精品解析：山东省滨州市博兴县2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期中教育集团质量监测 九年级数学试题 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的． 1. 国际数学家大会（），是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可. 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意；   故选：B ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键。根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，于是可得，由可得，由平行线分线段成比例定理可得，即，进而可得，然后由即可得出答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 故选：． 4. 在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为．（ ） A. 2cm B. cm C. 3cm D. 2cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长． 【详解】如图所示，CD⊥AB于点P． 根据题意，得：AB=8cm，CD=4cm， ∵CD⊥AB， ∴CPCD=2cm， 根据勾股定理，得OP2(cm)， 故选：A． 【点睛】本题综合运用了垂径定理和勾股定理．解题关键是正确理解圆中过一点的最长的弦和最短的弦． 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质， 先根据可知图像位于第二四象限，当时，，当时，函数值y随着x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴双曲线位于第二，四象限， 当时，； 当当时，函数值y随着x的增大而增大，即当时，， ∴． 故选：B． 6. 三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（ ） A. 3或4 B. 4或5 C. 4或6 D. 5或6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，先由，，得，解得，结合为整数，即可作答． 【详解】解：∵三角形的三边分别为，，，其中，且，，， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的长是4或5， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，，以点为圆心，矩形的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，若恰好平分，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质结合角平分线的定义可求出，，，再根据扇形的面积公式，矩形的面积公式和三角形面积公式计算出和，最后相加即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 由题意可知， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 8. 如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】延长至，使，证明，推出，，，利用证明，可判断①；利用余角关系可判断②；在中，由勾股定理计算可判断③；证明，利用相似三角形的性质可判断④． 【详解】解：延长至，使， 四边形是正方形， ，， ∴， ，，， ， ，即， 又， ， ，①正确； ， ， ，②正确； 设， 为中点， ， ，， 在中，由勾股定理得， 解得，即，③不正确； ，， ， 又， ， ， ， ， ，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 二、填空题：本大题共7个小题，每小题3分，满分21分． 9. 云南是全国知名的高原特色农产品生产和出口大省，去年，云南省鲜花出口额约元，位居全国各省市第一，这个数用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法的表示方法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 10. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义，根据分式的分母不为0时，分式有意义，二次根式的被开方数为非负数时，二次根式有意义，进行求解即可 ． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： ． 11. 若点在反比例函数的图象上，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接将点代入即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故答案为：1． 12. 在、、、、这五个数字中，任意取两个相加，结果是奇数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先列表展示所有种所有等可能的结果，其中和是奇数占种，然后根据概率的概念计算即可． 【详解】解：列表如下： 和 共有种所有等可能的结果，其中和是奇数占种， 所以和是奇数的概率． 故答案为． 【点睛】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再找出其中某事件可能发生的结果数，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率． 13. 如图，在中，，．将以点A为中心顺时针旋转得到，若点B的对应点D点恰好落在边上，交于点F，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，角之间的关系，解题的关键是利用旋转的性质得到，利用等腰三角形的性质得到． 利用旋转的性质可得：，所以，再利用，即可求出． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图是二次函数的部分图象，由图可知方程的所有解的积等于______． 【答案】-5． 【解析】 【分析】观察二次函数的图象易得对称轴为 ，进而求得与x轴的另一交点坐标，所对应的一元二次方程的解即为与x轴两交点的横坐标，求出积即可． 【详解】由图象可知对称轴为， 与x轴的一个交点横坐标为5， 它到直线的距离是3个单位长度， 所以另一个交点横坐标为-1， ∴， ， ． 故答案为：-5． 【点睛】本题考查抛物线的对称轴的定义、抛物线与x轴两交点的与对应一元二次方程的关系，根据抛物线图像求得交点坐标是解题的关键，属于基础类题目． 15. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺作出的边上的高（保留作图痕迹），并简述作法：______． 【答案】如图，延长至点E，取格点F，使，连接交于点D，线段即为所求 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．结合全等三角形画图，即可得出答案． 【详解】如图，延长至点E，取格点F，使，连接交于点D，线段即为所求． 由图可知：， ∴， ∵， ∴ 故答案为：延长至点E，取格点F，使，连接交于点D，线段即为所求． 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 17. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程、解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是根据计算法则来解答． （1）分别解不等式，再求出不等式组的解集即可； （2）根据解方程的步骤进行解答即可． 【详解】解：（1）解不等式， 得； 解不等式， 得， 故不等式组的解集为． （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 系数化1，得． 18. 市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表． 组别 噪声声级x/dB 频数 A 55≤x＜60 4 B 60≤x＜65 10 C 65≤x＜70 m D 70≤x＜75 8 E 75≤x＜80 n 请解答下列问题： （1）m＝　　，n＝　　； （2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是 　　°； （3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 【答案】（1）12、6；（2）72；（3）260个 【解析】 【分析】（1）先由B组频数及其对应的百分比求出样本容量，再用样本容量乘以C这组对应的百分比求出m的值，继而根据5组的频数之和等于样本容量可得n的值； （2）用360°乘以D组频数所占比例即可； （3）用总个数乘以样本中噪声声级低于70dB的测量点的个数所占比例即可． 【详解】解：（1）∵样本容量为10÷25%＝40， ∴m＝40×30%＝12， ∴n＝40﹣（4＋10＋12＋8）＝6， 故答案为：12、6； （2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是360°×＝72°， 故答案为：72； （3）估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为（个）． 该市城区共有400个噪声测量点，估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数为260个． 【点睛】本题主要考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解题的关键是结合频数分布表和扇形统计图得出样本容量及样本估计总体． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式加减运算法则，是解题的关键．先根据异分母分式加减运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， 代入x、y的值，得： 原式． 20. 如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【小问1详解】 将点代入反比例函数， ∴， ∴， 将点代入， ∴， 将，代入，得 ， 解得：， ∴解析式为：； 【小问2详解】 根据图象可知，，， 当时，或． 21. （1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）作射线，在上截取，过点作的垂线，在上截取，连接，则，即为所求； （2）先根据题意画出图形，再证明．延长至使，连接、，因为是的中点，所以，因为，所以四边形是平行四边形，因为，所以四边形是矩形，根据矩形的性质可得出结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）已知：如图，为中斜边上的中线，， 求证：. 证明：延长并截取. ∵为边中线，∴， ∴四边形为平行四边形. ∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了作直角三角形，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造出矩形，利用矩形的性质解答． 22. 【问题呈现】 某宾馆有45个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【模型构建】 方法 函数模型 方法一：设，宾馆利润为元． 方法二：设每间房增加元，宾馆利润为元． 方法三：设，宾馆利润为元． （1）从下列三个选项中选择其中一个填空． ①房价提高后，每间房的利润为元；②房价提高后，每间房定价为元；③每间房增加元． 方法一函数模型中的表示_____（填序号）；方法三函数模型中的表示_____（填序号）． （2）请把方法二的函数模型补充完整，填在下面的横线上． _______________________________________________________________________． 【问题解答】 （3）请你从以上三种方法中选择其中一种完整解答本题． 【答案】（1）③，② （2） （3）方法一： ， ∴当时，取得最大值， （元）； 答：当房价定为560元时，宾馆利润最大； 方法二： ， ∴当时，取得最大值， （元）； 答：当房价定为560元时，宾馆利润最大； 方法三： ， ∴当时，取得最大值， 答：当房价定为560元时，宾馆利润最大． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，结合函数解析式，得出表示的意义即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （3）利用二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）方法一：中，表示的是每间房增加元； 方法三：中，表示的是房价提高后，每间房定价为元； 故答案为③，②； （2）设每间房增加元，宾馆利润为元，由题意，得：； 故答案为：； （3） 略 23. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 请根据要求，解答下列问题： （1）【求证结论】借助图1，求证：； （2）【推广证明】借助图2，求证：； （3）【拓展应用】借助图3，在四边形中，，，，．求过A，B，D三点的圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分别作，，垂足分别为D，E，在中和在中分别计算，得到，则；同理：，则结论得证； （2）作直径，连接，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，利用（1）的结论，结论得证； （3）连接，作于点E，利用矩形的判定与性质和勾股定理得到，，利用直角三角形的边角关系定理得到，再利用（2）的结论解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，分别作，，垂足分别为D，E， ∵在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 【小问2详解】 证明：作直径，连接． ∵直径，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴； 【小问3详解】 解：连接，作于点E， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，圆的有关性质，圆周角定理，添加适当的辅助线构造直角三角形和连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中教育集团质量监测 九年级数学试题 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的． 1. 国际数学家大会（），是由国际数学联盟（）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP为．（ ） A. 2cm B. cm C. 3cm D. 2cm 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（ ） A. 3或4 B. 4或5 C. 4或6 D. 5或6 7. 如图，在矩形中，，以点为圆心，矩形的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，若恰好平分，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，为中点，为上的一点，且，，连接，延长交于点，交于点，则以下结论：①；②；③；④中，正确的有（ ） ① ② ③ ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共7个小题，每小题3分，满分21分． 9. 云南是全国知名的高原特色农产品生产和出口大省，去年，云南省鲜花出口额约元，位居全国各省市第一，这个数用科学记数法表示为____． 10. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 11. 若点在反比例函数的图象上，则m的值为______． 12. 在、、、、这五个数字中，任意取两个相加，结果是奇数的概率是______． 13. 如图，在中，，．将以点A为中心顺时针旋转得到，若点B的对应点D点恰好落在边上，交于点F，则的度数为______． 14. 如图是二次函数的部分图象，由图可知方程的所有解的积等于______． 15. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺作出的边上的高（保留作图痕迹），并简述作法：______． 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 计算：． 17. （1）解不等式组：； （2）解方程：． 18. 市环保部门为了解城区某一天18：00时噪声污染情况，随机抽取了城区部分噪声测量点这一时刻的测量数据进行统计，把所抽取的测量数据分成A、B、C、D、E五组，并将统计结果绘制了两幅不完整的统计图表． 组别 噪声声级x/dB 频数 A 55≤x＜60 4 B 60≤x＜65 10 C 65≤x＜70 m D 70≤x＜75 8 E 75≤x＜80 n 请解答下列问题： （1）m＝　　，n＝　　； （2）在扇形统计图中D组对应的扇形圆心角的度数是 　　°； （3）若该市城区共有400个噪声测量点，请估计该市城区这一天18：00时噪声声级低于70dB的测量点的个数． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集． 21. （1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．） 22. 【问题呈现】 某宾馆有45个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【模型构建】 方法 函数模型 方法一：设，宾馆利润为元． 方法二：设每间房增加元，宾馆利润为元． 方法三：设，宾馆利润为元． （1）从下列三个选项中选择其中一个填空． ①房价提高后，每间房的利润为元；②房价提高后，每间房定价为元；③每间房增加元． 方法一函数模型中的表示_____（填序号）；方法三函数模型中的表示_____（填序号）． （2）请把方法二的函数模型补充完整，填在下面的横线上． _______________________________________________________________________． 【问题解答】 （3）请你从以上三种方法中选择其中一种完整解答本题． 23. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 请根据要求，解答下列问题： （1）【求证结论】借助图1，求证：； （2）【推广证明】借助图2，求证：； （3）【拓展应用】借助图3，在四边形中，，，，．求过A，B，D三点的圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $