第七章 相交线与平行线（思维导图+考点串讲+题型精练+章节测试）2024-2025学年人教版数学七年级下册

第7章 相交线与平行线 一．邻补角与对顶角 名称 概念 性质 示意图 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，如图，与是邻补角 邻补角互补 如图， 对顶角 两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，如图，与是对顶角 对顶角相等 如图， 注意： ①邻补角、对顶角形成的前提条件是两条直线相交． ②邻补角是互为补角的一种特殊情况：数量上互为补角，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角，一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个． 二．垂线与垂线段 垂线 定义 当两条直线相交所成的四个角中有一个角为时，这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，如右图所示，直线a，b相交于点O，若，则 画法 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 二移 沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段 定义 P为直线l外一点，，垂足为M，则线段就是点P到直线l的垂线段 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如右图，线段的长是点P到直线l的距离 性质 垂线段最短 注意： ①垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直，知线垂直得直角． ②垂线是一条直线，不可度量长度．垂线段是线段，可以度量长度． ③线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直．因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上． 三．同位角、内错角、同旁内角 如图所示，直线，被直线所截，形成了8个角． 1．同位角：两个角分别在两条被截线同一方，并在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．例如：与，与，与，与． 2．内错角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．例如：与，与． 3．同旁内角：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．例如：与，与． 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线同侧，在两条被截线同一方 形如字母“F”（或倒置、反置、旋转） 内错角 在截线两侧（交错），在两条被截线之间 形如字母“Z” （或倒置、反置、旋转） 同旁内角 在截线同侧，在两条被截线之间 形如字母“U” （或倒置、反置、旋转） 注意： ①这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系． ②同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线． 四．平行线的定义 名称 定义 表示法 示意图 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 记作，读作a平行于b 注意： ①平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交．三者缺一不可． ②在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行． 五．平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“推”：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线． 六．平行公理及其推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 注意： ①平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的性质． ②“有且只有”强调直线的存在性与唯一性． 七．平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 示意图 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行 如果， 那么 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行 如果， 那么 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行 如果， 那么 八．平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 示意图 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等 如果， 那么 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等 如果， 那么 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补 如果， 那么 注意： ①只有在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质． ②平行线的判定和性质的区别与联系：平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，然后推导出两直线平行，是由“数量关系”到“位置关系”． 九．命题、定理、证明 内容 示例 定义 判断一件事情的语句，叫做命题 对顶角相等 组成 命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 “对顶角相等”中题设是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等” 表达形式 通常写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论 对顶角相等可改写为如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 分类 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题 对顶角相等 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题 相等的角是对顶角 十．平移的概念及性质 平移 定义 把一个图形整体沿某一直线移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移 要素 一是平移的方向，二是平移的距离 性质 平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等 注意： ①图形的平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小． ②图形平移的方向不限于是水平的． ③确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其上一个点平移的方向和距离即可． ④“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别：前者是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的；而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形中，是图形的一条边． 十一．利用平移作图 平移作图是平移基本性质的应用．在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． ①定：确定平移的方向和距离； ②找：找出表示图形的关键点； ③移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； ④连：按原图形顺序连接对应点． 12． 平行线拐点模型 核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角. 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化. 模型一：猪蹄模型或锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型二：铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型三：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等. 模型四：羊角模型 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型五：蛇形模型 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 【题型精练】 题型一、对顶角、邻补角、垂线及其性质 1．如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线和相交于点O，是直角，平分，，求和的度数．    3．如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)的对顶角为__________，的邻补角为__________； (2)若，且，求的度数． 4．如图，直线、相交于点，． (1)若，则的余角有______． (2)若，求和的度数． 题型二、点到直线的距离 5．下列图形中，表示点 直线的距离是 （   ） A．B．C． D． 6．如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到直线的距离可能为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，点A在直线上，点B，C在直线上，，，，，则下列说法正确的是（    ） A．点C到的距离等于4 B．点B到的距离等于3 C．点A到直线的距离等于4 D．点C到直线的距离等于4 8．定义：平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若、分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 ． 题型三、同位角、内错角、同旁内角 9．如图，直线被直线所截，与分别交于点E，F，下列描述，其中，正确的是（　　） ①和互为同位角 ②和互为内错角 ③ ④    A．①③ B．②④ C．②③ D．③④ 10．如图，与是（　　）形成的内错角． A．直线、被直线所截 B．直线、被直线所截 C．直线、被直线所截 D．直线、被直线所截 11．如图，和是直线 ， 被直线 所截构成的 角． 12．如图，直线b、c被直线a所截，如果，，那么与其内错角的角度之和等于 ． 题型四、平行的判定 13．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）    A． B． C． D． 15．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．已知：如图，平分，．求证：    证明∵平分（　         　） ∴ 　　 　　 （　                 　） ∵（已知）； ∴ 　　 （　　           ） ∴（　                 　） 17．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 18．如图，平分平分．判断是否平行，并说明理由． 题型五、利用平行线的性质求角 19．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（    ）度时，． A．15 B．65 C．70 D．115 20．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么的度数为（　　）   A． B． C． D． 21．如图，，平分交于点．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 22．如图，，直线分别交于点E、F，平分∠AEF，，则的度数为 ． 23．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），为折痕，若，则的度数为 24．如图，直线，与a，b分别相交于点A，B，且，交直线b于点C． (1)若，求的度数； (2)若，求直线a与b的距离． 25．如图，是的角平分线，，． (1)求证； (2)若，则 ． 题型六、平行线的性质与判定的综合 26．如图，，平分交于，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 27．根据解答过程填空（理由或数学式）： 已知：如图，，，求证：． 证明：（①______）， 又（已知）， （②______）， （③______）， ④______． （已知）， ⑤______， （⑥______）， （⑦______）． 28．如图，在中，点，在边上，点在边上，，且．      (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 29．如图，已知，， 交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 30．如图，D、E、F分别在的三条边上，，．    (1)试说明：； (2)若，平分，求的度数． 题型七、命题 31．（2022-2023七年级下·山东淄博·期末）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D． 32．（2022-2023七年级下·山东济宁·期末）下列语句中，属于命题的是（    ） A．作的平分线 B．同旁内角互补 C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢 33．（2022-2023七年级下·山东枣庄·期末）下列命题属于真命题的是（   ） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 34．（2022-2023七年级下·山东枣庄·期末）能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是（    ） A． B． C． D． 题型八、平移的性质及作图 35．如图，将周长为8的沿方向平移2个单位长度得到，则四边形的周长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 36．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若，则 ．    37．如图，三角形沿直线l向右平移得到三角形； (1)若，求的度数； (2)若，，求三角形平移的距离. 38．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）．    (1)请画出平移后的三角形，并标明对应字母； (2)若将三角形经过一次平移得到图（1）中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ． 39．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点A的对应点．    (1)在图中画出平移后； (2)线段和的关系是__________； (3)画出的边上的高，并标出垂足D． 题型九、平行线拐点问题 40. 如图：，，，则 ．    41．如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则    42．如图所示，已知，，，则的度数是 ．    43．   图中的， 图中的， 图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 44．如图，已知，，，则的度数为 ．    45．如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．    46．有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 47．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ， ， 又． ． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数． （3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【章节测试】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列四幅图案可以看作是以图案中某部分为基本图形平移得到的是（    ）． A．   B．   C．   D．   2．如图，直线与相交于点平分，且，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图，测量运动员跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．垂直的定义 4．如图，将直尺与含角的三角尺叠放在一起．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 5．如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（    ）    A．与是同位角B．与是内错角C．与是对顶角 D．与是同旁内角 6．下列命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 7．如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，第一次在处拐弯，两次拐弯后，仍沿正东方向行驶，两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次右拐，第二次左拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 8．给出下列说法： ①一个角与它的补角相等，这个角是直角；②等角的余角相等；③如图，已知，，则与互为补角；④若，则、、互余；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数是（      ）    A． B． C． D． 9．“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，，将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到，连接．给出下列结论：①，；②；③；其中，结论正确的个数为（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： . 12．如图，直线相交于点．如果，那么的度数为 ． 13．如图，请你添加一个条件，使，（只需填上你认为正确的一个条件），你添加的条件是    14．如图是6级台阶侧面的示意图，要在台阶上铺地毯，若楼梯宽1.5米，那么至少要买地毯 平方米．    15．如图，，垂足为C，若，则点A到的距离为 ． 16．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为： ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，的平分线交于E，交于点F，且．    (1)试说明：． (2)若，求的度数． 18．如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上．    (1)过点A作直线的垂线，并注明垂足为G． (2)过点A作交于点H． (3)点A到直线的距离等于_______个单位长度． 19．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到．    (1)画出； (2)若连接，，则这两条线段之间的关系是______； (3)画出边上的中线（利用网格点和直尺画图） 20．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分． (1)的对顶角为________； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 22．如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中．    (1)填空：线段与线段的关系为________． (2)求四边形的面积； (3)连接，若，，求的度数． 23．如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由． (2)如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q， ①若，，求的值． ②设，．点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．如图，，点，，，不在同一条直线上． (1)如图，求证： (2)如图，直线，交于点，且，． ①试探究与的数量关系； ②如图，延长交射线于点，若，，则的度数为 用含的式子表示． 25．如图1，已知线段、线段被直线所截于点、点，，的度数是的倍少．    (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点在上，点是上的一点，连接，，，求的度数； (3)如图3，点是线段上一点，点是射线上一点，度数为，度数为，度数为，请直接写出、、之间的数量关系．（本题的角均小于） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$