假期作业(二十七) 空间直线、平面平行-【成功方案】2025年大暑假小一轮高一全一册数学暑假作业

高一数学 三、解答题 11.如图所示的几何体中, AB∥A1B1,AC∥A1C1, BC∥B1C1,且 AB< A1B1,AC<A1C1,BC<B1C1.求证:直 线A1A,B1B,C1C相交于同一点. 12.如图所示,已知平面 α∩β=l,点A∈α,点 B∈α,点 C∈β,且 A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行, 那么平面ABC与平面β的交线与l有 什么关系? 证明你的结论. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(二十七) 空间直线、平面平行 1.(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相 . (2)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . 2.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与 的一条直线 平行,则该直线与此平面平行(线线平行 ⇒线面平行) 因为l∥a,a⊂α,l⊄α,所以 l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行,则过这条直 线的任一平面与此平面的 与该直 线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α,l⊂β,α∩β=b, 所以l∥b 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条 与另一个平 面平行,则这两个平面平行(简记为 “线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β,b∥β,a∩b=P, a⊂α,b⊂α,所以α∥β 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面 ,那么它们的 平行 因为α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b, 所以a∥b ·35· 假期作业 一、选择题 1.平面α内有不共线的三点到平面β的距 离相等且不为零,则α与β的位置关系为 ( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.可能重合 2.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两 线段相等,那么这两条线段所在直线的 位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面 3.两个平行平面与另两个平行平面相交所 得四条直线的位置关系是 ( ) A.两两相互平行 B.两两相交于一点 C.两两相交但不一定交于同一点 D.两两相互平行或交于同一点 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M 是棱 A1D1 上的动点,则直线 MD 与平面 AA1C1C的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.直线在平面内 D.相交或平行 5.下列说法正确的是 ( ) A.若两条直线与同一条直线所成的角相 等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面 的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线分别平行于两个相交平 面,则一定平行它们的交线 D.若两个平面都平行于同一条直线,则 这两个平面平行 6.(多选题)如图所 示,P 为 矩 形 ABCD 所在平面 外一点,矩形对 角线的交点为O,M 为PB 的中点,给出 以下结论,其中正确的是 ( ) A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA 二、填空题 7.如图是长方体被一平面 截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边 形 EFGH 的 形 状 为 . 8.三棱锥S-ABC 中,G为△ABC的重心,E 在棱SA 上,且AE=2ES,则EG与平面 SBC 的位置关系为 . 9.如 图 所 示,ABCD- A1B1C1D1 是棱长为a 的正方体,M,N 分别是 下底面的棱A1B1,B1C1 的中点,P是上底面的棱AD 上的一点, AP=a3 ,过P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q在CD 上,则PQ= . 10.(双空题)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是A1D1的中点,则直线 MD 与平面A1ACC1 的 位置关系是 ;直线MD 与平面 BCC1B1的位置关系是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·45· 高一数学 三、解答题 11.已知M,N 分别是底面为平行四边形的 四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,平面 CMN与平面PAD交于PE,求证: (1)MN∥平面PAD; (2)MN∥PE. 12.如图,在正方体ABCD- A1B1C1D1 中,S是B1D1 的中点,E,F,G 分别是 BC,DC,SC 的 中 点. 求证: (1)直线EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 假期作业(二十八) 空间直线、平面垂直 1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的 都垂直,则该直线与此平面垂直 a,b⊂α a∩b=O l⊥a l⊥b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线 a⊥α b⊥α ⇒a∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的 ,则这 两个平面互相垂直 l⊂β l⊥α ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面互相垂直,则一个平面内垂直 于 的直线垂直于另一个平面 α⊥β l⊂β α∩β=a l⊥a 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ⇒l⊥α ·55· 高一数学 假期作业(二十六) 空间点、 直线、平面之间的位置关系 基础再现 1.两点 不在一条直线上 有且只有一条 2.平行 相交 任何 3.1 0 无数 0 无数 学以致用 1.D 根据空间图形的画法,可知A、B、C错,D正确. 2.B 直线上有无数个点,直线可看成点的集合, 点A在直线a上,可记作A∈a,直线a在平面α 内,可记作a⊂α,故选B. 3.BC 由公理2易知选项AD正确;对于选项B: 如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一 平面内,故选项B错误;对于选项C:三个不同 的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误. 4.D 因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所 以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过 点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面 γ内,所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的 直线. 5.C 当直线l与平面α平行时,在平面α内至少 有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时, 在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直 线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直 线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有 怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线 与直线l垂直.故选C. 6.ABD 对于选项A:由公理1知,l⊂α,故选项 A正确;对于选项B:因为α,β表示不同的平面, 由公理3知,平面α,β相交,且α∩β=AB,故选 项B正确;对于选项C:l⊄α分两种情况:l与α 相交或l∥a.当l与α 相交时,若交点为A,则 A∈α,故选项C错误;对于选项D:由公理1逆 推可得结论成立,故选项D成立. 7.解析 如图,由图可知,既与AB 共面又与CC1 共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1 共5条. 答案 5 8.解析 ①中HG∥MN;③中GM∥HN 且GM ≠HN,所以直线HG与MN 必相交. 答案 ②④ 9.解析 六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面 与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平 行的面.六棱柱共由8个面围成,在其余的7个 面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面 与该侧面均为相交的关系. 答案 4 6 10.解析 ①错.a与b也可能异面.②错.a与b也 可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共 点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点. ④对.由③知a与b 无公共点,那么a∥b或 a与b异面.⑤错.a与β也可能平行. 答案 ③④ 11.证明 ∵AB∥A1B1,AB<A1B1, ∴直线A1A,B1B 确定一个平面AA1B1B,并 且直线A1A,B1B相交, 设A1A∩B1B=D.① ∵AC∥A1C1, ∴AC与A1C1 确定一个平面AA1C1C, ∵A1A⊂平面AA1C1C, ∴D∈平面AA1C1C. 同理D∈平面BB1C1C. 又因为平面AA1C1C∩平面BB1C1C=C1C, ∴D∈C1C.② 由①②可知,A1A,B1B,C1C三线共点,即直线 A1A,B1B,C1C相交于同一点D. 12.解 平面ABC与β的交线与l相交.证明:因 为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α, 所以AB与l一定相交,设AB∩l=P, 则P∈AB,P∈l. 又因为AB⊂平面ABC,l⊂β, 所以P∈平面ABC,P∈β. 所以点P是平面ABC 与β的一个公共点, 而点C也是平面ABC 与β的一个公共点,且 P,C 是不同的两点,所以直线PC 就是平面 ABC 与β 的交线.即平面ABC∩β=PC,而 PC∩l=P, 所以平面ABC与β的交线与l相交. 假期作业(二十七) 空间直线、平面平行 基础再现 1.(1)平行 (2)相等或互补 2.这个平面内 交线 3.相交直线 相交 交线 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·101· 假期作业 学以致用 1.C 若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行, 若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交. 2.D 如图所示.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中, 平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1∥BB1,A1D ∩A1B=A1,AD1 与A1B 是异面直线.综上所 述,两条线段所在直线平行、相交或异面.故选D. 3.A 根据题意,作图如下:α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n, 根据平面平行的性质可得,如果两个平行平面 同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. ∴m∥n.同理可得其它几条交线相互平行,故两 个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直 线两两平行. 4.D 如图,若点M 与点D1 重合,因 为 D1D∥A1A, D1D⊈平面AA1C1C,A1A ⫋ 平 面 AA1C1C,所 以 D1D∥平 面 AA1C1C,即 DM∥平面AA1C1C. 若点 M 与点D1 不重合, 设DM∩AA1=P,则DM∩平面AA1C1C=P. 5.C A错,由两条直线与同一条直线所成的角相 等,可知两条直线可能平行,可能相交,也可能 异面;B错,若一个平面内有三个点到另一个平 面的距离相等,则这两个平面可能平行或相交; C正确,设α∩β=l,m∥α,m∥β,利用线面平行 的性质定理,在平面α中存在直线a∥m,在平 面β中存在直线b∥m,所以可知a∥b,根据线 面平行的判定定理,可得b∥α,然后根据线面平 行的性质定理可知b∥l,所以m∥l;D错,两个 平面可能平行,也可能相交. 6.ABC 由题意知,OM 是△BPD 的中位线, ∴OM∥PD,故A正确;PD⊂平面PCD,OM⊄ 平面PCD,∴OM∥平面PCD,故B正确;同 理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM 与平 面PBA 和平面PBC 都相交,故D不正确. 7.解析 ∵平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH ∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG =HG,∴EF∥HG.同理,EH∥FG,∴四边形 EFGH 是平行四边形. 答案 平行四边形 8.解析 如图,延长AG 交BC 于点F,连接SF, 因为G为△ABC的重心 所以AGGF=2 ,又AEES=2 ,∴EG∥SF ∵SF⊂平面SBC,EG⊄平面SBC, ∴EG∥平面SBC. 答案 平行 9.解析 ∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC =PQ, ∴MN∥PQ,易知DP=DQ=2a3 , 故PQ= PD2+DQ2=2DP=22a3 . 答案 22a3 10.解析 在平面AA1D1D 中,四边形AA1MD 是 梯形,且AA1、MD 是两腰,则直线MD 与直线 AA1 相交,所以,直线 MD 与平面A1ACC1 相交; 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,平面AA1D1D ∥平面BB1C1C,∵MD⊂平面AA1D1D, ∴MD∥平面BCC1B1. 答案 相交;平行 11.证明 (1)如图,取DC 的中点Q,连接 MQ, NQ. ∴NQ是△PDC的中位线, ∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD, ∴NQ∥平面PAD ∵M 是AB 的中点,四边形ABCD 是平行四 边形,∴MQ∥AD. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·201· 高一数学 ∵MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, ∴MQ∥平面PAD ∵MQ∩NQ=Q, ∴平面MNQ∥平面PAD ∵MN⊂平面MNQ, ∴MN∥平面PAD. (2)由(1)可得:平面MNQ∥平面PAD,又平 面PEC∩平面MNQ=MN,平面PAD∩平面 PEC=PE,∴MN∥PE. 12.证明 (1)如图,连接SB, ∵E,G分别是BC,SC的中点, ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1, 所以直线EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1, FG⊄平面BDD1B1, ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG =G, ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 假期作业(二十八) 空间直线、平面垂直 基础再现 1.两条相交直线 平行 2.垂线 交线 3.(1)锐角(或直角) 4.(1)锐角 ∠PAO 5.(1)两个半平面 (2)棱 面 (4)α-l-β α-AB-β P-l-Q (5)∈ ⊂ ⊂ ⊥ ⊥ ∠AOB 学以致用 1.D 如果两个平面互相垂直,一个平面内的一条 直线垂直于两个平面的交线,则这条直线垂直 另一个平面.根据这一性质可知D选项正确. 2.C 因为AB=AP=1,PB=PD=2,所以AB2 +AP2=PB2,可得PA⊥底面ABCD,PA⊂面 PAB,PA⊂面PAD,可得:面PAB⊥面ABCD,面 PAD⊥面ABCD,AB⊥面PAD,可得面PAB ⊥面 PAD,BC⊥面 PAB,可得面 PAB⊥面 PBC,CD⊥面PAD,可得PAD⊥面PCD,故 选C. 3.C 本试题主要考查异面直线所成的角问题,考 查空间想象与计算能力.延长B1A1 到E,使 A1E=A1B1,连 结 AE,EC1,则 AE∥A1B, ∠EAC1或其补角即为所求,由已知条件可得 △AEC1 为正三角形,∴∠EC1B为60°,故选C. 4.B ∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB. 又∵平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面 PAB=AB, ∴PD⊥平面ABC.故选B. 5.BD 对于A,由AB 与CE 所成角为45°,可得 直线AB与平面CDE 不垂直;对于B,由AB⊥ CE,AB⊥ED,CE∩ED=E,可得AB⊥平面 CDE;对于C,由AB 与CE 所成角为60°,可得 直线 AB 与平面CDE 不垂直;对于D,连接 AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可 得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以 AB⊥平 面CDE. 6.ABC 如图,对于A,取AD 的中点 M,连接PM,BM, ∵侧面PAD 为正三角形, ∴PM⊥AD,又底面ABCD 是菱形,∠DAB=60°, ∴△ABD 是等边三角形, ∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM⊂平 面PMB, ∴AD⊥平面PBM,故A正确. 对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面 直线AD 与PB 所成的角为90°,故B正确.对 于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥ AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM, ∴∠PBM 是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1, 则BM=32 ,PM=32 ,在Rt△PBM 中,tan∠PBM =PMBM=1 ,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A 的大小为45°,故C正确.对于D,因为BD 与 PA 不垂直,所以BD 与平面PAC 不垂直,故 D错误. 7.解析 因为平面α⊥平面β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l, 由面面垂直的性质可得n⊥α,又m⊥α,所以 m∥n. 答案 m∥n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·301·