几何与代数协同求离心率讲义-2026届高三数学一轮复习之解透一题系列

第13题 几何密钥解码，代数工具协同求离心率（解透一题） 【成都市2024-2025学年高三下学期二诊T7】 已知双曲线的右焦点为，若关于直线的对称点        P在双曲线C上.则双曲线C的离心率为（  ） A.    B.     C.    D.      考的过程 在双曲线相关问题的研究中，求解双曲线的离心率是一个重要的课题.离心率作为双曲线的关键参数，能够反映双曲线的形状特征.对于已知双曲线右焦点关于某直线对称点在双曲线上的情况，精确求解离心率具有一定的挑战性，需要综合运用多种数学方法和知识. 【方法一】利用对称点和点在双曲线上的性质 设双曲线的右焦点为，其中.依据点关于直线对称的性质，可求出点 关于直线的对称点的坐标.点关于直线对称的性质表明，两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上.即直线的斜率与直线的斜率3满足，同时与两点的中点满足直线方程.求P点坐标后，将其代入双曲线方程，再结合和离心率，即可求解离心率. 因为直线的斜率，且，所以 ，即.又因为，所以. 联立方程组，将代入可得： ，等式两边同时乘以得到 ，展开可得， 移项合并同类项得，解得. 把代入得， 所以. 将P点坐标代入双曲线方程得： . 因为，设，则， 上式可化为. 通分得到，即， 整理得. 令，则方程变为. 由求根公式，解得或（因为，所以舍去）. 所以，则. 方法的关键在于准确求出对称点的坐标，充分利用了点关于直线对称的两个重要性质.在代入双曲线方程后，得到的四次方程转，通过换元可以化为关于的二次方程.计算过程中涉及到较多的代数运算，需要仔细认真，以避免计算错误 作为小题，显得小题大做. 【方法二】向量法优化对称点的坐标求法 设，，直线的方向向量为，.根据对称点连线与对称轴垂直的性质，可知与直线的方向向量垂直，所以，即.同时，F与P的中点在直线上，可得.联立这两个方程求出P点坐标 设，根据对称点连线与对称轴垂直的性质得方程组 解得，，所以. 后续将P点坐标代入双曲线方程，与方法一的化简计算过程相同，最终可得 向量法的优点是将几何关系用向量的运算表示出来，更加简洁明了.通过向量垂直和中点在直线上这两个条件建立方程组，思路清晰.但同样在后续代入双曲线方程求解离心率时，需要进行复杂的代数运算，要注意运算的准确性.同时，对于向量的相关知识和运算要熟练掌握. 【方法三】几何推理+ 公式法 当题目直接给出与焦点相关或隐含几何条件（如焦点三角形为直角三角形、等边三角形等），思考回归定义，基于的焦点三角形离心率优化运算.做示意图 . 双曲线的标准方程为，焦距为，焦点，设左焦点为.直线的倾斜角为，则，进而可得. 在中： 根据中点性质可得： 根据双曲线定义： 因此，离心率 对称性转化：利用对称轴垂直平分线段的性质，直接构建直角三角形以简化计算. 几何关系优先：通过中点和平行关系推导线段比例，避免进行坐标代数运算. 离心率公式直接应用：在焦点三角形中将几何量与直接关联，迅速得出 的值.   易错点提醒：1、 要注意双曲线定义中距离差的绝对值条件（需验证)）.2、准确判断 的直角位置，需严格依据对称性和中点性质进行验证. 通过几何对称性、平行关系与三角函数的结合，可高效解决双曲线离心率问题.此类问题需重点挖掘题目中的几何特征，减少代数运算量，突出数学直观与逻辑推理的核心素养. 【双曲线焦点三角形中公式应用求e】 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【椭圆焦点三角形】 2．设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线左支交于，两点，两点关于轴对称，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13题 几何密钥解码，代数工具协同求离心率（解透一题） 【成都市2024-2025学年高三下学期二诊T7】 已知双曲线的右焦点为，若关于直线的对称点        P在双曲线C上.则双曲线C的离心率为（  ） A.    B.     C.    D.      考的过程 在双曲线相关问题的研究中，求解双曲线的离心率是一个重要的课题.离心率作为双曲线的关键参数，能够反映双曲线的形状特征.对于已知双曲线右焦点关于某直线对称点在双曲线上的情况，精确求解离心率具有一定的挑战性，需要综合运用多种数学方法和知识. 【方法一】利用对称点和点在双曲线上的性质 设双曲线的右焦点为，其中.依据点关于直线对称的性质，可求出点 关于直线的对称点的坐标.点关于直线对称的性质表明，两点连线与对称轴垂直，且两点的中点在对称轴上.即直线的斜率与直线的斜率3满足，同时与两点的中点满足直线方程.求P点坐标后，将其代入双曲线方程，再结合和离心率，即可求解离心率. 因为直线的斜率，且，所以 ，即.又因为，所以. 联立方程组，将代入可得： ，等式两边同时乘以得到 ，展开可得， 移项合并同类项得，解得. 把代入得， 所以. 将P点坐标代入双曲线方程得： . 因为，设，则， 上式可化为. 通分得到，即， 整理得. 令，则方程变为. 由求根公式，解得或（因为，所以舍去）. 所以，则. 方法的关键在于准确求出对称点的坐标，充分利用了点关于直线对称的两个重要性质.在代入双曲线方程后，得到的四次方程转，通过换元可以化为关于的二次方程.计算过程中涉及到较多的代数运算，需要仔细认真，以避免计算错误 作为小题，显得小题大做. 【方法二】向量法优化对称点的坐标求法 设，，直线的方向向量为，.根据对称点连线与对称轴垂直的性质，可知与直线的方向向量垂直，所以，即.同时，F与P的中点在直线上，可得.联立这两个方程求出P点坐标 设，根据对称点连线与对称轴垂直的性质得方程组 解得，，所以. 后续将P点坐标代入双曲线方程，与方法一的化简计算过程相同，最终可得 向量法的优点是将几何关系用向量的运算表示出来，更加简洁明了.通过向量垂直和中点在直线上这两个条件建立方程组，思路清晰.但同样在后续代入双曲线方程求解离心率时，需要进行复杂的代数运算，要注意运算的准确性.同时，对于向量的相关知识和运算要熟练掌握. 【方法三】几何推理+ 公式法 当题目直接给出与焦点相关或隐含几何条件（如焦点三角形为直角三角形、等边三角形等），思考回归定义，基于的焦点三角形离心率优化运算.做示意图 . 双曲线的标准方程为，焦距为，焦点，设左焦点为.直线的倾斜角为，则，进而可得. 在中： 根据中点性质可得： 根据双曲线定义： 因此，离心率 对称性转化：利用对称轴垂直平分线段的性质，直接构建直角三角形以简化计算. 几何关系优先：通过中点和平行关系推导线段比例，避免进行坐标代数运算. 离心率公式直接应用：在焦点三角形中将几何量与直接关联，迅速得出 的值.   易错点提醒：1、 要注意双曲线定义中距离差的绝对值条件（需验证)）.2、准确判断 的直角位置，需严格依据对称性和中点性质进行验证. 通过几何对称性、平行关系与三角函数的结合，可高效解决双曲线离心率问题.此类问题需重点挖掘题目中的几何特征，减少代数运算量，突出数学直观与逻辑推理的核心素养. 【双曲线焦点三角形中公式应用求e】 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用正弦定理，再结合双曲线定义及两角和差的正弦公式计算化简即可求解. 【详解】 依题意得， 则的离心率为 故选：B. 【椭圆焦点三角形】 2．设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【详解】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点A在C上，点B在y轴上，，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个的齐次式，求解离心率. 【详解】    因为，所以三点共线， 又   ，所以  为直角三角形， 记 ，则 ， 由椭圆定义和对称性可得 ， 则有，解得或（舍去）， 则， 记 ，则 ， 在中，由余弦定理得 ，整理得 ， 则椭圆C的离心率为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：椭圆过焦点的三角形问题，关键是充分利用椭圆定义，结合余弦定理、勾股定理得到关于的齐次式，然后可求离心率. 4．双曲线的左右焦点分别为是双曲线右支上一点，点关于平分线的对称点也在此双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由题意可知且三点共线，设，根据双曲线的定义求得，，，在、中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】如图，设关于平分线的对称点为Q，则该角平分线为线段的垂直平分线， 所以，且三点共线，设， 则，，所以， 在中，由余弦定理，得， 又，所以，解得，所以， 在中，由余弦定理，得， 整理，得，由，解得. 即双曲线的离心率为. 故选：B 5．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与双曲线左支交于，两点，两点关于轴对称，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用两点间的距离公式及点在双曲线上，得到，，，再结合条件，得到方程，即可求解. 【详解】连接，因为关于轴对称，则， 设，， 则，又，得到， 所以， 又，则，，同理可得， 因为，所以，整理并化简得到， 又因为，将代入，并化简得， 所以，整理得到，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于用的横坐标表示，再结合条件建立等量关系，即可求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$