精品解析：辽宁省锦州市某校2024-2025学年高三下学期第五次模拟数学试卷

2025届高三第五次模拟考试 高三数学试题 附中高三数学备课组 一､选择题：本题共小题，每小题脑分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，且z在复平面内对应点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件C不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A，B同时发生的概率 6. 已知等差数列的公差，是其前项和，若，，成等比数列，且，则的最小值是 A. B. C. D. 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题绘出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组数据的方差为，则所有数据都相同 B. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变 C. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 D. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它第70百分位数为7 10. 设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列 11. 如图，是某同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线最多存在3个交点 B. 存在a，使得曲线是偶函数的图象 C. 当时，曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数 D. 若曲线如题图所示（x轴向右正方向，y轴向上为正方向），则 三､填空题本题共3小题每小题5分，两个空的题，前空2分，后空3分，共5分 12. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______． 13. 渤大附中校园景色优美，道路和楼宇的命名都蕴含着深远的意义，值得同学们在三年的时光里驻足留意.小陈､小张等6位即将毕业的同学在知博楼､君子路､红色文化广场､三到园4个标志性场所中各选择一个拍照留念，若每个地方至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一处地方拍照，且小陈､小张不在同一个地方拍照，则不同的拍照方式共有__________种.（用数字作答） 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点. （1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为______； （2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______. 四､解答题本题共小题，共7分.解答应泻出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，D为的中点，若． （1）求； （2）若，求的最小值． 16. 如图，在三棱柱中，平面，，分别是的中点. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：平面； （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值. 17. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． （1）求及的分布列． （2）写出与的递推关系式，并证明为等比数列； （3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​） 18. 已知直线与椭圆交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）. （1）求椭圆的方程； （2）若射线与椭圆，直线分别交于 两点，且成等比数列 （i） 求点到直线的距离的最大值; （ii） 当直线与轴垂直时，求的外接圆方程. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； （2）设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三第五次模拟考试 高三数学试题 附中高三数学备课组 一､选择题：本题共小题，每小题脑分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域的求法可分别确定集合，由交集定义可得结果. 【详解】由得：或，即； ，，即， . 故选：B. 2. 已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在和的垂直平分线上，求解即可. 【详解】由复数的几何意义可知，到的距离等于到的距离，故在和的垂直平分线上， 又的中点且，所以的垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即. 故选：A. 3. 已知 ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】由题意可得，解得， 所以， 因此. 故选：A. 4. 已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量的定义及向量相等得，再应用向量数量积的坐标表示得，最后应用基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题意，可得，故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 5. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（ ） A. 事件A发生的概率 B. 事件B发生的概率 C. 事件C不发生条件下事件A发生的概率 D. 事件A，B同时发生的概率 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，列式计算出阴影部分面积，结合对立事件的概率性质与条件概率公式化简即可. 【详解】依题意，图示中涂色部分的面积为 . 故选：A. 6. 已知等差数列的公差，是其前项和，若，，成等比数列，且，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，∴，，，，时，最小.选A. 考点：等差数列与等比数列综合，数列最值 【方法点睛】求解数列中的最大项或最小项的一般方法 先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 7. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，可得，进而根据奇偶性的定义可判断为偶函数，根据对勾函数的单调性以及复合函数单调性原则可得的单调性，即可求解. 【详解】，由于， 故为偶函数， 当时，则在单调递增，因此在单调递增， 因此在单调递减， 由可得，解得， 故选：A 8. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得且，由离心率的概念可得，结合勾股定理计算可得，进而求解. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分， 可得；设圆柱底面半径为，则，所以， 设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得，则， 即，所以，得， 又由勾股定理得，解得， 故. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题绘出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若一组数据的方差为，则所有数据都相同 B. 在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变 C. 已知一组样本点的经验回归方程为，若其中两个样本点和的残差相等，则 D. 已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7 【答案】AC 【解析】 【分析】根据方差的定义判断A，计算新数据的卡方，即可判断B，根据残差的定义得到方程，即可判断C，根据百分位数的定义判断D. 【详解】对于A：若一组数据的方差为，所以所有数据都相同，故A正确； 对于B：若原数据的卡方记作，即， 则新数据的卡方记作，则 ， 所以结论可能会发生改变，故B错误； 对于C：依题意，所以，故C正确； 对于D：因为，所以第70百分位数为，故D错误. 故选：AC 10. 设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列等比数列 C. 数列为等比数列 D. 数列为等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】A令即可；C降标作差即可求出；B利用等比数列通项公式即可求出，进而求出，最后利用等比数列的定义求证；D利用通项公式化简，最后利用等比数列的定义求证. 【详解】选项A，，A对； 选项C，因为，则当时，， 两式作差得，，变形为， 又，则，故， 故当时，等比数列，公比为2，首项为， 故，即，显然不满足， 故的通项公式为，C错误； B选项，时，， 又符合上式，故， 由于时，，故为等比数列，B正确； D选项，由C选项可知，，则， 故时，， 所以为等比数列，D正确. 故选：ABD 11. 如图，是某同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线最多存在3个交点 B. 存在a，使得曲线是偶函数的图象 C. 当时，曲线中的部分可以表示为y关于x的某一函数 D. 若曲线如题图所示（x轴向右为正方向，y轴向上为正方向），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：转化为三次方程根的个数问题研究；对于B：举特例说明存在值使曲线是偶函数的图象；对于C：令，由零点存在性定理说明方程至少两根，对应值不唯一即可说明不是的函数；对于D：转化为三次方程根的个数问题研究，结合导数分析判断. 【详解】对于选项A：曲线方程， 令，得关于的一元三次方程， 令，则， 可知最多两根，即函数最多两个极值点， 则有3个单调区间，所以方程最多有三个实根，故A正确； 对于选项B：当时，曲线，即函数的图象， 设，，定义域关于原点对称. 且，所以是偶函数. 故存在，使得曲线是偶函数的图象，故B正确： 对于选项C：若，令可得，即， 令，则， 可知在内均有零点，即方程的根不唯一， 所以曲线中的部分不可以表示为y关于x的某一函数，故C错误； 对于选项D：若曲线如题图所示，则存在，使得与曲线图象有三个交点， 即存在，关于的方程有三个实根. 令，则， 假设，，都有，即单调递增， 则方程在最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误. 因此，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题本题共3小题每小题5分，两个空的题，前空2分，后空3分，共5分 12. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______． 【答案】80 【解析】 【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果. 【详解】由题意，令，则，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以. 故答案为： 13. 渤大附中校园景色优美，道路和楼宇的命名都蕴含着深远的意义，值得同学们在三年的时光里驻足留意.小陈､小张等6位即将毕业的同学在知博楼､君子路､红色文化广场､三到园4个标志性场所中各选择一个拍照留念，若每个地方至少有一位同学拍照，每位同学都恰选择一处地方拍照，且小陈､小张不在同一个地方拍照，则不同的拍照方式共有__________种.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6人分为4组，要求小陈､小张不在同一组，分为3､1､1､1的四组，分为2､2､1､1的四组,②将四组安排在4座标志性建筑中拍照.然后求解. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将6人分为4组，要求小陈､小张不在同一组， 若分为3､1､1､1的四组，有种分组方法， 若分为2､2､1､1的四组，有种分组方法，则有种分组方法； ②将四组安排在4座标志性建筑中拍照，有种情况，故有种排法. 故答案为：. 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点. （1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为______； （2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以D为坐标原点，为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，由已知可得所形成的阿氏圆；由题意可得，所以点P的轨迹为的一部分，当P在上时，三棱锥的体积最大，进而可求体积的最大值. 【详解】以D为坐标原点，为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，因为，所以， 整理得，故点P所形成的阿氏圆的半径为； 因为平面平面，所以， 所以，又，则， 因为E是靠近D的三等分点，所以， 由（1）可知，点P的轨迹为的一部分， 则当P在上时，三棱锥的体积最大，设此时P为， 所以， 则三棱锥体积的最大值是. 四､解答题本题共小题，共7分.解答应泻出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若． （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理化简得到求解； （2）根据D为的中点，得到，然后平方结合基本不等式求解. 【小问1详解】 解：由， 利用正弦定理可得：， ， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由D为的中点， ∴， ∴， ， 又∵，∴ ， ∴， ∴， 当且仅当时，取最小值． 16. 如图，在三棱柱中，平面，，分别是的中点. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：平面； （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】 【详解】分析：（Ⅰ）先证明平面，再证明.( Ⅱ) 取中点，连接、．先证明DE∥AM，再证明平面.( Ⅲ)利用向量法直线与平面所成角的正弦值. 详解：（Ⅰ）因为⊥平面，平面， 所以． 因为，，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以． （Ⅱ）取的中点，连接、． 因为、分别是、的中点， 所以ME∥，且ME． 在三棱柱中，，且， 所以ME∥AD，且ME=AD， 所以四边形ADEM是平行四边形， 所以DE∥AM． 又平面，平面， 所以平面． （Ⅲ）在三棱柱中，， 因为，所以． 在平面内，过点作， 因为，平面， 所以，平面． 建立空间直角坐标系C-xyz，如图．则 ,,,,,. ，，． 设平面的法向量为，则 ，即， 得，令，得，故． 设直线DE与平面所成角为θ， 则sinθ＝ ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和线面角的向量求法，意在考查空间位置关系证明中的转化能力和运算能力. 17. 某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额的数学期望为． （1）求及的分布列． （2）写出与的递推关系式，并证明为等比数列； （3）若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据：​） 【答案】（1），分布列见解析； （2），证明见解析； （3）（元） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，的取值及相应的概率，再利用期望的计算公式，即可求出结果； （2）根据条件，建立关系式，即可求出结果，再构造成，利用等比数列的定义，即可证明结果； （3）由（2）得到，即可求出结果. 【小问1详解】 依题意，抽到一个红球的概率为，抽到一个黑球的概率为0.4， 显然的值为25，50，则， 所以， 又的值为， 则， 所以的分布列为： 25 50 100 0.4 0.24 0.36 【小问2详解】依题意，当时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为，对应概率为， 抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为， 因此当时，， ，即，又， 数列为等比数列，公比为1.2，首项为90． 【小问3详解】 由（2）得，，即， 所以顾客甲抽奖6次，所得奖券数额的期望为（元）． 18. 已知直线与椭圆交于两点 （在下方，在上方），线段的中点为，直线的斜率为（为坐标原点）. （1）求椭圆的方程； （2）若射线与椭圆，直线分别交于 两点，且成等比数列. （i） 求点到直线距离的最大值; （ii） 当直线与轴垂直时，求的外接圆方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，得到，两式相减，结合斜率公式，化简得到，求得，进而得到椭圆的方程； （2）（i）设，联立方程组，得到，则，得到，再由的方程为，联立方程组求得，根据成等比数列，得到，列出方程求得，得到直线恒过定点，结合，得到点到直线的距离的最大值； （ii）由（i）得和，将其代入直线方程，求得，求得直线的方程为，设的外接圆的圆心为，求得，得出圆的半径，进而求得外接圆的方程. 【小问1详解】 解：设，则， 由点在椭圆上，可得， 两式相减，可得， 即，可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：（i）联立方程组，整理得， 设，可得，则， 因为点为的中点，所以， 若射线与椭圆，直线分别交于两点， 可得且射线的方程为， 联立方程组，解得， 因为成等比数列，知，可得， 故，可得，解得， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点， 当直线时，可得，点到直线的距离的最大值为. （ii）由（i）得， 当直线与轴垂直时，可得， 将其代入直线，整理得， 则且，解得（舍去）或， 因为，所以，此时关于轴对称， 此时直线的方程为，此时， 由于的外接圆的圆心在轴上，可设的外接圆的圆心为， 可得，解得， 所以的外接圆的半径为， 所以的外接圆的方程为. 19. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； （2）设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形； （3）证明：. 【答案】（1） （2）函数的定义域为，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，由题意可得，由此可求得实数的值； （2）求出函数的解析式，可得出其定义域，可知函数的定义域关于直线对称，然后证明出，即可证得结论成立； （3）当时，求出函数的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，再利用对数函数的单调性化简可得出所证不等式. 【小问1详解】 因为， 则， 由题意可知，，解得. 【小问2详解】 ， 对于函数， 有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，则，可得，解得或， 所以，函数的定义域为，故该定义域关于直线对称， 因为 ， 故函数的图象关于直线对称，所以曲线是轴对称图形. 【小问3详解】 当时，， 则，令， 则， 当时，，则函数在上为增函数，此时，， 即，所以，函数在上为增函数，此时，， 取，可得， 于是，即， 所以，， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$