精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

武安一中2024-2025学年第二学期5月考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 4. 某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：） A. 16 B. 10 C. 8 D. 2 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 10. 已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中有理项有6项 B. 展开式中第项的系数最大 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为 D. 展开式中含项的系数为 11. 甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（ ） A. 甲获胜的概率为 B. 两人比赛4局结束的概率为 C. 在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D. 在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若指数函数满足，则_____． 13. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________． 14. 有数学、物理、化学三类竞赛名额各个，将所有名额全部分给甲、乙两所学校，每所学校每类名额至少分得一个，则甲学校所得到的三类名额的个数的乘积与乙学校所得到的三类名额的个数的乘积相等的分法有________种（用数字作答）． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 16. 某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，并绘制了如下表格： 配置 甲 乙 丙 丁 频数 25 40 15 20 （1）每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100部该款手机的销售情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润； （2）该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为，将样本频率视为概率，求的分布列、均值与方差. 17. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 18. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． （1）求五张字母牌互不相邻的概率； （2）求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； （3）对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象不在直线的上方，求实数的值； （3）若，讨论函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武安一中2024-2025学年第二学期5月考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出不等式组，求出解集，即为定义域. 【详解】由题意得：，解得：，故定义域为 故选：C 2. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再利用函数性质比较、、的大小. 【详解】已知，其定义域为，关于原点对称. 且，所以函数是偶函数. 那么.  当时，. 因为，所以在上单调递增.  因为，且在上单调递增，所以. 又因为，所以.  故选：A. 3. 某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】将，捆绑，先排同学，再将其余同学（看做一个整体）全排列. 【详解】根据题意，因为，两名同学相邻，所以有种， 又因为同学不站在两端，所以有种，其他同学（看做一个整体）进行排列有种， 所以不同的排列方式种数为. 故选：B. 4. 某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率. 【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 由题意得：，，， 由全概率公式，得：， 因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为. 故选：B. 5. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：） A. 16 B. 10 C. 8 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】因为数学成绩，所以，因此由 所以有， 估计该班数学得分大于120分的学生人数为， 故选：C 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】从图象可知函数的图象关于原点对称，所以函数是奇函数． 因为，是偶函数，是奇函数， 所以都是偶函数，可排除A，D． 对于，对于C，， 结合题图可知选B． 故选：B 7. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可判断为奇函数，从而得到关于对称，则，再判断的单调性，由对称性将不等式化为，再由单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为，令，， 则， 所以为奇函数，则关于原点对称，所以关于对称， 则， 则在定义域上单调递增，在上单调递减，所以在定义域上单调递减， 则在定义域上单调递减， 则不等式，即，所以， 则，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 是周期为2的函数 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可. 【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误； 对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误. 故选：AC. 10. 已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中有理项有6项 B. 展开式中第项的系数最大 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为 D. 展开式中含项的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据展开式中第项与第项的二项数系数相等求出，根据展开式的各项系数之和为，求出，再根据通项公式及二项式系数的性质可判断出答案. 【详解】依题意可得，得，得， 得，得. 在展开式中，令，得，因为，所以，所以. 展开式的通项为，, 对于A，由为整数，得，所以展开式中有理项有6项，故A正确； 对于B，因为展开式中各项的系数等于各项的二项式系数，且为奇数，所以展开式中第6项的二项式系数最大，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确； 对于C，根据二项式系数的性质可得，展开式中奇数项的二项式系数和为，故C不正确； 对于D，令，得，所以展开式中含项的系数为，故D正确. 故选：ABD. 11. 甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率是.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利（比赛无平局），则（ ） A. 甲获胜的概率为 B. 两人比赛4局结束的概率为 C. 在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是 D. 在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由独立重复事件概率计算公式及条件概率计算公式逐个判断即可. 【详解】甲获胜的概率为A正确； 两人比赛4局结束的概率为B正确； 对于C，比赛进入第三局，前两局是平，则在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率为C不正确； 由A知，乙获胜的概率为，在此条件下，乙赢得第二局胜利的概率为D正确， 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若指数函数满足，则_____． 【答案】27 【解析】 【分析】令且，根据题设得，即可求解. 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 13. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，种数为2×2=4 ， 所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12 ，因为三个人去的景点不同的种数为3×2×1=6，所以P（A|B）=. 故答案为 14. 有数学、物理、化学三类竞赛名额各个，将所有名额全部分给甲、乙两所学校，每所学校每类名额至少分得一个，则甲学校所得到的三类名额的个数的乘积与乙学校所得到的三类名额的个数的乘积相等的分法有________种（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】设甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为、、，其中、、且、、，推导出、、中至少有一个，然后列举出满足题设条件的排列，即可得解. 【详解】设甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为、、， 其中、、且、、， 则甲学校所得到数学、物理、化学三类竞赛名额分别为、、， 由题意可得， 若、、均不为，则、、中有两个数大于一个数小于或者两个数小于一个数大于， 由于对称性，不妨考查、均小于，大于，则、，， 则，则，，故， 当时，则，因为，， 等式不成立； 当时，则，因为，， 由于，且为的倍数也为的倍数， 而、、、、中没有的倍数，不合乎题意； 当时，则，因为，， 又因为为的倍数，， 可得，所以，， 若时，则，此时， 若，则或，此时， 若，则，此时，均不合乎题意； 当时，则，因为，， 则，可得，故， 若，则，此时； 若，则或，此时， 若，则或，此时， 若，则，此时，均不合乎题意. 故、、中至少有一个为，不妨设，则， 由可得，则， 当时，只有种情况， 当为、、的一个排列时，有种情况； 当为、、或、、或、、的一个排列时，各有种情况. 综上所述，符合条件的分法种数为种. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表： 年份序号x 1 2 3 4 5 招生人数y/千人 0.8 1 1.3 1.7 2.2 （1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明； （2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数． 参考数据：，，． 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）证明见解析 （2），2.8千人． 【解析】 【分析】（1）求出，代入求出相关系数即可； （2）根据公式求出，再求出，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可. 【小问1详解】 由题意知，， ， 所以， 因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 ，， 所以关于的回归直线方程为． 当时，， 由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人． 16. 某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，并绘制了如下表格： 配置 甲 乙 丙 丁 频数 25 40 15 20 （1）每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100部该款手机的销售情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润； （2）该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为，将样本频率视为概率，求的分布列、均值与方差. 【答案】（1）475元. （2）分布列见解析，，. 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数公式，计算平均数即可. （2）甲配置型号手机售出的数量服从二项分布，根据二项分布写出分布列，根据二项分布期望和方差的公式计算期望和方程即可. 【小问1详解】 依题意，， 所以该商场销售一部该款手机的平均利润为475元. 【小问2详解】 该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为. 由题意，甲配置型号手机售出的数量服从二项分布，即， 则所有可能取值为0，1，2，3，4，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 由，得，. 17. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 18. 13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． （1）求五张字母牌互不相邻的概率； （2）求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； （3）对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解； （2）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解； （3）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解. 【小问1详解】 记五张字母牌互不相邻为事件为， 则； 【小问2详解】 记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件， 由于标的牌都在标有的牌的右侧，有种排法， 所以； 【小问3详解】 标号比小的数字牌有张，比大的数字牌有张， . 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的图象不在直线的上方，求实数的值； （3）若，讨论函数的零点个数. 【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减. （2）. （3）当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点； 当时，函数无零点. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，分和两种情况讨论即可， （2）设，分和两种情况进行求导讨论即可. （3）对函数进行求导，分，，三种情况进行讨论，对每种情况的函数进行求导然后结合单调性分析出零点的情况. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，可得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 设， 函数的定义域为，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 又，所以当时，，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即. 令，则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，所以，即. 【小问3详解】 根据题意，， 由，且，得函数为减函数， 设，即，函数的最大值为. ①当时，，所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数有最大值，所以函数只有一个零点. ②当时，， 且时，，时，， 所以函数在的两侧各有一个零点. ③当时，，所以可得. 利用代入到原函数中可得， ， 设，， 容易判定是关于的增函数，所以， 所以函数的最大值为，即当时，函数无零点. 综上，当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点；当时，函数无零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $