四川省遂宁市安居职业高级中学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

安居职业高级中学校2024下期高2023级数学期半期试卷 一、单选题 1．对于简单随机抽样，个体被抽到的机会（    ） A．相等 B．不相等 C．不确定 D．与抽取的先后顺序有关 2．若高三（2）班男生人，女生人，现用分层抽样方法从中抽出人，则抽出的女生的人数为（ ） A．8 B． C． D． 3．某班教室有名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、号、号学生在样本中，则样本中另外一个学生的编号为 （    ） A． B． C． D． 4．的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．把函数的图像向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 8．函数的最小正周期是，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．若从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 10．已知数据的平均数是5，则这组数据的标准差为（    ） A． B． C． D． 11．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A． B． C． D． 13．函数的部分图象如图所示，其中，则（    ）    A． B． C． D． 14．已知，都是锐角，，，则（   ） A． B． C．D． 15．中，已知，，，则的面积＝（    ） A． B． C． D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题 16． . 17．将一个骰子先后抛掷两次，其中向上的点数之和是6的概率为 （用分数表示）. 18．已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则 ． 19．海上、两个小岛相距海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则、间的距离是 海里． 20．的三个内角所对的边分别是；，则 三、解答题 21．已知集合，非空集合.若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 22．在对某班的一次数学测验成绩进行统计分析中，各分段的人数如图所示（分数取正整数，满分为100分），请观察图形，    (1)求该班有多少名学生? (2)求69.5~79.5分这一组的频数是多少?频率是多少? (3)估算该班这次测验的平均成绩. 23．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组. (1)求课外兴趣小组中男､女同学的人数； (2)经过一个月的学习､讨论，这个兴趣小组决定随机选出两名同学分别去做某项试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率. 24．一艘轮船在大海航行到达A处时，望见北偏东方向有一座灯塔B，此时船和灯塔相距30海里，然后船沿北偏东的方向航行到达C处，望见灯塔B在船的正东方向，如图所示，求C处到灯塔B的距离. 25．已知函数 ，对任意，都有，又函数的图像相邻两条对称轴间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)当时，的值域； (3)若，求的值. 26．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积． (1)求角B的大小； (2)设函数，若，求a． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B A A C D B D 题号 11 12 13 14 15 答案 B A A B B 1．A 【难度】0.94 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样的定义即可求解. 【详解】由简单随机抽样的定义可得，每个个体被抽到的机会都是相等的. 故选：A. 2．B 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样计算即可. 【详解】由题意可知，抽出的女生的人数为人 故选：B 3．B 【难度】0.94 【知识点】等距抽样的组距与编号 【分析】根据系统抽样编号特点解决问题即可. 【详解】某班教室有名学生,现将所有学生随机编号， 用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，则间隔为， 因为6号、号、号学生在样本中， 所以样本中还有一个学生的编号为. 故选：B. 4．B 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据三角函数诱导公式，结合两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为， 故选：B. 5．A 【难度】0.85 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式 【分析】将两边平方，利用同角三角函数平方关系与正弦的二倍角公式即可得解. 【详解】因为， 所以 ，解得. 故选：A. 6．A 【难度】0.94 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据正弦型函数的图像变换的规则求解即可. 【详解】把函数的图像向左平移个单位长度可得， 再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得. 故选：A. 7．C 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理和条件等式整体代入求角A的余弦值即可求角. 【详解】由可得：， 则，且△ABC中，， 则. 故选：C. 8．D 【难度】0.4 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求函数值或参数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式将函数解析式化简为，再利用周期公式表示出函数的最小正周期，将已知的周期代入得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为， 所以， 又因为，所以. 故选：. 9．B 【难度】0.85 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】列举法列出所有的结果，选出符合条件的结果，利用古典概型计算公式，即可求出结果. 【详解】从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为， 将取出的，记为，所有可能出现的结果为： ，共8个， 其中满足的有，共3个， 所以，的概率为. 故选：B. 10．D 【难度】0.94 【知识点】平均数的概念与计算、极差、方差、标准差的概念与计算 【分析】根据平均数得到，进而利用方差和标准差公式求出答案. 【详解】由题意得，解得， 故这组数据的方差为， 故标准差为. 故选：D 11．B 【难度】0.85 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、求特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】利用任意角的三角函数结合条件充分性与必要性进行判断即可. 【详解】设，则“”，则，充分性不成立； ，则，必要性成立； 则“”是“”的必要不充分条件； 故选：B. 12．A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等式的性质与方程的解 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得， 则选项A中，“”不能推出“”， “”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确. 则选项B中，与方程中的范围相同，故B错误. 则选项C中，“”能推出“”， “”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误. 则选项D中，“”能推出“”， “”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：A. 13．A 【难度】0.65 【知识点】由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式 【分析】首先根据图象求得函数的周期，进而求得的值，再由点求得的值. 【详解】由图象可知，， 所以，解得， 所以， 因为点在函数图象上， 代入得， 即， 所以， 因为，所以当时，， 故函数的解析式为. 故选：A. 14．B 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据题意判断，的范围，从而求出的值，将写为，再用两角和与差的余弦公式代入化简即可. 【详解】由于都是锐角，所以， 则，； 因为， 所以； 结合同角三角函数关系可得； 所以 . 故选：B. 15．B 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及应用、余弦定理及辨析 【分析】利用正弦余弦定理分别列出关于的式子，求出，再代三角形面积公式. 【详解】由可得：， 且由正弦定理，可得： ，即， 代入可得：， 解得， ， 则. 故选：. 16． 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 则原式. 故答案为：. 17． 【难度】0.94 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】先求出将一个骰子先后抛掷两次的基本事件总数为36，再用列举法求出两次点数之和为6包含的基本事件的个数，根据古典概型计算公式可求解． 【详解】设｛向上的点数之和是6｝，由题知 一个骰子先后抛掷两次，共有36个基本事件，而事件A包含共5个基本事件， 根据古典概型计算公式，可得. 故答案为： 18． 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理边化角和同角三角函数的商数关系进行求解即可. 【详解】由题可知， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 又因为为的三个内角， 即，故是等边三角形， 所以. 故答案为：. 19． 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】先根据和求出，进而根据正弦定理求得． 【详解】根据题意画出示意图： 因为,，所以, 由正弦定理知, 解得. 故答案为：． 20． 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理以及同角三角函数关系化简解答即可. 【详解】因为的三个内角所对的边分别是， 且， 所以由正弦定理得，， 即有，即， 再由正弦定理得，，即， 故答案为： . 21． 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要不充分条件的定义得，利用集合与集合之间的关系列式即可求解. 【详解】由题意知， 因为“”是“”的必要不充分条件，则， 又集合S为非空集合，则，解得， 所以实数m的取值范围为. 22．(1)60 (2)18，0.3 (3)70.5 【难度】0.85 【知识点】平均数的概念与计算、其它统计图表的应用 【分析】（1）结合图形，将各组频数之和相加即可求解. （2）由直方图得出对应的人数，再通过频率的计算方法即可求解. （3）根据平均数的计算方法即可求解. 【详解】（1）根据直方图的意义，该班总人数为各组频数之和. 即该班人数：. （2）分数为这一组有18人，故频率为. （3）根据平均数的计算方法， 平均成绩. 23．(1)男同学的人数为人，女同学的人数为人. (2). 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（）先求出每个同学被抽到的概率，利用分层抽样的方法即可求出兴趣小组的男生人数和女生人数. （）根据题意写出基本事件，利用古典概型公式即可得解. 【详解】（1）某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组， 每个同学被抽到的概率为. 课外兴趣小组中男同学的人数为人，女同学的人数为人. 综上所述，课外兴趣小组的男同学的人数为人，女同学的人数为人. （2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有6种，分别为： ， 其中有一名女同学包含的基本事件有3种，分别为：， 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为. 24．海里 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据正弦定理求解BC即可. 【详解】在中，根据题意可知， ，，， 由正弦定理可得， 即， 解得. 故C处到灯塔B的距离为海里. 25．(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域或最值及对应x值、由正弦（型）函数的周期性求函数值或参数值、根据三角函数的图象或性质求解析式或参数 【分析】（1）根据函数的最值得到，再根据函数图像周期得到，即可求解. （2）根据正弦型函数的性质求解值域. （3）根据诱导公式化简所求代式，再根据即可求解. 【详解】（1）因为函数，对任意，都有，所以, 又函数的图像相邻两条对称轴间的距离为， 所以函数的周期，解得， 得到函数的解析式为. （2）因为，得到， 所以，故， 即函数的值域. （3）因为，所以， 即. 26．(1) (2)3 【难度】0.85 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先由余弦定理将边化角，再由面积相等即可求解，即可求解角B的大小. （2）先应用辅助角公式将函数化为正弦型，再求解角A的值，再由正弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得：， ， 又， ， . （2） ， ， ， ， ，， ，， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$