2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级下册期末综合检测试题

2024-2025学年第二学期七年级数学试题解析版 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列不等式变形正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A  【解析】解：若，则，故选项A正确； B.若，当时，，故选项B不正确； C.若，当，时，，故选项C不正确； D.若，则，故选项D不正确． 故选：． 根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 2.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 对顶角相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 面积相等的两个三角形全等 【答案】D  【解析】解：、对顶角相等，该命题是真命题，不合题意； B、等腰三角形的两底角相等，该命题是真命题，不合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，该命题是真命题，不合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等，该命题是假命题，符合题意； 故选：． 根据对顶角的性质、等腰三角形的性质、平行式的性质、全等三角形的判定逐一判断即可求解． 本题考查了命题与定理，对顶角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定，掌握以上定理是解题的关键． 3.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：、运用平方差公式进行的因式分解，故是因式分解，符合题意； B、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意； C、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意； 故选：． 根据因式分解的定义以及其所遵循的原则逐项判断即可． 本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．关键掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能在分解为止等． 4.将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示如图所示 故选：． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5.小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：阴影部分的面积占总面积的， 飞镖落在阴影区域的概率为． 故选：． 根据概率公式直接求解即可． 此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 6.若是关于、的二元一次方程的一组解，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：把代入方程得：，即， 则， 故选：． 把与的值代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值． 此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 7.如图，在中，，，点在直线上，直线，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图所示： 因为在中，，， 所以， 所以， 因为， 所以． 故选：． 先根据三角形的内角和得到的度数，再利用平角的性质可推出的度数，最后利用平行的性质即可得到． 本题主要考查平行的性质三角形的内角和，掌握平行的性质和三角形的内角和性质是解题的关键． 8.如图，中，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图可知：平分， ，， ， 的最小值为， 故选：． 当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得解决问题； 本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 9.若关于的不等式组无解，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解： 解得：， 解得：， 由条件可知， 故选：． 解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案． 本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 10.如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点，与点，则以下结论： ≌； ； ； ，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ≌，故正确； ≌， ， ；故正确； ，， ， ；故正确； ，且不一定等于， 不一定等于；故错误． 故选：． 由是等边三角形，可得，，又由，即可证得≌； 由≌，可得，然后由三角形外角的性质，求得； 由，，可得，即可证得； 由，且不一定等于，可得不一定等于． 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．熟练掌握这些知识点是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，共24分。 11.分解因式：          ． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可． 此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键． 12.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是______． 【答案】  【解析】解：指针落在白色区域的概率是． 故答案为：． 用白色区域的圆心角的度数除以圆周角的度数可得到指针落在白色区域的概率． 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等． 13.为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，当 ______时，． 【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 14.腰长为，底角为的等腰三角形的面积为______． 【答案】  【解析】解：如图， 等腰中，，，过点作的延长线于点，则， ， ， ， ， 故答案为：． 根据题意，画出图形，过点作的延长线于点，由三角形的外角性质可得，进而由直角三角形的性质可得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解， 本题考查了等腰三角形的定义，直角三角形的性质，三角形的面积，利用数形结合思想解答是解题的关键． 15.用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 【答案】  【解析】解：设小长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 点的坐标为． 故答案为：． 设小长方形纸片的长为，宽为，根据点的坐标，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再结合点的位置，即可求出点的坐标． 本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长是______． 【答案】  【解析】解：，，， ， 是的垂直平分线， ， 故答案为：． 由勾股定理得，进而由线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键． 17.如图，在中，是高线，、是角平分线，它们相交于点，，，度数为______． 【答案】  【解析】解：， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 因为是高，所以，又因为，求出度数，根据解答即可． 本题主要考查了利用角平分线的定义解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力． 18.如图，，在上截取过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于______． 【答案】  【解析】解：，， ， ，， ， ， ， 同法可得， ， 由此规律可得， ，， ， ． ． 故答案为：． 利用三角形中位线定理证明，，寻找规律解决问题即可． 本题考查规律型：图形的变化类，直角三角形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 三、解答题：本题共8小题，共668分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 解方程组：； 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】解：， 得，， ， 把代入得，， ， 方程组的解为； ， 由得，， 由得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为：   【解析】利用加减法解答即可求解； 分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 20.本小题分 因式分解： ． ． 【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】先提公因式，再利用完全平方公式即可得出答案； 先利用平方差公式，再提取公因式即可得出答案． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 21.本小题分 如图，已知中，，； 请用尺规作出边的垂直平分线，交于点，交于点，作的平分线，交于点要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 在第的条件下，求出的大小． 【答案】解：如图，、为所作； 垂直平分， ， ， 平分， ， ．  【解析】利用基本作图作的垂直平分线和作的平分线即可； 先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据角平分线的定义得到，然后计算即可． 本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 22.本小题分 如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． 求证：； 若，，求的度数． 【答案】证明：平分， ， ， ， ， ； 解：在中，， ， 平分， ， ， ．  【解析】根据平分，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； 根据三角形内角和定理可得，再由平分，，即可求解． 本题主要考查的是等腰三角形的判定与性质，涉及到平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． 求、的值； 请直接写出方程组的解； 若点在轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】解：当时，， 点坐标为． 直线经过和， 则， 解得：， 一次函数的解析式为； 方程组的解是； 当时，即， ， 设点坐标为， ． ， ， 解得：， 点的坐标为或．  【解析】先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值； 几何函数图象，写出直线在直线组成方程组的解； 解方程得到，设点坐标为，求得根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了待定系数法求一次函数解析式． 24.本小题分 年月日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：太空“冰雪”实验；液桥演示实验；水油分离实验；太空抛物实验某校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： 本次被调查的学生有______人，并补全条形统计图； 扇形统计图中所对应的 ______； 若九年级共有名学生，请估计九年级学生中对最感兴趣的学生大约有多少人； 班被调查的学生中对最感兴趣的有人，其中有名男生和名女生，现从这名学生中随意抽取人进行观后感谈话，每人被抽到的可能性相同，恰好抽到男生的概率是______． 【答案】，见解析；   ；   人；  ．  【解析】解：本次被调查的学生数为人． 组人数为：人， 补全条形统计图如下： 故答案为：； ， ， 故答案为：； 人， 答：估计九年级学生中对最感兴趣的学生大约有人； 人中有名男生， 恰好抽到男生的概率是， 故答案为：． 根据由类别人数及其所占百分比可得总人数，求出组人数即可补全条形统计图； 用的人数除以总人数乘以即可求； 用总人数乘以样本中类别人数所占比例即可； 直接根据概率公式计算，即可求解． 本题考查求概率，样本估计总体，扇形统计图和条形统计图，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键． 25.本小题分 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共花费元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． 求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ 两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值． 【答案】解：设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元， 依题意，得：， 解得：． 答：购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元． 设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 依题意，得：， 解得：， 又为正整数， 可取的最大值为． 设购买两种笔记本总费用为元，则， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：至多需要购买个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为元．  【解析】设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，根据“购买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共花费元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，根据总价单价数量结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合为正整数可得出最多购买甲种笔记本的个数，设购买两种笔记本总费用为元，根据总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26.本小题分 感知如图所示，是等边三角形，是边上一点点不与点，重合，作，使角的两边分别交边，于点，，且若，则的大小是______． 探究如图所示，是等边三角形，是边上一点点不与点，重合，作，使角的两边分别交边，于点，，且求证：． 应用如图所示，是等边三角形，若是边的中点，且，，且求四边形的周长． 【答案】解：感知； 探究探究证明：如图， 是等边三角形， ， ， ， 是的外角， ， ， 在和中， ， ≌， ； 应用解：如图， 是等边三角形，， ，， 是的中点，， ， 由探究可知≌， ，， ， 是等边三角形， ， 四边形的周长．  【解析】【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 感知由等边三角形的性质可知，由，，得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； 探究由是等边三角形，及，得出，由三角形外角的性质得出，进而得出，进而证明≌，即可证明； 应用由题意先得出，再由探究可知≌，得出，，由，得出是等边三角形，得出，即可求出四边形的周长． 【解答】 感知解：如图， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 探究应用见答案． 第18页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期七年级数学试题 （时间：90分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1.下列不等式变形正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 对顶角相等 B. 等腰三角形的两底角相等 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 面积相等的两个三角形全等 3.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(    ) A. B. C. D. 4.将不等式组的解集表示在数轴上，正确的是(    ) A. B. C. D. 5.小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为(    ) A. B. C. D. 6.若是关于、的二元一次方程的一组解，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，点在直线上，直线，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 9.若关于的不等式组无解，则的值可以是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点，与点，则以下结论： ≌； ； ； ，其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2、 填空题（本大题共8小题，共24分,每小题3分） 11.分解因式：          ． 12.如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是______． 13.为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，当 ______时，． 14.腰长为，底角为的等腰三角形的面积为______． 15.用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示图案，若点，则点的坐标是______． 16.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长是______． 17.如图，在中，是高线，、是角平分线，它们相交于点，，，度数为______． 18.如图，，在上截取过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于______． 三、解答题 19.本小题分 解方程组：； 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 20.本小题分 因式分解： ． ． 21.本小题分 如图，已知中，，； 请用尺规作出边的垂直平分线，交于点，交于点，作的平分线，交于点要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； 在第的条件下，求出的大小． 22.本小题分 如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点． 求证：； 若，，求的度数． 23.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． 求、的值； 请直接写出方程组的解； 若点在轴上，且满足，求点的坐标． 24.本小题分 年月日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲并直播，神舟十三号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：太空“冰雪”实验；液桥演示实验；水油分离实验；太空抛物实验某校九年级数学兴趣小组成员“对这四个实验中最感兴趣的是哪一个”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： 本次被调查的学生有______人，并补全条形统计图； 扇形统计图中所对应的 ______； 若九年级共有名学生，请估计九年级学生中对最感兴趣的学生大约有多少人； 班被调查的学生中对最感兴趣的有人，其中有名男生和名女生，现从这名学生中随意抽取人进行观后感谈话，每人被抽到的可能性相同，恰好抽到男生的概率是______． 25.本小题分 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共花费元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元． 求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ 两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值． 26.本小题分 感知如图所示，是等边三角形，是边上一点点不与点，重合，作，使角的两边分别交边，于点，，且若，则的大小是______． 探究如图所示，是等边三角形，是边上一点点不与点，重合，作，使角的两边分别交边，于点，，且求证：． 应用如图所示，是等边三角形，若是边的中点，且，，且求四边形的周长． 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$