处，且，则的长为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等；过作交的延长线于，过作交的延长线于，连接，结合由菱形的性质，由矩形的判定方法和直角三角形的特征得四边形是矩形，，由勾股定理得，设，由勾股定理得，即可求解；掌握菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定及性质，能构建直角三角形并熟练利用直角三角形的特征，勾股定理进行求解是解题的关键． 解：过作交的延长线于，过作交的延长线于，连接， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点A恰好落在的四等分点F处， ， ， ， 设， 由折叠得：， ， ， ， 解得：， ； 故选：B． 5．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用矩形的性质进一步得出，再根据三角形中位线的判定和性质得出四边形是菱形，再证明为等腰直角三角形，进而可得出，即可证明四边形是正方形． 解：添加的条件可以是，理由如下∶ ∵点E是的中点， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、F、H分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，点E是的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识，掌握正方形的判定是解题的关键． 6．（2025·浙江温州·三模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，使点落在正方形内部，延长交的平分线于点，连接交于点，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，设，由正方形的性质可得，则，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，，，则可证明，则是等腰直角三角形，进而得到，据此可得答案． 解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵交的平分线于点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 8．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰平分交DC于点，交的延长线于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，交于点，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，再求出，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质求出的长，最后在和中，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，过点作于点，连接，交于点， ∵正方形的面积为50， ∴，， ∵，， ∴，平分，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在和中，， 即， 解得， 即， 则， 故选：B． 【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 9．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，对角线，交于点，点在边上，若沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，连结，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；过点C作于M，设菱形的边长为，则；由折叠及等腰三角形的性质、勾股定理求得，由面积关系求得，在中由勾股定理求得，从而求得，即可求解． 解：如图，过点C作于M， 设菱形的边长为， ∵四边形是菱形， ∴，； ∵， ∴； 由折叠知， ∴； ∵， ∴； 由勾股定理得； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 故选：D． 10．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且．已知正方形边长，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，等面积法,等腰三角形的判定和性质等知识，运用等面积法求是解题的关键．连接，勾股定理求出，利用和得出，从而求出，利用等面积求出，从而得解． 解：连接， 在正方形中，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·上海·中考真题）在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得，设，则，由菱形的性质得到，证明，利用勾股定理可得，据此可得答案． 解：∵关于直线的对称点为， ∴， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则与的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键在于利用正方形的性质和全等三角形的知识，找到各个角之间的关系，然后进行等量代换，最终求出结果． 由正方形的性质可得，，是对角线，所以．根据（边角边）可以证明，所以，．因为，所以，因此．设，所以．，所以，通过以上关系式，我们可以得到 ，即．又因为，，所以． 解：在正方形中，，是对角线， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ，， 即． 故答案为：． 13．（2025·海南·模拟预测）如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为 ；若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作的平行线分别交，于点，，则四边形是矩形，证明得出为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，进而求得，即可求解． 解：如图，过点作的平行线分别交，于点，， 则四边形是矩形， ，． 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ． 四边形是正方形， ， ． 四边形是正方形， ，，， ， ， ． ， ，， ， ， 在中，． ， 故答案为：， 14．（2025·天津·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于 ． 【答案】 8 【分析】（Ⅰ）先利用正方形的性质得出，从而可利用证明，再根据全等三角形的性质求出，，然后利用三角形面积求解即可； （Ⅱ）先借助中位线定理与线段的差求得，再利用勾股定理求得，然后利用中位线定理求得． 解：（Ⅰ）解：过点作，交延长线于点， 则． 四边形和四边形为正方形， ． ． ， ． ． ． 故答案为：8； （Ⅱ）延长到使，连接，   ， 是的中位线． ． ， ． 在中， ． ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出相关线段． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，菱形，点为上一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交于点，若4，，则 ． 【答案】 【分析】证明在上取点，使，连接，过作于点．则为等边三角形．证明，得到．，勾股定理求出则，再用勾股定理即可求出答案． 解：四边形为菱形， ． ． ． 在上取点，使，连接，过作于点． 则为等边三角形． ． ． 由旋转，得． ， ． ． ． ． ． ． 故答案为：． 【点拨】此题考查了菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识， 熟练掌握菱形的性质、旋转的性质是关键． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．则的长为 ． （2）如图2，连接，若，则的长为 ． 【答案】 / 4 【分析】（1）过点D作，交的延长线于点H，利用轴对称的性质得到，利用平行四边形的性质，平行线的性质和等腰三角形的判定定理求出，利用平行四边形的性质和含角的直角三角形的性质求得线段，利用勾股定理求得，进而求得，则； （2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，利用平行四边形的判定与性质得到，设，利用矩形的判定与性质得到，再利用勾股定理和（1）的结论解答即可得出结论． 解：（1）过点D作，交的延长线于点H，如图1， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，如图2， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴设，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，． 由（1）知：， ∴， 在中，， 由折叠得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质和恰当的添加辅助线是解题的关键． 17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为菱形的对角线的中点，点为的中点，点F为内一点，连接交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接和， 根据菱形的性质可得和，即可得到，则为等腰直角三角形，有，结合已知得，即，，进一步证明为等边三角形，则有，可求得，那么． 解：连接和， 如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵点为菱形的对角线的中点，点为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查菱形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线的性质和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉菱形的性质和特殊三角形的性质． 18．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到 解：过E作于M， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·湖北随州·一模）如图，在平行四边形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，分别与，，相交于点，，． （1）根据作图过程，可以判断与的位置关系________． （2）在图中连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）垂直；（2）见分析 【分析】（1）根据作图即可解答； （2）连接，．由（1）知，是的垂直平分线，得出，，证明，得出，结合，得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形． 解：（1）解：根据作图可得垂直平分， 故与的位置关系是：垂直； （2）证明：连接，． 由（1）知，是的垂直平分线， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点拨】本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，将沿对角线折叠，使得点C落在点E处，与交于点F，过点D作交于点G，连接交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了菱形的判定以矩形的折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． （1）根据矩形的性质求出，结合，即可判定四边形是平行四边形，根据平行线的性质及折叠特性、等腰三角形的判定得到，即可得出结论； （2）设，则．在中，运用勾股定理列方程求解，即可得出的长，再根据菱形的面积即可得到的长． 解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴5， 设，则． 在中，， 即， 解得， ∴， 又∵， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解答过程；（2）补全图形见解答过程；，理由见解答过程 【分析】（1）先证明和都是等边三角形得，则，再根据及三角形外角性质得，由此即可得出结论； （2）依题意补全图形即可；延长到，使，连接，并在延长线上取一点，使，连接，则，证明和全等得，进而得，再证明和全等得，进而可证明是等边三角形，则，进而得，由此可证明和全等，则，据此即可得出线段之间的数量关系． 解：（1）证明：如图1所示： ∵四边形是菱形，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且是的外角， ∴， ∴； （2）解：依题意补全图形，如图2所示： 线段之间的数量关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，并在的延长线上取一点，使，连接，如图3所示： ∴， ∵点是线段中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又 ∵， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【点拨】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，理解菱形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在正方形中，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），连接，作的垂直平分线，分别交、于点E、F． （1）如图1，若，当点P是中点时，求的长； （2）试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】此题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）连接，过点D作交于点H，设，根据线段垂直平分线的性质得，则，根据点P是中点得，在中，由勾股定理可求出，则，证明四边形是平行四边形得，再证明和全等得，进而得，由此可得的长； （2）过点D作交于点M，证明四边形是平行四边形得，再证明和全等得，由此可得出线段、、之间的数量关系． 解：（1）解：连接EP，过点D作交于点H，如图1所示： 四边形是正方形，且， ，，， 设， 是AP的垂直平分线， ， ， 点P是中点， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 是的垂直平分线， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）线段、、之间的数量关系是：，理由如下： 过点D作交于点M，如图2所示： 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， 是的垂直平分线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，正方形的边长为9，菱形的三个顶点，，分别在正方形的边，，上，． （1）如图1，当时，求菱形的周长； （2）在（1）的条件下，求证：菱形是正方形； （3）如图2，连接，当的面积等于3时，求线段的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）7 【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理求出，进而可以解决问题； （2）根据正方形和菱形的性质证明，得，然后证明，可以解决问题； （3）过作，交的延长线于点，连接，根据正方形和菱形的性质证明，得，设，得，然后利用三角形的面积公式即可解决问题． 解：（1）解：正方形的边长为9， ，， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， 四边形是菱形， 当时，菱形的周长； （2）证明：四边形是正方形， ， 四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 菱形为正方形； （3）解：如图2，过作，交的延长线于点，连接， ， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 设， ， ， ， ， ， 当的面积等于3时，线段的长为7． 【点拨】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正方形的性质，菱形的判定与性质． 24．（本小题满分12分）（2025·北京海淀·三模）已知在中，，点D，E分别在上，点F在射线上，． （1）如图1，点F与点C重合，若．求证：E是的中点； （2）如图2，点F在的延长线上，过点E作交于点P． ①补全图形； ②写出当与的数量关系满足什么条件时，，并证明． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；②当时，，理由见分析 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质即可证明； （2）①根据题意补全图形即可； ②在上取点，使，连接，，取的中点，连接，设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，得到，再证明，推出，，再证明，利用直角三角形斜边中线的性质即可证明；再证明证明这是唯一充分条件即可． 解：（1）证明：∵点F与点C重合，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （2）解：①补全图形如图所示； ②当时，， 证明：在上取点，使，连接，，取的中点，连接，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴． 再证明当时，，即证明这是唯一充分条件： 过点作，过点作，两线相交于点，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ，即． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4（3） 特殊平行四边形的性质与判定（专项练习） （拓展培优） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级下·贵州黔南·期中）判定矩形为正方形，可添加的条件是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角相等 D．对角线相等 2．（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，的角平分线交于点P，连接，刚好，则矩形的面积是（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 3．（2025·山东德州·二模）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，点E、G分别在边、上，现将菱形沿折叠，使得点A恰好落在的四等分点F处，且，则的长为（   ） A． B． C．7 D． 5．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江温州·三模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，使点落在正方形内部，延长交的平分线于点，连接交于点，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰平分交DC于点，交的延长线于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 9．（2025·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，对角线，交于点，点在边上，若沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，连结，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级下·重庆江津·期中）如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且．已知正方形边长，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·上海·中考真题）在矩形中，在边上，关于直线的对称点为，联结，，如果四边形是菱形，那么的值为 ． 12．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，点是正方形对角线上一点，点在上且，连接，，若，，则与的关系式为 ． 13．（2025·海南·模拟预测）如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为 ；若，则的长为 ． 14．（2025·天津·模拟预测）如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形．    （Ⅰ）的面积为 ； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于 ． 15．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，菱形，点为上一点，连接，将射线绕着点顺时针旋转交于点，若4，，则 ． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F． （1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．则的长为 ． （2）如图2，连接，若，则的长为 ． 17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为菱形的对角线的中点，点为的中点，点F为内一点，连接交于点，，则的长为 ． 18．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交，于点，．已知，，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·湖北随州·一模）如图，在平行四边形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，分别与，，相交于点，，． （1）根据作图过程，可以判断与的位置关系________． （2）在图中连接，，求证：四边形是菱形． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，将沿对角线折叠，使得点C落在点E处，与交于点F，过点D作交于点G，连接交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，菱形中，，点E为边上一点（不与点A、B重合），连接，点F在线段上满足，连接． （1）求证：； （2）连接，点N是线段中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·江苏常州·期中）如图，在正方形中，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），连接，作的垂直平分线，分别交、于点E、F． （1）如图1，若，当点P是中点时，求的长； （2）试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由． 23．（本小题满分10分）（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，正方形的边长为9，菱形的三个顶点，，分别在正方形的边，，上，． （1）如图1，当时，求菱形的周长； （2）在（1）的条件下，求证：菱形是正方形； （3）如图2，连接，当的面积等于3时，求线段的长． 24．（本小题满分12分）（2025·北京海淀·三模）已知在中，，点D，E分别在上，点F在射线上，． （1）如图1，点F与点C重合，若．求证：E是的中点； （2）如图2，点F在的延长线上，过点E作交于点P． ①补全图形； ②写出当与的数量关系满足什么条件时，，并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$