期末复习-选择题和填空题题必刷题汇编-2024-2025学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

期末复习-选择题和填空题题必刷题汇编 一、单选题 1．（2025·四川成都·三模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·云南曲靖·期中）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 6．（24-25高一下·安徽·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）某单位有员工500人，青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人， 150人和50人，在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样，若抽出的青年职工为30人，则抽出的老年职工的人数为（    ） A．5 B．15 C．30 D．50 8．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·福建漳州·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 11．（2004·福建·高考真题）若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 13．（24-25高一下·天津南开·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 14．（24-25高一下·天津河北·期中）如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高一下·天津河北·期中）已知向量，且点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 16．（11-12高一下·四川资阳·期中）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 17．（22-23高三上·湖南常德·期末）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） （    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．1 D． 20．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 21．（24-25高三上·重庆长寿·期末）如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是（   ）    A．当为中点时，四点共面 B．当为中点时，直线与所成角为 C．三棱锥的体积为定值1 D．的最小值为 22．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图，在正四棱台中，已知， ，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高三上·重庆长寿·期末）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A． B． C．4 D．8 24．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高三上·湖南娄底·期末）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角的大小为.则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·江西吉安·期末）在一次数学考试中，某小组11名同学成绩分别为123，92，95，92，110，97，101，97，97，107，121，则该小组数据的第80百分位数为（    ） A．101 B．107 C．110 D．121 27．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 28．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（   ） 甲 乙 7  9  8 5  7  9 3  4  6 2 0 1 2 3 7  8  5 1  1  3 2  0 1  0 A．37 B．38 C．39 D．40 29．（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 30．（24-25高三上·黑龙江·期末）若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 33．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 34．（24-25高一下·河南郑州·期中）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 35．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 36．（24-25高二下·重庆·阶段练习）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 37．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 38．（24-25高三上·山西吕梁·期末）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（    ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 39．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 40．（24-25高一上·江西吉安·期末）井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株 C．估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg D．估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 41．（24-25高一上·江西景德镇·期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（    ） A．样本中男生的人数为30 B．每个女生入样的概率均为 C．样本的平均数为166 D．样本的方差为22.2 42．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 43．（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，为线段的中点，动点在四边形内运动（包含边界），直线与平面所成角的正切值为，则下列选项正确的是（   ） A． B．正四棱台的体积为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．动点的轨迹长度为 44．（24-25高二上·湖北·期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（    ） A．该试验的样本空间共有6个样本点 B．事件A与事件C互为对立事件 C． D．事件B与事件C相互独立 45．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．二面角的平面角的正切值为 D．点到平面的距离为 46．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 三、填空题 47．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 48．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 49．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知向量，若，且，则 . 50．（24-25高一下·天津·期中）i是虚数单位，复数 ． 51．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 52．（24-25高一下·上海宝山·期中）向量 ，若 ，则实数 的值为 . 53．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 54．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 55．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ． 56．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知圆柱的高为，且其上下底面圆周都在同一个表面积为的球面上，则此圆柱的底面半径为 . 57．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取 人． 58．（24-25高二上·上海金山·期末）现有一组数据：，其第70百分位数为 . 59．（24-25高三上·河北·期末）如图，在直三棱柱，侧棱长为2，，点D在上底面（包含边界）上运动，若三棱锥外接球的表面积为，则动点D的轨迹的长度为 ． 60．（24-25高三上·云南德宏·期末）若向量，，且A，B，C三点共线，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习-选择题和填空题题必刷题汇编 一、单选题 1．（2025·四川成都·三模）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数模的定义求出，再结合复数的除法运算求出，再判断其所对应点的位置即可. 【详解】因为， 所以， 即对应的点为，位于第四象限，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·云南曲靖·期中）“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据且与不共线求出的范围可得答案. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选:C. 4．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量，，且与方向相反，则x的值为（   ）． A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求出 【详解】由向量，共线，得，解得， 当时，，与方向相同，不符合题意； 当时，，与方向相反，符合题意， 所以x的值为. 故选：B 5．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（   ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】C 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一下·安徽·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】记与轴的交点为D，依题意可得，利用勾股定理求出，最后根据计算可得. 【详解】记与轴的交点为D， 因为，所以， 又轴，所以四边形为平行四边形，所以， 由题意可知：， 因为轴，，所以轴， 又，所以，所以， ． 故选：B． 7．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）某单位有员工500人，青年员工、中年员工、老年员工的人数分别为300人， 150人和50人，在一项调查中需要按照年龄层次进行分层抽样，若抽出的青年职工为30人，则抽出的老年职工的人数为（    ） A．5 B．15 C．30 D．50 【答案】A 【分析】根据分层抽样的定义列方程求解出样本总人数，从而可求出抽出的老年职工的人数. 【详解】设抽出的样本总人数为人，则由题意可得 ，解得， 所以抽出的老年职工的人数为人. 故选：A 8．（24-25高一下·天津东丽·期中）已知非零向量，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设非零向量与的夹角为，由向量垂直得到，根据数量积的定义及运算律求出， 【详解】设非零向量与的夹角为， 由且， 所以， 所以， 因为，所以. 故选：． 9．（2025·福建漳州·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿对角线折起，当且，则三棱锥的表面积最大时，取的中点，连接，利用余弦定理求得，过球心作平面，则为等边三角形的中心，由与都是边长相同的等边三角形，由二倍角公式可得，利用勾股定理得、球的半径，最后由球的体积公式计算可得答案. 【详解】 由题意，因为是菱形，，， 则，是等边三角形，面积固定， 当且时，和的面积最大， 即三棱锥表面积最大， 因为，则， 取的中点E，连接， 则， ， 如图，过球心作平面，则为等边三角形的中心， 则，所以， 又，所以，， 在中，，则， 由勾股定理得， 所以球的半径， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故选：C． 10．（23-24高三上·江苏·阶段练习）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ） A．的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的第85百分位数为85 【答案】D 【分析】由频率分布直方图面积之和为1可计算，由众数定义可得B，计算低于60分的人数即可得C，根据百分位数的定义计算即可得D. 【详解】对于A：由频率分布直方图可得，解得，故A正确； 对于B：由图易得在区间的人最多，故可估计这组数据的众数为，故B正确； 对于C：，故成绩低于分的有人，即C正确； 对于D：由图中前四组面积之和为：， 图中前五组面积之和为：， 故这组数据的第85百分位数在第五组数据中， 设这组数据的第85百分位数为， 则有，解得， 即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误. 故选：D. 11．（2004·福建·高考真题）若，是非零向量且满足，，则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，得，，化简后再结合两向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设与的夹角是，，，即 ①， 又，，即 ②， 由①②知，， ，所以与的夹角为. 故选：B 12．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 13．（24-25高一下·天津南开·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】D 【分析】利用等体积转化为求三棱锥体积判断A；利用几何法求出异面直线所成角范围判断B；将侧面和侧面展开至同一平面求出最小值判断C；作出截面并求出截面面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，为线段的中点， 对于A，，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等， 当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，B正确； 对于C，如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，C正确； 对于D，如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为， 所以等腰梯形的面积为，D错误. 故选：D 14．（24-25高一下·天津河北·期中）如图所示，正方体的棱长为，则三棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用锥体体积公式求解即可. 【详解】在正方体中，平面， 且该正方体的棱长为，则， 故，即三棱锥的体积是. 故选：B. 15．（24-25高一下·天津河北·期中）已知向量，且点，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量坐标运算求解即可. 【详解】因为，点，所以点的坐标为. 故选：A 16．（11-12高一下·四川资阳·期中）已知，，，则（    ）三点共线 A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以，所以A、B、D三点共线，故A正确； 对于B，因为，， 所以不存在，使得，所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C，因为，， 所以不存在，使得，所以B、C、D三点不共线，故C错误； 对于D，因为，， 所以不存在，使得，所以A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 17．（22-23高三上·湖南常德·期末）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的概念直接求解即可. 【详解】因为满足，且， 所以，向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到上底面面积和下底面面积，然后由圆台体积公式求得结果. 【详解】由题意可知圆台下底面面积，上底面面积， 如图：由题意可知，则， ∴圆台体积. 故选：C. 19．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法的坐标运算求出，再根据向量平行的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以，即， 故选：B. 20．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，圆锥的底面半径为，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图    设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即 ， 解得， 故选：B. 21．（24-25高三上·重庆长寿·期末）如图所示，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，是棱上的动点，为棱的中点，则下列结论错误的是（   ）    A．当为中点时，四点共面 B．当为中点时，直线与所成角为 C．三棱锥的体积为定值1 D．的最小值为 【答案】B 【分析】对于A，先证得 ，再可证得 ，从而可进行判断，对于B，由于‖，则可得为直线与所成角，然后求解判断，对于C，由于//平面，所以，然后求解判断，对于D，由于为等边三角形，所以当为中点时，取得最小值. 【详解】对于A，因为为中点，为棱的中点，所以， 因为，‖，所以，‖， 所以四边形为平行四边形，所以‖，    因为‖，所以‖，所以四点共面，所以A正确； 对于B，由选项A可知当为中点时，‖，所以为直线与所成角， 在中，，所以， 所以，所以直线与所成角不为，所以B错误， 对于C，因为‖，平面，平面，所以‖平面， 所以，所以C正确， 对于D，因为为等边三角形，是上的动点，所以当为中点时，取得最小值， 因为等边的边长为2，所以边上的中线为， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查线线平行的判断，考查异面直线所成的角，考查棱锥的体积，考查空间图形中动点问题，解题的关键是正确运用正三棱柱的性质求解，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题. 22．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图，在正四棱台中，已知， ，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面角的定义作出线面角的平面角即可求解. 【详解】过，，，四点作正四棱台的截面图，如图所示，为等腰梯形， 过点作于点M，过点作于点N， 由线面角的定义可知，侧棱与底面ABCD所成角即为， 由条件可得，，，， 则，， 则，所以． 故选：B. 23．（24-25高三上·重庆长寿·期末）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件利用余弦定理和三角形的面积公式列方程求解即可. 【详解】因为，所以由余弦定理得， 由，得，得， 所以，得， 所以，得， 因为，所以. 故选：C 24．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知圆台的母线长为4，在圆台内部，与上、下底面及各母线均相切的球的半径为，则该圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可. 【详解】 如图，设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，则， ，则，同理， 所以， 过点作，垂足为，则，， 又，即，联立解得，则， 所以该圆台的体积为. 故选：B. 25．（24-25高三上·湖南娄底·期末）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，已知，，M是的中点，二面角的大小为.则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先说明为二面角的平面角，即可求出，再根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】因为是底面圆的直径，所以， 又M是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，即. 由已知，，可得， 所以， 又平面，平面，所以， 由，解得， 所以圆锥的体积. 故选：B. 26．（24-25高一上·江西吉安·期末）在一次数学考试中，某小组11名同学成绩分别为123，92，95，92，110，97，101，97，97，107，121，则该小组数据的第80百分位数为（    ） A．101 B．107 C．110 D．121 【答案】C 【分析】利用百分位数的概念和计算公式求解即可. 【详解】数据从小到大排序为：92，92，95，97，97，97，101，107，110，121，123， 因为，所以数据的第80百分位数为第9项数据110， 故选：C 27．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 28．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（   ） 甲 乙 7  9  8 5  7  9 3  4  6 2 0 1 2 3 7  8  5 1  1  3 2  0 1  0 A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】D 【分析】利用中位数与分位数的定义计算可求结论. 【详解】甲组数据从小到大排列为7，8，9，15，17，19，23，24，26，32共10个数据， 所以中位数为，所以， 乙组数据从小到大排列为5，7，8，11，11，13，20，22，30，31共10个数据， 又，所以乙组数据的分位数为22，所以， 所以. 故选：D. 29．（24-25高二上·湖北·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．恰有1名女生与恰有2名女生 C．至少有1名女生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】B 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念逐项判断可得结果. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. A. “至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，与“全是女生”可以同时发生，不是互斥事件，A错误. B.“恰有1名女生” 表示一男一女，与“恰有2名女生”不可能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件，B正确. C.“至少有1名女生”与“全是男生”是互斥事件也是对立事件，C错误. D.“至少有1名女生”包含的基本情况有：两女、一男一女，“至多有1名男生” 包含的基本情况有：两女、一男一女，可以同时发生，不是互斥事件，D错误. 故选：B. 30．（24-25高三上·黑龙江·期末）若一个圆台的上、下底面半径分别为1，2，母线与底面所成角为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出圆台的轴截面图，并求棱长，进而利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】圆台的轴截面如下图： 因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为， 所以圆台的侧面积为：. 故选：D. 31．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即 ，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 32．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 二、多选题 33．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 【答案】BCD 【分析】当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明，判断B，由题可得平面，结合锥体体积公式证明三棱锥的体积不变，判断C，证明平面，设与平面交于点，根据锥体体积公式求，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D. 【详解】对于A，当时，BP最小，由于， 所以为边长为的等边三角形， 到直线的距离，故A错误； 对于B，由已知四边形为正方形，所以， 由正方体性质可得平面，又平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C，由正方体的性质可得，平面，平面， 平面，到平面的距离为定值， 又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故C正确； 对于D，因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面， 所以，又， ， 所以平面，设与平面交于点， 则三棱锥的体积， 又， ，，， ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ，， 在以为圆心，为半径的圆上， 由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故D正确． 故选：BCD. 34．（24-25高一下·河南郑州·期中）设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定、性质逐项分析判断. 【详解】对于A，，若，则不能推得，A错误； 对于B，由，得，而，因此，B正确； 对于C，由，得，而，因此，C错误； 对于D，由，得，而，则可能平行、可能相交、也可能是异面直线，D错误. 故选：ACD 35．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的概念可得A，由零向量与任何向量都共线可得B，利用向量相等的概念可得C，利用共线向量的概念可判断D选项 【详解】因为互为相反向量，则其模长相等，则A正确； 由于零向量与任何向量都共线，所以当为零向量时，不可传递，则B错误； 由于相等向量的长度和方向都相同，所以当两相等向量的起点相同时，终点一定相同，C正确； 由于与是共线向量，则与方向相同或相反，则A，B，C三点共线，则D正确. 故选：ACD 36．（24-25高二下·重庆·阶段练习）射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 【答案】ABD 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 37．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知复数，则（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AD 【分析】根据复数的四则运算得，再根据复数的相关概念，以及复数的几何意义逐项判断即可. 【详解】由，得， 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为3，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，在复平面内对应的点为，位于第二象限，故D正确. 故选：AD． 38．（24-25高三上·山西吕梁·期末）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（    ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 【答案】BC 【分析】证明出平面，可知点的轨迹为线段，当点与点重合时，推导出，可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；推导出平面平面，利用面面平行的性质可判断C选项；利用异面直线所成角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，同理可证， 因为，、平面，所以，平面， 因为为四边形内（含边界）的一个动点， 故当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形， 此时，，A错； 对于B选项，连接、、、， 在正方体中，平面平面， 因为平面，所以，点到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，B对； 对于C选项，连接， 因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面， 因为平面，所以，平面，C对； 对于D选项，因为，所以，异面直线与所成角等于直线与所成的角， 易知为等边三角形，如下图所示： 当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值， 当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值， 因此，异面直线与所成角的范围为，D错. 故选：BC. 39．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知是空间两条不同的直线，是空间两个不重合的平面，下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据线面位置关系判断即可. 【详解】选项A：若，则平行或异面，故A符合题意； 选项B：若，则，故B不符合题意； 选项C：若，则或，故C符合题意； 选项D：若则，又，故，故D不符合题意， 故选：AC 40．（24-25高一上·江西吉安·期末）井冈密柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况，随机抽取了其中80株蜜柚树，测量每株产量（单位：kg），所得数据整理并绘制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中的值为0.025 B．样本中单株蜜柚树的产量少于120kg的树木有56株 C．估计该种植园中单株蜜柚树的产量众数为110kg D．估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118kg（每组数据用该组所在区间的中点值作代表） 【答案】AD 【分析】根据频率分布直方图所有矩形的面积和为1求出的值判断A，由频率分布直方图求出产量少于120kg的频率进而得到频数判断B，根据频率直方图中众数和平均数的计算公式判断CD. 【详解】对于A，由直方图的性质，可得：，解得，所以A正确； 对于B：因为前三个矩形的面积为，，所以产量少于120kg的蜜柚树数量小于56，故B错误； 对于C：因为115~125所占的频率最高，可用估计众数，故C错误； 对于D，由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ，故D正确； 故选：AD 41．（24-25高一上·江西景德镇·期末）某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（    ） A．样本中男生的人数为30 B．每个女生入样的概率均为 C．样本的平均数为166 D．样本的方差为22.2 【答案】AC 【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算样本的均值可判断C；计算样本的方差可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：抽样比为， 所以样本中男生有人，故选项A正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人， 所有的样本均值为：，故选项C正确； 对于D：设男生分别为，，，，平均数，， 女生分别为，，，，平均数，， 样本的平均数为，方差为， 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以， 故选项D不正确； 故选：AC 42．（24-25高三上·山东泰安·期末）已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 43．（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，为线段的中点，动点在四边形内运动（包含边界），直线与平面所成角的正切值为，则下列选项正确的是（   ） A． B．正四棱台的体积为 C．正四棱台的外接球的表面积为 D．动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】推导出、，可判断A选项；计算出正四棱台的高，结合台体的体积公式可判断B选项；求出外接球的半径，结合球体表面积公式可判断C选项；分析可知点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆，结合圆的相关知识可判断D选项. 【详解】对于A选项：延长、交于点，连接，如下图所示： 在中，且，所以，为的中位线， 则、分别为、的中点，所以，，同理可得， 又因为，故为等边三角形，则， 在梯形中，且， 又因为为的中点，则且， 故四边形为平行四边形，可得，故，故A正确； 对于B选项：分别取、的中点、， 易知，，， 易得， 四棱台的体积，故B错误； 对于C选项，设外接球的球心为，球的半径为，则球心在直线上， 若球心在线段上，则，即，该方程无解； 若球心不在线段上，则，即,解得， 所以正四棱台外接球的表面积，故C正确； 对于D选项，因为平面，平面，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以，与平面所成角为， 设为直线与平面所成角，则，可得， 设点到直线的距离为， 由可得， 所以，动点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆. 因此，点的轨迹长度为，故D正确， 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 44．（24-25高二上·湖北·期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A＝“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B＝“取出的鞋都是一只脚的”，事件C＝“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是（    ） A．该试验的样本空间共有6个样本点 B．事件A与事件C互为对立事件 C． D．事件B与事件C相互独立 【答案】AC 【分析】通过列举得到对应基本事件，再逐项判断即可. 【详解】记两双鞋子分别为，，，，则， ，，，则，故A正确； A与C互斥但不对立；故B错误； ，故C正确； ， 所以事件B与事件C不相互独立，故D错误. 故选：AC. 45．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．二面角的平面角的正切值为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】证明平面，即可判断A；根据，而与平面相交，即可判断B；取线段的中点，即可得到是二面角的平面角，从而判断C，再利用等体积法判断D. 【详解】因为四边形ABCD是正方形，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，，故A正确； 因为，分别是，的中点，所以，而与平面相交， 所以与平面相交，故B错误； 取线段的中点，则，又为等边三角形，所以， 所以是二面角的平面角， 又平面，平面，所以， 所以，所以二面角的平面角的正切值为，故C正确； 因为是棱长为的正四面体，， 又， 点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：（1）求直线与平面所成的角的一般步骤： ①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． （2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 46．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用向量投影的定义可判断B选项；可知，、方向相同，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算结合辅助角公式可判断D选项. 【详解】因为向量，， 对于A选项，若，则，可得， 故，A错； 对于B选项，因为，在上的投影为， 因为，则，即向量与的夹角为，B对； 对于C选项，若，则、方向相同， 所以，，解得， 故当时，，C对； 对于D选项，， 其中为锐角，且，故的最大值为，D对. 故选：BCD. 三、填空题 47．（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 【答案】 【分析】连接与相交于点，则点是的中点，利用线面平行的性质定理可得，即点是的中点，求出可得答案. 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, 48．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 49．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知向量，若，且，则 . 【答案】 【分析】设，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出，再计算模长可得. 【详解】设，则， 由，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 50．（24-25高一下·天津·期中）i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】由复数的乘除法运算计算即可． 【详解】， 故答案为：． 51．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 【答案】0.34 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立， 所以所求事件概率为 . 故答案为：0.34 52．（24-25高一下·上海宝山·期中）向量 ，若 ，则实数 的值为 . 【答案】 【分析】根据向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为向量 ，且 ， 所以. 故答案为：6. 53．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】因为平面向量，，所以， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 54．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 【答案】6 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 55．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）已知满足，若在方向上的投影向量为，则 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由在方向上的投影向量为，得，则，而， 于是，所以. 故答案为： 56．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知圆柱的高为，且其上下底面圆周都在同一个表面积为的球面上，则此圆柱的底面半径为 . 【答案】 【分析】求出圆柱外接球的半径，设圆柱的底面半径为，根据圆柱的几何性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设球的半径为，则，所以， 设圆柱的底面半径为，则，解得. 故答案为：. 57．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取 人． 【答案】 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】田径队运动员的总人数是，容量为的样本占总体的比例为， 则应该在男运动员中随机抽取人． 故答案为： 58．（24-25高二上·上海金山·期末）现有一组数据：，其第70百分位数为 . 【答案】10 【分析】根据百分位数定义计算即可. 【详解】因为，从小到大排列数据：，向上取整取第6位数为10. 故答案为：10. 59．（24-25高三上·河北·期末）如图，在直三棱柱，侧棱长为2，，点D在上底面（包含边界）上运动，若三棱锥外接球的表面积为，则动点D的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用球的性质确定球心位置并求出球半径，再利用球半径确定点的轨迹即可. 【详解】由为等腰直角三角形，，得的外接圆的圆心为AB的中点，且， 设的中点为E，连接（如图），则，平面ABC， 设三棱锥外接球的球心为O，外接球的半径为R，由球O的表面积，得， 由球的性质得球心O在上，连接OA，OD，设， 于是，解得，又，解得， 而点E到等腰的两直角边的距离都是，则动点D的轨迹是以E为圆心， 为半径的半圆弧，所以动点D的轨迹长度为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 60．（24-25高三上·云南德宏·期末）若向量，，且A，B，C三点共线，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由题意可知：与共线，结合向量共线的坐标表示运算求解即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，则与共线， 且，，则，解得. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$