期末复习（易错题30个考点52题）-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

期末复习（易错题30个考点52题） 一．平面向量的相等与共线（共1小题） 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量（a，b）与（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a，b＝2，求△ABC的面积． 二．平面向量的加减混合运算（共1小题） 2．如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB＝3AD，BC＝2BE． （Ⅰ）用向量，表示． （Ⅱ）设AB＝6，AC＝4，A＝60°，求线段DE的长． 三．平面向量的数乘与线性运算（共1小题） 3．如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则λ﹣μ的值为（　　） A．1 B． C． D． 四．平面向量数量积的性质及其运算（共7小题） 4．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，则的值为（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 5．（1，﹣1），（﹣1，2），则（2）（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且λ，，则•的最小值为　 　 ． 7．如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为 　 　 ．若在线段AB上有一个动点M，则的最小值为 　 　 ． 8．已知||，||＝1，与的夹角为45°． （1）求在方向上的投影； （2）求|2|的值； （3）若向量（2λ）与（λ3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 9．已知向量（cos，sin），（cos，﹣sin），函数f（x）•m||+1，x∈[，]，m∈R． （1）当m＝0时，求f（）的值； （2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数g（x）＝f（x）m2，x∈[，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 10．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°． （1）求||； （2）已知点D是AB上一点，满足λ，点E是边CB上一点，满足λ． ①当λ时，求•； ②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 五．平面向量的基本定理（共4小题） 11．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D． 12．在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则（　　） A． B． C． D． 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则3x+y＝（　　） A．﹣1 B． C． D． 14．如图所示，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝　 　 ． 六．平面向量的坐标运算（共1小题） 15．已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 七．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题） 16．设向量（2，4）与向量（x，6）共线，则实数x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 17．已知向量，（其中m＞0，n＞0），若与共线，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．9 八．数量积表示两个平面向量的夹角（共3小题） 18．已知非零向量满足||＝4||，且⊥（），则的夹角为（　　） A． B． C． D． 19．已知，是非零向量且满足（2）⊥，（2）⊥，则与的夹角是（　　） A． B． C． D． 20．已知为单位向量，||＝4，与的夹角为，则在方向上的投影为　 　 ． 九．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题） 21．已知向量，若与垂直，则（　　） A．1 B． C．2 D．4 一十．正弦定理（共1小题） 22．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为（　　） A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150° 一十一．正弦定理与三角形的外接圆（共1小题） 23．已知△ABC的内角A，B，C满足． （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 一十二．余弦定理（共4小题） 24．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　） A． B． C． D． 25．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）． （1）证明：2a2＝b2+c2； （2）若a＝5，cosA，求△ABC的周长． 26．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA＝c． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为，求b+c的值． 27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a+c）••c••0 （1）求角B的大小； （2）若b＝2，求a2+c2的取值范围． 一十三．三角形中的几何计算（共1小题） 28．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求∠B的值； （Ⅱ）给出以下三个条件： 条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0； 条件②：a，b＝1； 条件③：S△ABC． 这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （ⅰ）求sinA的值； （ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长． 一十四．解三角形（共2小题） 29．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7． （1）若B，求c； （2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积． 30．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4acosB﹣bcosC＝ccosB． （1）求cosB的值； （2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长． 一十五．共轭复数（共1小题） 31．复数的共轭复数是（　　） A． B． C．﹣i D．i 一十六．复数的除法运算（共1小题） 32．（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 一十七．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题） 33．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO． （1）求证：EF∥平面ADO； （2）若∠POF＝120°，求三棱锥P﹣ABC的体积． 一十八．圆锥的侧面积和表面积（共1小题） 34．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（　　） A．4π B．5π C．6π D．8π 一十九．圆台的体积（共1小题） 35．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（　　） A．π B．2π C．π D．π 二十．球的体积和表面积（共1小题） 36．过长方体的一个顶点的三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这球的表面积是（　　） A．20π B．25π C．50π D．200π 二十一．球的体积（共1小题） 37．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 　 　 cm． 二十二．平面图形的直观图（共2小题） 38．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（　　） A． B．1 C． D． 39．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′，那么原△ABC是一个（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 二十三．异面直线及其所成的角（共2小题） 40．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 41．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|＝2，则直线B1P与直线AD1所成角的余弦值的取值范围为（　　） A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，] 二十四．空间中直线与直线之间的位置关系（共1小题） 42．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 二十五．直线与平面平行（共1小题） 43．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D． 二十六．直线与平面垂直（共2小题） 44．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 45．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD； （Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 二十七．平面与平面垂直（共2小题） 46．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（　　） ①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β； ③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β； ④m⊥α，n⊥β、且m⊥n，则α⊥β． A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④ 47．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是　 　 ． 二十八．直线与平面所成的角（共3小题） 48．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 49．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 50．如图，在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）若M是侧棱PB中点，求证：CM∥平面PAD； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 二十九．古典概型及其概率计算公式（共1小题） 51．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（　　） A．都不是一等品 B．恰有一件一等品 C．至少有一件一等品 D．至多一件一等品 三十．补全频率分布直方图（共1小题） 52．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（　　） ①a的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86． A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题30个考点52题） 一．平面向量的相等与共线（共1小题） 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量（a，b）与（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a，b＝2，求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为m∥n，所以asin Bbcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A＝0， 又sin B≠0，从而tan A， 由于0＜A＜π，所以A； （2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccos A，及a，b＝2，A， 得7＝4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3＝0， 因为c＞0，所以c＝3． 故△ABC的面积为bcsin A． 二．平面向量的加减混合运算（共1小题） 2．如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB＝3AD，BC＝2BE． （Ⅰ）用向量，表示． （Ⅱ）设AB＝6，AC＝4，A＝60°，求线段DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上， 且AB＝3AD，BC＝2BE； ∴，（）， ∴（）； （Ⅱ）设AB＝6，AC＝4，A＝60°， 则2• 626×4×cos60°42 ＝7， ∴||， 即线段DE的长为． 三．平面向量的数乘与线性运算（共1小题） 3．如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则λ﹣μ的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，可知：在▱ABCD中，， ∵， ∴， 又， 综上两式，可知：λ﹣μ＝1． 故选：A． 四．平面向量数量积的性质及其运算（共7小题） 4．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2，则的值为（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 【答案】C 【解答】解：解法Ⅰ，由题意，2，2， ∴2，∴BC∥MN，且BC＝3MN， 又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（）＝7， ∴MN； ∴BC＝3， ∴cos∠OMN， ∴•||×||cos（π﹣∠OMN）＝31×（）＝﹣6． 解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形， 由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，2，2， 知3333， ∴（﹣33）• ＝﹣33• ＝﹣3×12+3×2×1×cos120° ＝﹣6． 故选：C． 5．（1，﹣1），（﹣1，2），则（2）（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：因为（1，﹣1），（﹣1，2）则（2）（1，0）•（1，﹣1）＝1； 故选：C． 6．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且λ，，则•的最小值为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意，得到AD＝BC＝CD＝1，所以•（）•（）＝（）•（） 2×1×cos60°+λ1×1×cos60°2×11×1×cos120° ＝1（当且仅当时等号成立）； 故答案为：． 7．如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为 　6　 ．若在线段AB上有一个动点M，则的最小值为 　　 ． 【答案】6；． 【解答】解：由已知得正方形ABCD与正方形EFGH的中心重合，不妨设为O， 所以，， 则•6； ，显然，当M为AB的中点时，|MO|min， 所以（）min． 故答案为：6；． 8．已知||，||＝1，与的夹角为45°． （1）求在方向上的投影； （2）求|2|的值； （3）若向量（2λ）与（λ3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在方向上的投影为||cos45°1； （2）•||•||•cos45°11， |2|22+4•42＝2+4+4＝10， 则|2|； （3）向量（2λ）与（λ3）的夹角是锐角， 可得（2λ）•（λ3）＞0，且（2λ）与（λ3）不共线， 即为2λ2+3λ2﹣（6+λ2）•0， 即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6， 由（2λ）与（λ3）共线，可得2•（﹣3）＝﹣λ•λ， 解得λ＝±， 则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）． 9．已知向量（cos，sin），（cos，﹣sin），函数f（x）•m||+1，x∈[，]，m∈R． （1）当m＝0时，求f（）的值； （2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数g（x）＝f（x）m2，x∈[，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）•（cos，sin）•（cos，﹣sin）＝coscossinsincos（）＝cos2x， 当m＝0时，f（x）•1＝cos2x+1， 则f（）＝cos（2）+1＝cos1； （2）∵x∈[，]， ∴||2cosx， 则f（x）•m||+1＝cos2x﹣2mcosx+1＝2cos2x﹣2mcosx， 令t＝cosx，则t≤1， 则y＝2t2﹣2mt，对称轴t， ①当，即m＜1时， 当t时，函数取得最小值此时最小值ym＝﹣1，得m（舍）， ②当1，即m＜1时， 当t时，函数取得最小值此时最小值y1，得m， ③当1，即m＞2时， 当t＝1时，函数取得最小值此时最小值y＝2﹣2m＝﹣1，得m（舍）， 综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m． （3）令g（x）＝2cos2x﹣2mcosxm2＝0，得cosx或， ∴方程cosx或在x∈[，]上有四个不同的实根， 则，得，则m， 即实数m的取值范围是m． 10．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°． （1）求||； （2）已知点D是AB上一点，满足λ，点E是边CB上一点，满足λ． ①当λ时，求•； ②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°， 由余弦定理得， AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB ＝12+22﹣2×1×2×cos60° ＝3， ∴AB，即||； （2）①λ时，，， ∴D、E分别是BC，AB的中点， ∴， （）， ∴•（）•（） ••• 121×2×cos120°2×1×cos60°22 ； ②假设存在非零实数λ，使得⊥， 由λ，得λ（）， ∴λ（）＝λ（1﹣λ）； 又λ， ∴（）+λ（）＝（1﹣λ）； ∴•λ（1﹣λ）λ•（1﹣λ）2•（1﹣λ） ＝4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ） ＝﹣3λ2+2λ＝0， 解得λ或λ＝0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ，使得⊥． 五．平面向量的基本定理（共4小题） 11．如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D． 【答案】B 【解答】解：由已知得， 结合m，n，所以． 又因为O，M，N三点共线，所以， 所以m+n＝2． 故选：B． 12．在等腰梯形ABCD中，2，M为BC的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图所示， 等腰梯形ABCD中， 2，∴，； 又M为BC的中点， ∴， 又， ； ∴2（）+（） ； ∴． 故选：B． 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则3x+y＝（　　） A．﹣1 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连结DE， 由题意知，， 所以DE∥AC，则， 所以， 故（）， 故 ， 又∵， ∴x，y， 故3x+y＝﹣1， 故选：A． 14．如图所示，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m＝　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵P是BN上的一点， 设 ，由 ， 则 ∴m＝1﹣λ， 解得λ，m 故答案为： 六．平面向量的坐标运算（共1小题） 15．已知点A（0，1），B（3，2），向量（﹣4，﹣3），则向量（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 【答案】A 【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到（3，1），向量（﹣4，﹣3）， 则向量（﹣7，﹣4）； 故选：A． 七．平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题） 16．设向量（2，4）与向量（x，6）共线，则实数x＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解答】解；因为向量（2，4）与向量（x，6）共线， 所以4x＝2×6，解得x＝3； 故选：B． 17．已知向量，（其中m＞0，n＞0），若与共线，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【解答】解：因为向量，，且与共线， 所以﹣（m﹣3）﹣2n＝0，m+2n＝3； 又因为m＞0，n＞0， 所以（）•（m+2n）（4+1）（5+2）（5+4）＝3， 当且仅当，即m＝4n＝2时取等号， 所以的最小值为3． 故选：B． 八．数量积表示两个平面向量的夹角（共3小题） 18．已知非零向量满足||＝4||，且⊥（），则的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由已知非零向量满足||＝4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ， 所以•（）＝0，即20，所以cosθ，θ∈[0，π]，所以； 故选：C． 19．已知，是非零向量且满足（2）⊥，（2）⊥，则与的夹角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵（ ）⊥，（ ）⊥， ∴（ ）•2 0， （ ）•2 0，∴2 ，设 与 的夹角为θ， 则由两个向量的夹角公式得 cosθ， ∴θ＝60°， 故选：B． 20．已知为单位向量，||＝4，与的夹角为，则在方向上的投影为　﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为利用投影的定义可知在方向上的投影为：，又知||＝4，与的夹角为， 所以42． 故答案为：﹣2 九．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题） 21．已知向量，若与垂直，则（　　） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：∵向量， ∴（3，n）， ∵与垂直， ∴（）•0， ∴﹣1×3+n2＝0，即n2＝3， ∴2， 故选：C． 一十．正弦定理（共1小题） 22．在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为（　　） A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150° 【答案】B 【解答】解：由正弦定理可知 ， ∴sinB ∵B∈（0，180°） ∴∠B＝60°或120° 故选：B． 一十一．正弦定理与三角形的外接圆（共1小题） 23．已知△ABC的内角A，B，C满足． （1）求角A； （2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 根据， 可得， ∴a2＝b2+c2﹣bc， ∴cosA， 又0＜A＜π， ∴A； （2）由正弦定理得2R， ∴a＝2RsinA＝2sin， 由余弦定理得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc， ∴△ABC的面积为SbcsinA3， （当且仅当b＝c时等号成立）， ∴△ABC面积S的最大值为． 一十二．余弦定理（共4小题） 24．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵b＝c， ∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA）， ∵a2＝2b2（1﹣sinA）， ∴1﹣cosA＝1﹣sinA， 则sinA＝cosA，即tanA＝1， 即A， 故选：C． 25．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）． （1）证明：2a2＝b2+c2； （2）若a＝5，cosA，求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析． （2）14． 【解答】（1）证明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）， 所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA）， 所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC， 即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC， 所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC， 由正弦定理得a2＝2bccosA， 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA， 所以2a2＝b2+c2； （2）当a＝5，cosA时，b2+c2＝2×52＝50，2bc31， 所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9， 所以△ABC的周长为a+b+c＝5+9＝14． 26．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosB+bsinA＝c． （1）求角A的大小； （2）若，△ABC的面积为，求b+c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ABC中，acosB+bsinA＝c， 由正弦定理得：sinAcosB+sinBsinA＝sinC， 又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， ∴sinBsinA＝cosAsinB， 又sinB≠0， ∴sinA＝cosA， 又A∈（0，π）， ∴tanA＝1，A； （2）由S△ABCbcsinAbc， 解得bc＝2； 又a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴2＝b2+c2bc＝（b+c）2﹣（2）bc， ∴（b+c）2＝2+（2）bc＝2+（2）（2）＝4， ∴b+c＝2． 27．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a+c）••c••0 （1）求角B的大小； （2）若b＝2，求a2+c2的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵（2a+c）••c••0 ∴（2a+c）•a•ccosB+c•a•bcosC＝0 即（2a+c）cosB+bcosC＝0 根据正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC＝0， 即2sinAcosB+sin（B+C）＝0， ∴2sinAcosB+sinA＝0， 即cosB，∴B＝120°． （2）由正弦定理得：， ∴a＝4sinA，c＝4sinC， ∴a2+c2＝16（sin2A+sin2C）＝8（2sin2A+2sin2C）＝8（1﹣cos2A+1﹣cos2C） ＝16﹣8cos2A﹣8cos2（A） ＝16﹣8cos2A﹣8（cos2Asin2A） ＝16﹣4cos2A﹣4sin2A ＝16﹣8cos（2A）， ∵B， ∴0＜A， 即0＜2A， ∴2A， ∴cos（2A）≤1， ∴4＜8cos（2A）≤8， 即﹣8≤﹣8cos（2A）＜﹣4， ∴8≤16﹣8cos（2A）＜12， 8≤a2+c2＜12． 即a2+c2的取值范围是[8，12）． 一十三．三角形中的几何计算（共1小题） 28．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求∠B的值； （Ⅱ）给出以下三个条件： 条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0； 条件②：a，b＝1； 条件③：S△ABC． 这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题： （ⅰ）求sinA的值； （ⅱ）求∠ABC的角平分线BD的长． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）条件①③正确，BD． 【解答】解：（Ⅰ）由得： 0， 结合B∈（0，π），得，故B； （Ⅱ）结合（Ⅰ）得，即a2+c2﹣b2+ac＝0……（*）， 因为，故b是最大边，故条件②不成立，即条件①③正确， 对于条件①：a2﹣b2+c2+3c＝0，与（*）式结合得a＝3， 对于条件③：，故ac＝15，所以c＝5， 所以，故b＝7， 所以，即，解得sinA，cosA， 显然， 结合AC＝7，故， 在△ABD中，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA， 故BD． 一十四．解三角形（共2小题） 29．已知三角形ABC中，三个内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，且a＝5，b＝7． （1）若B，求c； （2）设点M是边AB的中点，若CM＝3，求三角形ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ABC中，a＝5，b＝7，B， 由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB， 即49＝25+c2﹣2×5×c×cos， 整理得c2﹣5c﹣24＝0， 解得c＝8或c＝﹣3（不合题意，舍去）， 所以c＝8； （2）如图所示， 点M是边AB的中点，CM＝3， （）， 所以（2•）， 即9（49+2×7×5×cos∠ACB+25）， 解得cos∠ACB， 所以sin∠ACB， △ABC的面积S△ABCCA•CB•sin∠ACB7×56． 故答案为：6． 30．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且4acosB﹣bcosC＝ccosB． （1）求cosB的值； （2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为4acosB﹣bcosC＝ccosB， 由正弦定理可得4sinAcosB﹣sinBcosC＝sinCcosB， 所以4sinAcosB＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA， 因为0＜A＜π，所以sinA≠0，所以． （2）由（1）知，sinB，因为．所以ac＝12， 由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB． 又因为，所以代入得a2+c2＝24， 所以（a﹣c）2＝a2+c2﹣2ac＝24﹣2×12＝0， 所以a＝c． 又因为ac＝12，所以， 所以△ABC的周长为． 一十五．共轭复数（共1小题） 31．复数的共轭复数是（　　） A． B． C．﹣i D．i 【答案】C 【解答】解：复数i，它的共轭复数为：﹣i． 故选：C． 一十六．复数的除法运算（共1小题） 32．（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【答案】D 【解答】解：2﹣i， 故选：D． 一十七．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题） 33．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO． （1）求证：EF∥平面ADO； （2）若∠POF＝120°，求三棱锥P﹣ABC的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】 （1）证明：在Rt△ABC中，作FH⊥AB，垂足为H，设AH＝x，则HB＝2﹣x， 因为FH∥CB，所以Rt△AHF∽Rt△ABC，所以，即，解得HFx， 又因为∠BFH＝∠FBO，所以∠AOB＝∠FBH，且∠BHF＝∠OBA＝90°， 所以Rt△BHF∽Rt△OBA，所以，即，解得x＝1， 即AH＝1，所以H是AB的中点，F是AC的中点， 又因为E是PA的中点，所以EF∥PC，同理，DO∥PC，所以EF∥DO， 又因为EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO， 所以EF∥平面ADO； （2）解：过P作PM垂直FO的延长线交于点M，因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB，BOBC，所以， 因为AB⊥BC，OF∥AB，所以OF⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF， 又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM， 又BC∩FM＝O，BC，FM⊂平面ABC， 所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P﹣ABC的高为PM， 因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°， 所以， △ABC的面积为S△ABCAB×BC2×22， 所以三棱锥P﹣ABC的体积为V三棱锥P﹣ABC2． 一十八．圆锥的侧面积和表面积（共1小题） 34．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为（　　） A．4π B．5π C．6π D．8π 【答案】B 【解答】解：设底面圆半径为r，由母线长为4， 所以侧面展开扇形的圆心角为α； 将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B， 最短距离为BM，如图所示： 在△ABM中，由余弦定理得，BM的长度为： BM2， 解得cos0，所以r＝1， 所以圆锥的表面积为S＝π×12+π×1×4＝5π． 故选：B． 一十九．圆台的体积（共1小题） 35．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（　　） A．π B．2π C．π D．π 【答案】D 【解答】解：S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2， S＝6π＝π（r+R）l，∴l＝2，∴h． ∴Vπ（1+4+2）π． 故选：D． 二十．球的体积和表面积（共1小题） 36．过长方体的一个顶点的三条棱的长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这球的表面积是（　　） A．20π B．25π C．50π D．200π 【答案】C 【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2＝32+42+52＝50， ∴R． ∴S球＝4π×R2＝50π． 故选：C． 二十一．球的体积（共1小题） 37．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 　4　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水＝V柱可得3，解得r＝4． 故答案为：4 二十二．平面图形的直观图（共2小题） 38．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（　　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2， ∴直角三角形的直角边长是， ∴直角三角形的面积是， ∴原平面图形的面积是1×22 故选：D． 39．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′，那么原△ABC是一个（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【解答】解：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC， ∵A′O′ ∴AO ∵B′O′＝C′O′＝1∴BC＝2 ∴AB＝AC＝2 ∴△ABC为正三角形． 故选：A． 二十三．异面直线及其所成的角（共2小题） 40．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点， 则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，]）， 可知MNAB1， NPBC1； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ＝1，MQAC， △ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC ＝4+1﹣2×2×1×（） ＝7， ∴AC， ∴MQ； 在△MQP中，MP； 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP； 又异面直线所成角的范围是（0，]， ∴AB1与BC1所成角的余弦值为． 【解法二】如图所示， 补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可； BC1，BD， C1D， ∴BD2， ∴∠DBC1＝90°， ∴cos∠BC1D． 故选：C． 41．如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|＝2，则直线B1P与直线AD1所成角的余弦值的取值范围为（　　） A．[0，] B．[0，] C．[，] D．[，] 【答案】A 【解答】解：取BC1的中点E，作点B1在平面A1BC1内的投影O， 过O作OF∥BC1交A1B于点F，连结B1D、A1E， 以O为坐标原点，分别以OF、OE、OB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图， 根据题意，易得D（0，0，﹣2），B1（0，0，），B（，，0），C1（，，0）， 设P（x，y，0），则（﹣x，﹣y，﹣2），（﹣x，﹣y，），（﹣3，0，0）， ∵|PD|+|PB1|＝2， ∴2， ∴||＝2，即x2+y2＝1， 记α为直线B1P与直线BC1所成的角，则α即为直线B1P与直线AD1所成的角， ∴cos，， ∵点P的轨迹在平面A1BC1内是以O为圆心，1为半径的单位圆， ∴﹣1≤x≤1，∴cos，， 又∵α为锐角，∴0≤cos，， 故选：A． 二十四．空间中直线与直线之间的位置关系（共1小题） 42．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 【答案】B 【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选：B． 二十五．直线与平面平行（共1小题） 43．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是平面A1B1C1D1内一点，且BM∥平面ACD1，则tan∠DMD1的最大值为（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【解答】解：如图所示， 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接A1C1，B1D1，交于点M，则点M满足条件； 证明如下，连接BD，交AC于点O，连接BM，OD1， 则A1A∥C1C，且A1A＝C1C， ∴四边形ACC1A1是平行四边形， ∴AC∥A1C1， 又AC⊂平面ACD1，且A1C1⊄平面ACD1， ∴A1C1∥平面ACD1； 同理BM∥D1O，BM∥平面ACD1， ∴当M在直线A1C1上时，都满足BM∥ACD1； ∴tan∠DMD1是最大值． 故选：D． 二十六．直线与平面垂直（共2小题） 44．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD， 从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长， 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则 A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）． （﹣1，，0），（0，，﹣1），（﹣1，0，0）， 设平面PAB的法向量为（x，y，z），则 即， 因此可取（，1，） 设平面PBC的法向量为（a，b，c），则， 即：， 可取（0，1，），cos 故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：． 45．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD； （Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2＝AB2，故AC⊥BC 取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC， 面ADC∩面ABC＝AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分） ∴OD⊥BC 又AC⊥BC，AC∩OD＝O， ∴BC⊥平面ACD（6分） 另解：在图1中，可得， 从而AC2+BC2＝AB2，故AC⊥BC ∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC＝AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示， 则，， ， （8分） 设为面CDM的法向量， 则即，解得 令x＝﹣1，可得 又为面ACD的一个法向量 ∴ ∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．（12分） 二十七．平面与平面垂直（共2小题） 46．已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（　　） ①m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β； ②m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β； ③m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β； ④m⊥α，n⊥β、且m⊥n，则α⊥β． A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解答】解：对于①，当m∥α，n∥β，且m∥n时，有α∥β或α、β相交，所以①错误； 对于②，当m∥α，n∥β，且m⊥n时，有α⊥β或α∥β或α、β相交且不垂直，所以②错误； 对于③，当m⊥α，n⊥β，且m∥n时，得出m⊥β，所以α∥β，③正确； 对于④，当m⊥α，n⊥β、且m⊥n时，α⊥β成立，所以④正确． 综上知，正确的命题序号是③④． 故选：D． 47．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是　（，1）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t＝1， 随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD＝2 因CB⊥AB，CB⊥DK， ∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD， 对于CD＝2，BC＝1，在直角三角形CBD中，得BD， 又AD＝1，AB＝2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，因此有AD⊥BD 再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t， 因此t的取值的范围是（，1） 故答案为（，1） 二十八．直线与平面所成的角（共3小题） 48．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接BO， ∵AB＝BC＝2，O是AC的中点， ∴BO⊥AC，且BO＝2， 又PA＝PC＝PB＝AC＝4， ∴PO⊥AC，PO＝2， 则PB2＝PO2+BO2， 则PO⊥OB， ∵OB∩AC＝O， ∴PO⊥平面ABC； （2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0）， （﹣2，2，0）， 设λ（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1 则（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）＝（2﹣2λ，2λ+2，0）， 则平面PAC的法向量为（1，0，0）， 设平面MPA的法向量为（x，y，z）， 则（0，﹣2，﹣2）， 则•2y﹣2z＝0，•（2﹣2λ）x+（2λ+2）y＝0 令z＝1，则y，x， 即（，，1）， ∵二面角M﹣PA﹣C为30°， ∴cos30°＝||， 即， 解得λ或λ＝3（舍）， 则平面MPA的法向量（2，，1）， （0，2，﹣2）， PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ＝|cos，|＝||． 49．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（I）∵AB＝AC＝2，D是B1C1的中点． ∴A1D⊥B1C1， ∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥BC， ∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO， ∴A1O⊥AO，A1O⊥BC ∵BC∩AO＝O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC ∴A1D⊥平面A1BC 解：（II） 建立坐标系如图 ∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4 ∴O（0，0，0），B（0，，0），B1（，，），A1（0，0，） 即（0，，），（0，，0），（，0，）， 设平面BB1C1C的法向量为（x，y，z）， 即得出 得出（，0，1），||＝4，|| ∵， ∴cos，， 可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为 50．如图，在等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD． （Ⅰ）若M是侧棱PB中点，求证：CM∥平面PAD； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）在梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC，AD⊥PB， ∴AB＝2，PA＝1，AD＝1， 取PA的中点N，连接MN，AN， 则MN∥AB∥CD，且MN＝CD＝1， 则四边形MNDC为平行四边形， 则CM∥DN， ∵CM⊄平面PAD，DN⊂平面PAD， ∴CM∥平面PAD； （2）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD， 面PAD∩面ABCD＝AD，PA⊂面PAD ∴PA⊥面ABCD， 建立以A为坐标原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图： 则A（0，0，0），D（1，0，0），B（0，2，0），P（0，0，1），C（1，1，0）， 则（0，2，﹣1），（0，1，0），（﹣1，0，1）， 设平面PCD的法向量为（x，y，z）， 则由， 令x＝1，则z＝1， 即（1，0，1）， 直线PB与平面PCD所成角的正弦值sinθ＝|cos，|＝||＝||． 二十九．古典概型及其概率计算公式（共1小题） 51．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（　　） A．都不是一等品 B．恰有一件一等品 C．至少有一件一等品 D．至多一件一等品 【答案】D 【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件， 从5件产品中任取2件，有10种结果， ∵都不是一等品有1种结果，概率是， 恰有一件一等品有种结果，概率是， 至少有一件一等品有种结果，概率是， 至多有一件一等品有1种结果，概率是， ∴是至多有一件一等品的概率， 故选：D． 三十．补全频率分布直方图（共1小题） 52．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（　　） ①a的值为0.005； ②估计成绩低于60分的有25人； ③估计这组数据的众数为75； ④估计这组数据的第85百分位数为86． A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：根据频率分布直方图知，由频率和为1，得（2a+3a+3a+6a+5a+a）×10＝1，解得a＝0.005，故①正确； 估计成绩低于60分的有1000×（2+3）×0.005×10＝250人，故②错误； 最高的小矩形底边中点为75，所以估计这组数据的众数为75，故③正确； 因为（2+3+3+6）×0.005×10＝0.7，0.7+5×0.005×10＝0.95，所以第85百分位数x在[80，90）， 则0.7+（x﹣80）×0.005×5＝0.85，解得x＝86，即估计这组数据的第85百分位数为86，故④正确． 综上，正确的命题序号是①③④． 故选：B． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/19 10:25:12；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：194419 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$