第05讲 有理数的乘法与除法（知识清单+11大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版2024）

第05讲 有理数的乘法与除法（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1.有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5.有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点7.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山西太原·期末）计算的结果是 ． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（24-25七年级上·广东湛江·期末）初一年级于12月举行了班际篮球赛，6支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 2．（24-25七年级上·四川巴中·期末）市运会上有11支足球队参赛，每两支球队间只打一场，队队见面，则一共要安排 场比赛． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米，前一次的终点为下一次的起点）如下： 　，，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？ (2)通过计算判断，小李运营过程中离开出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车耗油量为5升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C．2016 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）的倒数是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（   ） A．6 B． C． D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）老师从一楼办公室去某教室上课，走一层楼有10个台阶，走了30个台阶．老师要去的这个教室在第（   ）层． A．三 B．四 C．五 D．无法确定 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）将十进制数36化为七进制数为 ． 3．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 2．（24-25七年级上·河北承德·期末）阅读把十进制的11转化为二进制的方法，，，，，所以，把转化为二进制为 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江·期中）东方小学新建教学大楼，实际造价万元，比原计划节约了，原计划造价多少万元？ 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）圆的直径是6厘米，面积是 平方厘米． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型九】有理数四则混合运算 【例9】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则…的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【题型十】有理数四则混合运算的实际应用 【例10】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知热气球向空中上升时每升高，气温下降，若现在气球的高度为1500米，且地面温度为，则此时气球所在高度的气温为 ． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克20元的价格购进20千克草莓，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克30元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 1 8 2 4 5 售价/（元/千克） 该水果店销售完这批草莓是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？（损耗忽略不计） 【题型十一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】（24-25七年级上·天津宁河·期末）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式中：①，②，③，④其中正确式子的序号是 ． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 好题必刷 一、单选题 1．实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 2．小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（    ） A． B． C． D． 3．的倒数是（    ） A． B． C． D． 4．计算结果与相等的算式为（   ） A． B． C． D． 5．的倒数是（　　） A． B． C． D． 6．有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．在等式“（－4）□（－2）＝2”，“□”中的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 8．若有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断中错误的是（    ）    A． B． C． D． 9．如果，那么△表示的数是（    ） A． B．3 C．0 D． 10．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．计算= ． 12．计算： ． 13．一只灰兔和一只白兔进行跳跃比赛，灰兔每次跳10厘米，白兔每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷阱有 厘米． 14．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降 ． 15．观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 16．填空： （1）的相反数是 ，倒数是 ； （2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 17．（）已知两个数的积是，且其中一个数是，则另一个数是 ； （）已知两个数的商是，且其中一个数是，则另一个数是 ． 18．探究：规定一楼地面的高度为0，从一楼向上的方向为正，从一楼向下的方向为负． 小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15 cm．如果小亮从1楼向上走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？ 15×1 ＝ 15×2 ＝ 15×3 ＝ 小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向下走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？ （－15）×1 ＝ （－15）×2 ＝ （－15）×3 ＝ 观察上面的式子，根据你对有理数乘法的思考，填空： 正数乘以正数积为 数 负数乘以正数积为 数 正数乘以负数积为 数 负数乘以负数积为 数 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 三、解答题 19．计算： （1）（﹣2）×3； （2）-÷（-1）． 20．如果两个数的乘积为负数，你能说出这两个数的符号分别是什么吗？如果两个数的乘积为正数呢？你能推广到多个数相乘的情形吗？ 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 25．一个服装店的所有服装都打同样的折扣销售． (1)李阿姨买了一件上衣，原价250元，现价150元，李阿姨还想买一条裤子，原价180元，现价多少钱？ (2)张伯伯有一笔钱，如果买现价90元一件的衬衫，正好买四件，如果想买原价200元一件的夹克衫，能买多少件？ (3)如果用x表示原价，y表示现价y和x关系式是什么？ 26．元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去探望爷爷、奶奶和姥爷、姥姥．早上从家里出发，向东走了5千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向西走了10千米到姥爷家，晚上返回家里． (1)若以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和姥爷家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)超市和姥爷家相距多少千米？ (3)若小轿车每千米耗油升，求小明一家从出发到返回家，小轿车的耗油量． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘法与除法（知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 题型十 有理数四则混合运算的实际应用 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识清单 知识点1.有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5.有理数除法法则 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点7.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·贵州毕节·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了乘法的意义，根据题意表示成乘法的形式，即可求解． 【详解】解：可以表示为， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减法和乘法的混合运算，正确理解新定义运算的含义是解题的关键．根据，选择的情况计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 2．（24-25七年级上·山西太原·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了两个有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解答本题的关键．两数相乘，同号的正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍得0． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东深圳·期末）【定义】有理数的“加乘”运算，记作． 有理数“加乘法则” 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0相“加乘”，仍得0． 例如：；；；；； 【应用】 （1） ； ； ． （2）计算：． 【拓展】 （3）显然，“加乘”运算满足交换律，即．那么“加乘”运算是否满足结合律？即是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】（1）0，，20；（2）；（3）不成立，举例见解析 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，根据有理数的乘法法则计算即可得； （2）按照混合运算顺序和新定义，先算括号里面的，再算括号外面的即可得； （3）举出例子，根据新定义分别算出和的值，进行判断即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：0，，20． （2） ． （3）不成立，举例如下： 当时， ， ， 所以不成立． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南漯河·期末）已知三个数的积为负数，如果一个数为正数，那么另外两个数（   ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．无法确定 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记“同号得正，异号得负”是解题的关键． 【详解】解：∵三个数的积为负数，一个数为正数， ∴另两个数异号， 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）在数，，4，5中任取三个数相乘，所得的积最大的是 ． 【答案】30 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法及有理数大小比较，关键要明确当负因数为奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，且正数大于一切负数．找积最大的应取偶数个负数，据此分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴所得的积中最大的是30． 故答案为：30． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（24-25七年级上·广东湛江·期末）初一年级于12月举行了班际篮球赛，6支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总的比赛场数为（   ） A．6 B．15 C．18 D．30 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了列式计算，理解单循环比赛的特点是解题的关键；根据单循环比赛的特点，进行计算即可得答案． 【详解】解：6支球队举行单循环比赛， 每支球队比赛5场， 每两支球队之间都比赛一场， 总的比赛场数为场； 故选B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A套餐和B套餐： 若晴晴想买12杯该饮品，则下列花费最少的方式是（   ） A．买6个A套餐 B．买4个B套餐 C．买3个A套餐，2个B套餐 D．买2个A套餐，3个B套餐 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出算式是解题的关键． 根据题意分别计算出套餐和套餐的花费，然后比较大小即可． 【详解】解：解：套餐每买2杯的花费为（元）， 套餐每买3杯话费为（元）， 买6个套餐的花费为（元）； 买4个套餐的花费为（元）； 买3个套餐，2个套餐的花费为（元）； 买2个套餐，3个套餐，则（杯），不符合题意； ， ∴买4个套餐花费最少， 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川巴中·期末）市运会上有11支足球队参赛，每两支球队间只打一场，队队见面，则一共要安排 场比赛． 【答案】 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意可得比赛场次为，即可求解． 【详解】解：依题意，场， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）出租车司机小李某天下午运营全是在东西走向的人民大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，这天下午他的行车里程（单位：千米，前一次的终点为下一次的起点）如下： 　，，，，，，，，，， (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？ (2)通过计算判断，小李运营过程中离开出发点最远时是多少千米？ (3)若汽车耗油量为5升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 【答案】(1)10千米 (2)20千米 (3)350升 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查的是正数和负数的应用． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）算出每一站与出发点的距离，进而分析得出答案； （3）根据有理数的绝对值的定义计算． 【详解】（1）解： 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点10千米； （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 所以小李运营过程中离开出发点最远时是20千米； （3）解： （千米） （升） 答：这天下午小李共耗油350升． 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是（   ） A． B． C．2016 D． 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．5与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键； 根据倒数的定义：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，逐项判断即可． 【详解】A．，所以与不互为倒数，故本选项不符合题意； B．，所以与不互为倒数，故本选项不符合题意； C．，所以与不互为倒数，故本选项不符合题意； D． ，所以与互为倒数，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数的求法，根据乘积是1的两个数互为倒数即可解答． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了乘法运算律，根据原式变形为，利用了乘法的交换律和结合律，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴运算依据是乘法交换律和结合律， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）计算：（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法，除法变乘法，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【举一反三】 1．（2024七年级上·河南郑州·专题练习）老师从一楼办公室去某教室上课，走一层楼有10个台阶，走了30个台阶．老师要去的这个教室在第（   ）层． A．三 B．四 C．五 D．无法确定 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数除法，解答本题的关键是掌握1楼没有台阶，所以楼层数间隔数．把楼层与楼层之间的10个台阶看作1个间隔，先求得一共走过了几个间隔：（个），一楼没有台阶，所以老师要去的这个教室在第层． 【详解】解：（层） 故答案为：B． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）将十进制数36化为七进制数为 ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了进位制之间的转化，解题的关键是掌握“除k取余法”． 把所给的十进制数除以7，得到商和余数，继续除以7，直到商为0，把余数倒序写下来即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东聊城·期中）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，所以当时，；当时，，现在我们可以用这个结论来解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，求的值 (2)已知，，是有理数，当，求的值 (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【知识点】有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，，或，，或，，两负一正或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （2）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，， ，，两负一正， ，，两正一负，． 故的值为或 （3）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）一辆长的货车，以的速度匀速通过一条长为的隧道，隧道内壁顶上有一盏灯，垂直向下发光，下列说法中正确的是（   ） ①灯光照在车身上的时间是；  ②灯光照在车身上的时间是；③从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是； ④从车头进入隧道到车尾离开隧道所用的时间是． A．只有正确 B．只有正确 C．只有正确 D．只有正确 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，有理数除法的应用等知识点，读懂题意，根据“路程速度时间”正确列出算式是解题的关键． 先将换算成，然后根据“路程速度时间”列式计算即可． 【详解】解：， ， 故说法正确，说法错误； ， 故说法正确，说法错误； 综上，正确的说法有：， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东汕尾·期末）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北承德·期末）阅读把十进制的11转化为二进制的方法，，，，，所以，把转化为二进制为 ． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了十进制与二进制的转换（有理数除法的应用），熟练掌握十进制与二进制的转换方法及有理数的运算法则是解题的关键． 根据题意，将除以，得到商和余数，然后如此反复，即：，，，，，将余数从下往上排列，即可得到二进制数． 【详解】解：根据十进制的11转化为二进制的方法可知： ，，，，， 转化为二进制为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·黑龙江·期中）东方小学新建教学大楼，实际造价万元，比原计划节约了，原计划造价多少万元？ 【答案】原计划造价万元． 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式，然后根据法则进行求解即可，读懂题意，列出算式，掌握有理数除法运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得： （万元）， 答：原计划造价万元． 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算的应用，先求出房间的面积，再用房间的面积除以边长为80厘米的方砖面积即可得到答案． 【详解】解：， 所以需要54块， 故选：D． 2．（24-25七年级上·黑龙江·期中）圆的直径是6厘米，面积是 平方厘米． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查有理数的乘除混合运算，正确理解圆的面积的公式是解题的关键 【详解】解：圆的面积为（平方厘米）， 故答案为 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除运算法则是解题的关键； （1）根据有理数除法法则，除以一个数等于乘以它的倒数，直接转化为乘法，利用乘法法则计算即可； （2）将有理数除法转为有理数乘法，然后根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型九】有理数四则混合运算 【例9】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 【举一反三】 1．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义，正确理解题意是解题的关键，根据新定义注意分析即可得出答案 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 当，， 当，时，，故②错误； ，故③错误 故选：B 2．（24-25七年级上·甘肃张掖·期中）对任意有理数、定义新运算“”如下：．则 ． 【答案】1 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的新定义运算，解题关键是依据新运算规则准确代入有理数进行计算．根据新运算的定义将，代入到中，按照先计算乘方，再计算减法的顺序进行计算． 【详解】解：根据题意得： 将，代入 故答案为：1． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)3 (3) (4)80 (5)2 (6) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了乘法运算律，小数与整数的乘法运算法则，含百分数的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据小数与整数的乘法运算法则进行计算，即可作答． （2）先把百分数化为小数，再运算乘法，即可作答． （3）先把百分数化为小数，然后运算除法，再运算乘法，即可作答． （4）先把百分数化为小数，然后运用乘法运算律进行计算，即可作答． （5）先把分数和百分数化为小数，然后运算加法即可作答． （6）先运算括号内，再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型十】有理数四则混合运算的实际应用 【例10】（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查百分数的应用，解题的关键是先求出飞机票原价，再算出超重重量，最后根据超重行李费的计算规则求出应付行李费． 先根据机票折扣和折后价格求出原价，再确定超重重量，最后依据超重部分每千克的收费标准算出应付行李费． 【详解】解：飞机票原价为元， 超重的重量为千克， 每千克超重行李收费为， 超重10千克，所以应付行李费为元． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的9倍， 故选：C． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）已知热气球向空中上升时每升高，气温下降，若现在气球的高度为1500米，且地面温度为，则此时气球所在高度的气温为 ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列式计算是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意，此时气球所在高度的气温为： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克20元的价格购进20千克草莓，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克30元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 1 8 2 4 5 售价/（元/千克） 该水果店销售完这批草莓是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？（损耗忽略不计） 【答案】赚了，赚了191元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题主要考查了正数和负数，有理数加减乘除的运算方法，根据总价单价数量，分别求出按照不同价格售出的利润，再求和即可． 【详解】解： （元）， 答：该水果店销售完这批草莓是赚了，赚了191元． 【题型十一】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【例11】（24-25七年级上·天津宁河·期末）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的加法法则逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，，． A、，则此项正确，不符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项不正确，符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是a，b，c，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数除法的应用 【分析】本题考查了数轴、有理数的运算，利用数轴得出a，b，c的大小关系是解题的关键．根据数轴可得，，再根据有理数的运算法则逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ，，，，故①②错误，③④正确； ，，， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，下列各式中：①，②，③，④其中正确式子的序号是 ． 【答案】①②③ 【知识点】有理数的除法运算、带有字母的绝对值化简问题、两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】根据有理数的减法法则可判断①；根据相反数的几何意义可判断②；根据绝对值的性质和判断③；根据有理数的乘法法则可判断④． 【详解】解：∵， ，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵ ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，故④不正确． 综上可知正确式子是：①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的意义，绝对值的意义，有理数的运算法则，数形结合是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“”或“”填空：a_____0，_____0，_____0，_____． (2)化简： 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数四则混合运算、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，化简绝对值： （1）根据数轴可得，据此根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）由（1）可知，，据此化简绝对值，然后根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴， 故答案为：；；；； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 好题必刷 一、单选题 1．实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 根据乘积是1的两个数互为倒数求出a即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， 解得：， 故选：C． 2．小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出从32℃降低到20℃所需要的时间，再加上从60℃降低到32℃所需要的时间即可求解． 【详解】解：每分钟降低4℃，从32℃降低到20℃所需要的时间是min． 从60℃降低到32℃所需要的时间是8min． 所以共用时间为8+3=11min． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数加法运算的实际应用和有理数除法运算的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 3．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值和倒数，首先根据绝对值的定义化简，得到结果为，然后再根据乘积为的两个数互为倒数得到结果为． 【详解】解：， ， 的倒数为， 的倒数为， 故选：D． 4．计算结果与相等的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原式各项计算得到结果，比较即可． 【详解】解：|2-3|=|-1|=1， A、原式=2-3=-1，不相等，故不符合题意； B、原式=-2+3=1，相等，符合题意； C、原式=-1，不相等，故不符合题意； D、原式=5，不相等，故不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的乘除法则，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倒数的定义，可得答案． 【详解】解：的倒数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握和运用求倒数的方法是解题关键． 6．有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则即可判断求解，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴选项错误，选项正确， 故选：． 7．在等式“（－4）□（－2）＝2”，“□”中的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】（－4）+（－2）＝-6， ∴+是不成立的， A不符合题意； （－4）-（－2）＝-2， ∴-是不成立的， B不符合题意； （－4）×（－2）＝8， ∴×是不成立的， C不符合题意； ∵（－4）÷（－2）＝2， ∴应该填“÷”， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 8．若有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可得，再根据有理数运算法则易得出结果 【详解】∵， ∴，，， 故选项A、B、D正确 选项C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据数轴的特点判断两个数的取值范围，再根据数的运算法则来判断正误． 9．如果，那么△表示的数是（    ） A． B．3 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据除法法则得，再根据减法法则可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数除法法则和有理数减法法则，熟练掌握有理数除法法则和有理数减法法则是解题的关键． 10．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的共有（　　） ①，②，③，④，⑤，⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据数轴提供信息得到，再分别根据有理数的除法法则，乘法法则，减法法则，加法法则，相反数的定义，绝对值的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：数轴得， 所以，故①正确； ，故②错误； ，故③正确， ，故④错误； ，故⑤正确； ，故⑥正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数有理数的除法法则，乘法法则，减法法则，加法法则，相反数的定义，绝对值的定义等知识，综合性强，熟知相关知识并灵活应用是解题关键． 二、填空题 11．计算= ． 【答案】 【分析】根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法运算，熟练掌握除法运算法则是解题的关键． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 13．一只灰兔和一只白兔进行跳跃比赛，灰兔每次跳10厘米，白兔每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷阱有 厘米． 【答案】4 【分析】本题考查了最小公倍数，有理数乘除法的应用，先分别求出灰兔，白兔每次所跳的距离和陷阱距离的最小公倍数进而求出灰兔，白兔掉下去所用时间，白兔用时少，则先掉下去，此时灰兔跳了（厘米），两边陷阱分别为36厘米和48厘米，离最近陷阱4厘米． 【详解】解：灰兔：10和12的最小公倍数为60，则（秒）， 灰兔跳6秒会调入陷阱； 白兔：15和12的最小公倍数为60，则（秒）， 白兔跳4秒会调入陷阱； 4秒秒， 白兔先掉下去，此时灰兔跳了：（厘米）， 40厘米两边的陷阱分别是36厘米和48厘米， 则离最近的陷阱有（厘米）， 即当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷阱有4厘米． 故答案为：4． 14．用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，登高后，气温下降 ． 【答案】9 【分析】根据题意知，气温变化量为乘以攀登高度，即可求解． 【详解】解：根据 “每登高1km气温的变化量为”知： 攀登后，气温变化量为： 下降为负，所以下降， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了分析信息的能力，正负数的意义，有理数的计算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 15．观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 16．填空： （1）的相反数是 ，倒数是 ； （2）的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的定义等知识点，掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义即可解答； （2）根据相反数、倒数、绝对值的定义即可解答． 【详解】解：（1）的相反数是，倒数是； 故答案为：，． （2）的相反数是，倒数是，绝对值是． 故答案为：、、． 17．（）已知两个数的积是，且其中一个数是，则另一个数是 ； （）已知两个数的商是，且其中一个数是，则另一个数是 ． 【答案】 或 【分析】（）根据因数积另一个因数，列出算式计算即可求解； （）分两种情况，根据除数被除数商列出式子，被除数商除数进行计算即可求解； 本题考查了有理数的乘除运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）另一个数为， 故答案为：； （）当另一个数是除数时，另一个数为； 当另一个数是被除数时，另一个数为； ∴另一个数是或， 故答案为：或． 18．探究：规定一楼地面的高度为0，从一楼向上的方向为正，从一楼向下的方向为负． 小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15 cm．如果小亮从1楼向上走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？ 15×1 ＝ 15×2 ＝ 15×3 ＝ 小亮测量学校楼梯每一级台阶都是15cm．如果小亮从1楼向下走1、2、3级台阶时，他所在的高度分别是多少？如何用算式表示呢？ （－15）×1 ＝ （－15）×2 ＝ （－15）×3 ＝ 观察上面的式子，根据你对有理数乘法的思考，填空： 正数乘以正数积为 数 负数乘以正数积为 数 正数乘以负数积为 数 负数乘以负数积为 数 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的 【答案】 15 30 45 －15 －30 －45 正 负 负 正 积 【解析】略 三、解答题 19．计算： （1）（﹣2）×3； （2）-÷（-1）． 【答案】（1）﹣6；（2） 【分析】(1)两个数直接乘即为结果，最后结果为负数； (2)将带分数化简，除号变为乘号，求值即可． 【详解】（1）原式＝﹣2×3＝﹣6； （2）原式＝×＝． 【点睛】本题考查了有理数的乘除运算，属于基础题，考查了运算求解能力，熟练掌握有理数乘除运算的法则是解题的关键． 20．如果两个数的乘积为负数，你能说出这两个数的符号分别是什么吗？如果两个数的乘积为正数呢？你能推广到多个数相乘的情形吗？ 【答案】见详解 【分析】偶数个负号相乘抵消成正数，奇数个负号相乘最后结果仍然是负数，根据这个规律去答题即可． 【详解】如果两个数的乘积为负数，那么这两个数为一正一负；如果两个数的乘积为正数，那么这两个数同为正或同为负；如果多个数相乘，当乘积为负数时，那么其中必有奇数个负数；当乘积为正数时，那么其中必有偶数个负数． 【点睛】本题考查有理数乘积之后的符号正负问题，掌握符号运算的规律是本题关键． 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序是解题关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）－12；（2）；（3）－96；（4）0.36 【分析】将小数或者带分数写成假分数，再根据有理数的乘法法则进行计算，如果都是小数，直接相乘即可，注意两数相乘，同号得正，异号得负． 【详解】解：（1）；    （2）； （3）；     （4）． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，理解两数相乘结果的符号是解题的关键． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)47 (3) (4)1 【分析】（1）先把小数化成分数、然后再运用加法的交换律和结合律进行简便运算即可； （2）直接运用乘法分配律进行简便运算即可； （3）根据有理数的四则混合运算法则计算即可； （4）根据有理数的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算、有理数乘法运算律、有理数的四则混合运算等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 24．数学老师布置了一道思考题：“计算：”小明仔细思考了一番，用了一种特别的方法解决了这个问题： 原式的倒数为， 所以． 请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数乘法分配律，先根据分配律求出的结果，再仿照题意即可得到答案． 【详解】解： ， ∴． 25．一个服装店的所有服装都打同样的折扣销售． (1)李阿姨买了一件上衣，原价250元，现价150元，李阿姨还想买一条裤子，原价180元，现价多少钱？ (2)张伯伯有一笔钱，如果买现价90元一件的衬衫，正好买四件，如果想买原价200元一件的夹克衫，能买多少件？ (3)如果用x表示原价，y表示现价y和x关系式是什么？ 【答案】(1)108元 (2)3件 (3) 【分析】（1）根据上衣的原价和现价，求出折扣，然后再根据裤子的原价求出现价即可； （2）根据题意，先求出张伯伯拥有的钱数，再求得夹克衫的现价，即可求解； （3）根据求得的折扣，列式求解即可． 【详解】（1）解：计算商品打折数：， 裤子的现价为：（元） 答：现价为元； （2）解：先求出张伯伯有的钱数：（元）， 夹克衫的现价为：（元）， 能买夹克衫的件数为：（件） 答：能买3件； （3）由（1）得，折扣为， 则， 故答案为， 【点睛】本题考查了有理数乘除的应用以及列代数式，解题的关键是正确理解题意． 26．元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去探望爷爷、奶奶和姥爷、姥姥．早上从家里出发，向东走了5千米到超市买东西，然后又向东走了千米到爷爷家，下午从爷爷家出发向西走了10千米到姥爷家，晚上返回家里． (1)若以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和姥爷家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)超市和姥爷家相距多少千米？ (3)若小轿车每千米耗油升，求小明一家从出发到返回家，小轿车的耗油量． 【答案】(1)见解析 (2)7.5千米 (3)升 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，有理数与数轴： （1）根据题意在数轴上表示出各点即可； （2）先求出姥姥家表示的数，再根据数轴还是那个两点距离计算公式求解即可； （3）先求出总路程，再求出总油耗即可． 【详解】（1）解：点A，B，C即为如图所示． （2）解： ∴超市和姥爷家相距千米； （3）解：升， ∴小明一家从出发到返回家，小轿车的耗油量为升． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$