（复习篇）专题02 因数和倍数的特征和综合应用（导图+技巧点拨+11个高频考点+真题强化 共53题）-2025年苏教版数学五升六年级暑假衔接金牌培优讲义（学生版+教师版）

五年级/下册 小学数学 苏教版 · 2025年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 因数和倍数的特征和综合应用 专题02 因数和倍数的特征和综合应用 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共53题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 一、核心知识点 1. 因数与倍数的定义 因数：整数除法中，若a ÷ b = c（a, b, c均为整数且余数为0），则b和c是a的因数。 倍数：若b是a的因数，则a是b的倍数。 ⚠️ 注意：因数和倍数相互依存，必须说“谁是谁的因数/倍数”。 2. 求一个数的因数 方法：有序枚举，成对寻找（从1开始，逐对测试）。 特性：最小的因数是1，最大的因数是它本身。 因数个数有限（例：12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12）。 3. 求一个数的倍数 方法：用数依次乘1, 2, 3, ...（例：5的倍数：5, 10, 15...）。 特性： 最小的倍数是它本身，没有最大倍数（无限个）。 倍数写法通常加省略号（如6, 12, 18, ...）。 4. 特殊数的性质 1是所有非零整数的因数。 0是所有非零整数的倍数，但不是任何数的因数。 质数：只有1和它本身两个因数（如2, 3, 5）。 合数：因数个数 ≥3（如4, 6, 8）。 1：既不是质数，也不是合数。 5. 2、3、5的倍数特征 2的倍数：个位是0, 2, 4, 6, 8（偶数）。 5的倍数：个位是0或5。 3的倍数：各位数字之和是3的倍数（如123 → 1+2+3=6 ✔️）。 二、解题技巧 1. 有序枚举因数 按从小到大的顺序逐对测试（例：24的因数：1和24, 2和12, 3和8, 4和6），避免遗漏。 2. 倍数问题抓关键 求“某数的倍数”时，用乘法； 求“某数的因数”时，用除法或整除测试。 3. 活用2、3、5的倍数特征 快速判断数的性质（如同时是2和5的倍数 → 个位必为0）。 4. 区分质数与合数 检查因数个数：只有2个因数 → 质数；≥3个 → 合数；1个 → 1（特殊）。 三、易错点提醒 ❌ 因数和倍数必须在整数范围内讨论（小数不算）。 ❌ 倍数有无限个，写答案时勿漏省略号。 ❌1既不是质数也不是合数（需单独记忆）。 高频考点讲练01：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·山西太原·期中）在合适的答案下面面“√”，并简要说明理由。 嘉嘉家的卫生间地面是一个边长4.2米的正方形。现要在卫生间地面铺地传，选择下面哪种地砖正好能铺满？ 理由_____________。 【答案】（    ）（    ）（√）； 理由见详解 【思路引导】依题意，要将边长为4.2米的正方形卫生间地面全部铺满，没有剩余，且选择的长方形地砖的长和宽都以分米为单位，先将4.2米转化以分米为单位，即4.2米＝42分米，则选择的长方形地砖的长和宽必须是42的因数；接下来找出长和宽都是42的因数的长方形即可得出答案。 【完整解答】4.2米＝42分米 42＝1×42，42＝2×21，42＝3×14，42＝6×7； 即，42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42； 理由：选择长7分米、宽6分米的地砖正好能铺满，因为6和7都是42的因数。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）有三张正方形纸，边长分别是6分米、18分米和24分米。如果用长4分米、宽3分米的长方形纸片来铺，要求正好铺满，且不允许裁剪，那么铺哪张正方形纸比较合适？ 【答案】24分米 【思路引导】分别找出6、18、24的因数，根据题意要求，用长4分米和宽3分米的长方形纸把正方形纸铺满，不允许剪裁，6、18、24的因数当中必须同时包含3和4，故24分米合适。 【完整解答】因为6的因数有：1、2、3、6，不包含4，所以不合适； 因为18的因数有：1、2、3、6、9、18，不包含4，所以不合适； 因为24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，包含3与4，所以合适。 答：铺边长为24分米的正方形纸合适。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 【答案】 3 24 【思路引导】把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，说明每人分到的本数和人数是练习本数量的因数，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此再根据五年级一班的学生人数在20~30之间，确定每人分到的本数和人数。 【完整解答】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 3×24＝72（本） 每名同学分到3本练习本，这个班有24名学生。 高频考点讲练02：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏苏州·阶段练习）母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 5元/枝 10元/枝 【答案】见详解 【思路引导】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；据此分析解答。 【完整解答】因为一枝康乃馨的价钱是5的倍数，一枝百合花的价钱也是5的倍数，所以无论怎么购买，买花的总钱数一定是5的倍数，50是5的倍数，找回的钱数也必定是5的倍数，而13不是5的倍数。 【演练1】（19-20五年级下·江苏南通·期末）用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？ 【答案】48张 【思路引导】正方形的边长可以剪出24÷4＝6个长，同理正方形的边长可以剪出24÷3＝8个宽，据此即可求出小长方形有6×8＝48个。据此解答。 【完整解答】（24÷4）×（24÷3） ＝6×8 ＝48（张） 答：一共能够裁剪成48张。 【考点评析】解答此题的关键是求出分别以长边和宽边剪出的小正方形的个数，再相乘即可。 【演练2】（2024六年级下·江苏·专题练习）图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A．长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 【答案】B 【思路引导】由题意，要想剪时没有剩余，则纸的长、宽必须是8、6的倍数，据此逐项分析即可得解。 【完整解答】A．长40厘米，宽35厘米，35不是6的倍数，不合适； B．长36厘米，宽24厘米，36是6的倍数，24是8的倍数，合适； C．长30厘米，宽18厘米，30不是8的倍数、36是6的倍数，不合适； D．长20厘米，宽12厘米，20不是8的倍数，不合适。 故答案为：B 高频考点讲练03：倍数和因数的综合运用 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·期中）下面各数中，既是30的因数，又是15的倍数的是（    ）。 A．1 B．15 C．60 【答案】B 【思路引导】先根据乘法算式找出30的因数，再在这些因数中找到15的倍数。 【完整解答】30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30 15的倍数：15、30、45… 上面各数中，既是30的因数，又是15的倍数的是15。 故答案为：B 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）自然数m既是9的倍数，又是27的因数，m可能是( )。 【答案】9或27 【思路引导】根据题意，分别求出27以内9的倍数和27的因数，然后进行选择即可。 【完整解答】9的倍数：9，18，27…； 27的因数：1，3，9，27。 由此可知，自然数m既是9的倍数，又是27的因数，m可能是9或27。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 【答案】716089 【思路引导】，所以7的最小倍数是7；，所以1只有一个因数；每个数都既是它本身的因数又是它本身的倍数；最小的自然数是0；，，所以8的因数有1、2、4、8；最大的一位数是9，据此解答。 【完整解答】A：，所以7的最小倍数是7； B：，所以1只有一个因数； C：6既是6的因数又是6的倍数； D：最小的自然数是0； E：，，8的因数有1、2、4、8，最大的因数是8； F：最大的一位数是9； 所以A是7，B是1，C是6，D是0，E是8，F是9。这个密码是716089。 答：这个密码是716089。 高频考点讲练04：奇数和偶数的认识 【典例精讲】（23-24五年级下·山西太原·期中）从0、3、5、8这四个数字中选两个数字组成一个两位数：( )既是5的倍数，又是3的倍数；最大的偶数是( )；最小的奇数是( )，写出一个质数( )。 【答案】 30 80 35 53 【思路引导】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。组成的两位数是质数的有53、83。据此解答。 【完整解答】从0、3、5、8这四个数字中选两个数字组成一个两位数：30既是5的倍数，又是3的倍数；最大的偶数是80；最小的奇数是35，写出一个质数53。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）在1，11，12，21，22这五个数中，奇数有( )；偶数有( )；质数有( )；合数有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的数是( )。 【答案】 1、11、21 12、22 11 12、21、22 12 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。据此作答。 【完整解答】在1，11，12，21，22这五个数中，奇数有1、11、21；偶数有12、22；质数有11；合数有12、21、22；既是2的倍数，又是3的倍数的数是12。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）在1、7、10、19、24、30、37、75、81、138中，( )是质数，( )是合数，( )是奇数，( )是偶数，( )是2和5的公倍数，( )同时是2、3、5的倍数。 【答案】 7、19、37 10、24、30、75、81、138 1、7、19、37、75、81 10、24、30、138 10、30 30 【思路引导】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数； 2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，所以一个数既是2的倍数又是5的倍数，则这个数的个位数字一定是0；一个数同时是2、3和5的倍数，则这个数的个位数字一定是0且各个数位上的数字之和一定是3的倍数。 【完整解答】在1、7、10、19、24、30、37、75、81、138中，7、19、37是质数，10、24、30、75、81、138是合数，1、7、19、37、75、81是奇数，10、24、30、138是偶数，10、30是2和5的公倍数，30同时是2、3、5的倍数。 高频考点讲练05：2,3,5的倍数特征综合 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）从中选三张数字卡片，组成符合要求的三位数。（写出所有可能） (1)既是2的倍数，又是3的倍数： 。 (2)既是3的倍数，又是5的倍数： 。 (3)同时是2、3、5的倍数： 。 【答案】(1)570、750、870、780、708 (2)570、750、705、870、780 (3)570、750、870、780 【思路引导】（1）同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数；选择5、0、7且个位数字为0，选择0、8、7且个位数字为0或者8； （2）同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数；选择5、0、7且个位数字为0或者5，选择0、8、7且个位数字为0； （3）同时是2、3、5倍数的倍数特征：个位数字是0，各个位上数字相加的和是3的倍数；选择5、0、7且个位数字为0，选择0、8、7且个位数字为0，据此解答。 【完整解答】（1）分析可知，既是2的倍数，又是3的倍数：570、750、870、780、708。 （2）分析可知，既是3的倍数，又是5的倍数：570、750、705、870、780。 （3）分析可知，同时是2、3、5的倍数：570、750、870、780。 【演练1】（24-25五年级下·山西太原·期中）一个三位数49，当它是2和3的公倍数时，里可以填( )，当它是3和5的公倍数时，里可以填( )。 【答案】 2、8 5 【思路引导】当这个三位数同时是2和3的倍数时，个位数字是0、2、4、6、8，各个数位上数字相加的和是3的倍数；当这个三位数同时是3和5的倍数时，个位数字是0或5，各个数位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【完整解答】 里为0时，4＋9＋0＝13，13不是3的倍数； 里为2时，4＋9＋2＝15，15是3的倍数； 里为4时，4＋9＋4＝17，17不是3的倍数； 里为6时，4＋9＋6＝19，19不是3的倍数； 里为8时，4＋9＋8＝21，21是3的倍数。 综上所述，一个三位数49，当它是2和3的公倍数时，里可以填2、8。 里为0时，4＋9＋0＝13，13不是3的倍数； 里为5时，4＋9＋5＝18，18是3的倍数。 综上所述，一个三位数49，当它是3和5的公倍数时，里可以填5。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）在里填合适的数字。 (1)使27既是2的倍数，又是5的倍数，里填 。 (2)使22既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填 。 (3)使57既是3的倍数，又是5的倍数，里填 。 【答案】(1)0 (2)2、8 (3)0 【思路引导】（1）同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0； （2）同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数； （3）同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【完整解答】（1） 分析可知，使27既是2的倍数，又是5的倍数，里填0。 （2）个位数字为0时，2＋2＋0＝4，4不是3的倍数； 个位数字为2时，2＋2＋2＝6，6是3的倍数； 个位数字为4时，2＋2＋4＝8，8不是3的倍数； 个位数字为6时，2＋2＋6＝10，10不是3的倍数； 个位数字为8时，2＋2＋8＝12，12是3的倍数。 综上所述，使22既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填2、8。 （3）个位数字为0时，5＋7＋0＝12，12是3的倍数； 个位数字为5时，5＋7＋5＝17，17不是3的倍数。 综上所述，使57既是3的倍数，又是5的倍数，里填0。 高频考点讲练06：质数和合数的认识与应用 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）在括号里填合适的质数。 20＝( )＋( )＝( )＋( )      42＝( )×( )×( ) 30＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 【答案】 3 17 7 13 2 3 7 7 23 11 19 13 17 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 【完整解答】20＝3＋17＝7＋13 42＝2×3×7 30＝7＋23＝11＋19＝13＋17 【演练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）小红有一些巧克力，打算平均分给几个好朋友。她发现，只要不是每人分1块，怎么分都不能正好分完。这些巧克力可能有多少块？（在合适的答案下面画“√”） 25块 91块 89块 【答案】89块√ 【思路引导】把一些巧克力平均分给几个好朋友，只要不是每人分1块，怎么分都不能正好分完，说明巧克力的总块数是质数，从表格中的3个数中找出质数即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【完整解答】25的因数有：1，5，25； 91的因数有：1，7，13，91； 89的因数有：1，89； 因为25和91是合数，89是质数，只要不是每人分1块，25块和91块都能正好分完，但89块怎么分都不能分完。 所以，这些巧克力可能有89块。 25块 91块 89块 √ 【演练2】（23-24五年级下·江苏宿迁·期中）每一个大于4的偶数，都可以表示成两个奇素数之和。下面算式符合上面结论的是（    ）。 A．52＝3＋49 B．38＝11＋27 C．102＝5＋97 D．55＝2＋53 【答案】C 【思路引导】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；素数是质数，质数是指除了1和它本身的两个因数以外没有其他的因数的数；既是奇数又是质数的数叫做奇素数；一要看这个数是大于4的偶数，二是写成两个数的和中的每个加数必须都是奇素数；据此逐项分析选项中的式子，即可解答。 【完整解答】A．52是大于4的偶数，3是奇数且是质数，49是奇数但49是合数不是质数，因此该选项不符合题意； B．38是大于4的偶数，11是奇数且是质数，27是奇数但27是合数不是质数，因此该选项不符合题意； C．102是大于4的偶数，5是奇数且是质数，97是奇数且是质数，因此该选项符合题意； D．55是大于4的奇数，且2是偶数不是奇数，因此该选项不符合题意。 故答案为：C 高频考点讲练07：分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·海南儋州·期中）求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）15和36    （2）9和10    （3）18和27 【答案】（1）最大公因数是3；最小公倍数是180 （2）最大公因数是1；最小公倍数是90 （3）最大公因数是9；最小公倍数是54 【思路引导】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积。 【完整解答】（1）15＝3×5 ，36＝2×2×3×3 15和36的最大公因数是3；最小公倍数是2×2×3×3×5＝180。 （2）9和10是互质数，最大公因数是1；最小公倍数是9×10＝90。 （3）18＝2×3×3 ，27＝3×3×3 18和27的最大公因数是3×3＝9；最小公倍数是2×3×3×3＝54。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）在括号里填合适的质数。 18＝( )＋( )＋( )＝( )＋( )＋( ) 105＝( )×( )×( ) 【答案】 2 3 13 2 5 11 3 5 7 【思路引导】质数是只有1和它本身两个因数的自然数（0除外）。列举法将18分成几个质数相加的形式，分解质因数将105分解成几个质数相乘的形式。 【完整解答】18＝2＋16，16是合数，16＝3＋13，其中2、3、13都是质数，所以18＝2＋3＋13；16也可以写成16＝5＋11，其中2、5、11都是质数，所以18＝2＋5＋11； 105是5的倍数，105÷5＝21，21是3的倍数，21÷3＝7，其中5、3、7都是质数，所以105＝3×5×7。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）陈伟和张华定期去图书馆借书，陈伟每4天去一次，张华每6天去一次。如果7月8日他们同时去图书馆，那么下次他们同时去图书馆是几月几日？ 【答案】7月20日 【思路引导】陈伟每4天去一次，张华每6天去一次，那么同时去图书馆的间隔天数就是4和6的公倍数；先求出4和6的最小公倍数，再加上第一次同时去图书馆的日期，就是下次他们同时去图书馆的日期。 【完整解答】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 即每12天他们同时去图书馆。 7月8日＋12天＝7月20日 答：下次他们同时去图书馆是7月20日。 高频考点讲练08：公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏苏州·期中）a、b是两个不为0的自然数，如果a＋1＝b，那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a＝b÷3，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 ab a b 【思路引导】如果a＋1＝b，说明a和b是相邻的两个自然数，它们是互质数；根据“两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积”进行解答。 如果a＝b÷3，说明a和b是倍数关系，且a＜b，根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答。 【完整解答】a、b是两个不为0的自然数，如果a＋1＝b，那么a与b的最大公因数是（1），最小公倍数是（ab）；如果a＝b÷3，那么它们的最大公因数是（a），最小公倍数是（b）。 【演练1】（24-25五年级下·江苏苏州·阶段练习）一张长方形纸，长75厘米，宽60厘米，现在要把它裁成若干边长是整厘米的正方形，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，至少裁成多少块？ 【答案】4种；20块 【思路引导】根据题意，要把这张纸裁成若干边长是整厘米的正方形，正方形的边长应是75和60的公因数，据此先分别写出75和60各自的因数，再找出它们的公因数，即是正方形的边长，从而得出不同的裁法。 要使正方形的面积最大，正方形的边长应是75和60的最大公因数。用75和60分别除以正方形的边长，求出每行的正方形块数和裁成的行数，再把它们相乘即可求出正方形的块数。 【完整解答】75的因数有：1、3、5、15、25、75； 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。 75和60的公因数有：1、3、5、15，共4个，则一共有4种裁法。 （75÷15）×（60÷15） ＝5×4 ＝20（块） 答：有4种裁法；如果要使裁得的正方形面积最大，至少裁成20块。 【演练2】（23-24五年级下·山西太原·期中）求两个数的最大公因数和最小公倍数。 (1)6和8的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (2)如果a÷b＝5，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (3)A＝2×2×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】(1) 2 24 (2) b a (3) 14 140 【思路引导】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。 【完整解答】（1）6和8 6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最大公因数是2； 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 6和8的最大公因数是2，最小公倍数是24。 （2）a÷b＝5，则a和b成倍数关系， a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 如果a÷b＝5，a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 （3）A＝2×2×7 B＝2×5×7 A和B的最大公因数是2×7＝14； A和B的最小公倍数是2×2×7×5＝140。 A＝2×2×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是14，最大公因数是140。 高频考点讲练09：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏苏州·期中）两根木材，粗木材长36dm，细木材长24dm，要把它们截成同样长的小段（每段都是整分米数）且没有剩余，至少可以截( )段。 【答案】5 【思路引导】要将36dm和24dm长的木材结成相同的长度且没有剩余，则截成小段的长度都能整除36和24，即36和24的公因数；求公因数可用分解因数法得到因数，至少截的段数，即求出最大公因数，可得出答案。 【完整解答】36＝2×2×3×3，24＝2×2×2×3，则最大公因数为：2×2×3＝12，即截成的长度最大是12dm，则至少可以截： （36＋24）÷12 ＝60÷12 ＝5（段） 因此，至少可以截5段。 【演练1】（24-25五年级下·江苏泰州·期中）下面是银杏公园的一条路，现在要在路的一侧安装路灯，使每盏灯之间的距离都相等，并且A、B、C三处都要安装，至少要安装多少盏灯？ 【答案】10盏 【思路引导】由于A、B都要安装，所以相邻路灯距离是120的因数，由于B、C都要安装，所以相邻路灯距离也是150的因数，求出120和150最大公因数为30，AB路段需要安装：120÷30＋1＝5盏，BC路段需要安装：150÷30＋1＝6盏，由于B点计算重复，所以路的一侧至少共要安装：5＋6－1＝10盏，据此解答。 【完整解答】120＝2×2×2×3×5 150＝2×3×5×5 所以120和150的最大公因数是：2×3×5＝30 （120÷30＋1）＋（150÷30＋1）－1 ＝（4＋1）＋（5＋1）－1 ＝5＋6－1 ＝10（盏） 答：至少要安装10盏灯。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）五年级同学参加植树活动，其中男生有72人，女生48人。现在要把参加植树的同学平均分成若干个小组，并且每个小组里男生人数相等，女生人数也相等，最多可以分成多少个小组？每个小组里男生、女生各有多少人？ 【答案】24个小组；3个男生；2个女生 【思路引导】要想每个小组中男生人数相等，女生人数也相等，组数必须是男生和女生人数的公因数，求出男女生人数的最大公因数是最多编成的组数； 男生人数÷组数＝每组男生的人数；女生人数÷组数＝每组女生的人数。据此列式解答即可。 【完整解答】72的因数：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 72和48的最大公因数为：24 72÷24＝3（人） 48÷24＝2（人） 答：最多可以分成24个小组，每个小组里男生有3人，每个小组女生有2人。 高频考点讲练10：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（22-23五年级下·江苏淮安·期中）“阳光明媚春三月，正是踏青好时节”，五（6）班同学在一次春游野餐时，每2人合用了1个饭碗，每3个人合用1个菜碗，每4个人合用1个汤碗，野餐共用了78个碗，你知道这次参加野餐的有多少人吗？ 【答案】72人 【思路引导】根据题意，每2人、每3人、每4人分别分到合用1个饭碗，1个菜碗，1个汤碗，需要将他们整合一起，就是求最小的人数也就是一组人数，使得它们可以同时满足饭碗、菜碗、汤碗的数量，即求出2、3、4的最小公倍数； 再用最小人数除以2、除以3、除以4，再把它们的商相加，求出每组用碗需要的数量； 再用野餐用碗的数量除以每组用碗的数量，求出一共分几组，再用一组人数×几组，即可求出有多少人。 【完整解答】2、3、4的最小公倍数是：2×2×3＝12 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（个） 78÷13×12 ＝6×12 ＝72（人） 答：这次参加野餐的有72人。 【考点评析】解答本题的关键是先求出每组的人数，利用求几个数的最小公倍数的方法进行解答。 【演练1】（19-20五年级下·江苏盐城·期末）有一筐桃，平均分给6个小朋友，正好还剩1个；平均分给8个小朋友，正好也剩1个。如果这筐桃的个数不超过50，那么这筐桃可能有( )个。 【答案】25或49 【思路引导】根据题意可知，这筐桃的个数是6和8的最小公倍数的倍数＋1个，再根据这筐桃的个数不超过50个，即可求出这筐桃的个数。 【完整解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24 24＋1＝25（个） 24×2＋1 ＝48＋1 ＝49（个） 这筐桃子可能是25个或49个。 【考点评析】灵活运用求最小公倍数的方法是解决问题的关键。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）两个数的最大公因数是1，最小公倍数是16，这两个数可能是2和8。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】这两个数的最大公因数是1，说明这两个数是互质数；把16进行分解，找出符合题意的即可，据此判断。 【完整解答】16＝1×16＝2×8 因为2和8的最大公因数是2，最小公倍数是8，不合题意，舍去，因此这两个数是1和16，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 高频考点讲练11：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（23-24五年级下·山西太原·期中）张阿姨买来一箱鸡蛋，有70多个，如果把它们装进8个一盒的蛋托中，正好装完；如果装进12个一盒的蛋托中，也正好装完。你能求出张阿姨一共买了多少个鸡蛋吗？ 【答案】72个 【思路引导】由题意可知，张阿姨购买鸡蛋的数量同时是8和12的倍数，先求出8和12的最小公倍数，再按顺序求出最小公倍数的倍数并且这个数是70多，据此解答。 【完整解答】 8和12的最小公倍数为：2×2×2×3＝24 24×1＝24，不符合题意； 24×2＝48，不符合题意； 24×3＝72，符合题意； 24×4＝96，不符合题意。 所以，张阿姨一共买了72个鸡蛋。 答：张阿姨一共买了72个鸡蛋。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）一种长方形地砖，长8分米，宽6分米。用这种地砖铺成一个正方形，正方形的边长至少是多少分米？要用多少块这样的长方形地砖？ 【答案】24分米；12块 【思路引导】首先要明白，用长方形地砖铺成正方形地面，正方形地面的边长必须是长方形地砖长和宽的公倍数，要求边长至少是多少，就是求长和宽的最小公倍数。求出正方形地面边长后，算出正方形地面面积以及长方形地砖面积，用正方形地面面积除以长方形地砖面积就能得到所需地砖的块数。 【完整解答】8＝2×2×2 6＝2×3 所以8和6的最小公倍数是2×2×2×3＝24，即正方形的边长至少是24分米。 24×24÷（8×6） ＝576÷48 ＝12（块） 答：正方形的边长至少是24分米，要用12块这样的长方形地砖。 【演练2】（24-25五年级下·全国·单元测试）实验小学五年级一班去参加劳动实践，需要将全班分成若干个小组。五年级一班有40~45人分组时发现每组3人或每组7人，恰好都少1人。五年级一班有学生多少人？ 【答案】41人 【思路引导】每组3人或每组7人，恰好都少1人，说明总人数比3和7的公倍数少1，先求出3和7的最小公倍数，用最小公倍数分别乘1、2、3…，找到在40~45之间的公倍数，减1即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【完整解答】3×7＝21、21×2＝42 42－1＝41（人） 答：五年级一班有学生41人。 1．（24-25五年级下·山西太原·期中）下面是用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自然数，X不为0），（    ）一定是3的倍数。 A．XXYYZZ B．XYXYXY C．XYYXZY D．XYYXYY 【答案】B 【思路引导】3的倍数的特征：如果一个多位数各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个多位数就是3的倍数。依次算出每个选项的数的各个数位的数字之和即可判断。 【完整解答】A．各个数位的数字之和为：，不能确保一定是3的倍数； B．各个数位的数字之和为：，因为一定是3的倍数，则这个六位数一定是3的倍数； C．各个数位的数字之和为：，不能确保一定是3的倍数； D．各个数位的数字之和为：，不能确保一定是3的倍数。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·海南儋州·期中）下列诗句中划线的数不是5的倍数的是（    ）。 A．烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯 B．军书十二卷，卷卷有爷名 C．南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中 D．八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声 【答案】B 【思路引导】个位是0或5的数是5的倍数。据此判断。 【完整解答】A．300的个位是0，所以三百是5的倍数； B．12的个位是2，不是0或5，所以十二不是5的倍数； C．480的个位是0，所以四百八十是5的倍数； D．800的个位是0，所以八百是5的倍数，50的个位是0，所以五十是5的倍数。 所以划线的数不是5的倍数的是十二。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·山西太原·期中）非0自然数按因数的个数可以分为（    ）。 A．奇数和偶数 B．质数和合数 C．质数、合数和1 D．偶数和奇数 【答案】C 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数，所以非0自然数按因数的个数可以分为三类；自然数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数，所以自然数按照是不是2的倍数可以分为两类，据此解答。 【完整解答】A．自然数按照是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类，其中0也是偶数，并不是按因数的个数分类，不符合题意； B．非0自然数按因数的个数可以分为1（只有一个因数）、质数（两个因数）、合数（三个或三个以上因数）三类，选项中缺少1，不符合题意； C．非0自然数按因数的个数可以分为1（只有一个因数）、质数（两个因数）、合数（三个或三个以上因数）三类，符合题意； D．自然数按照是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类，其中0也是偶数，并不是按因数的个数分类，不符合题意。 故答案为：C 4．（21-22五年级下·江苏淮安·阶段练习）x为整数，3x＋4，4，x＋7，2x＋6，0.8中一定是2的倍数的有( )个。 A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【思路引导】根据是2的倍数的数一定含有因数2，也就是能被2整除，由此一一分析解答。 【完整解答】当x为奇数时，3x＋4，的结果一定是奇数，不能被2整除；x＋7、2x＋6的结果为偶数，能被2整除；当x为偶数时，3x＋4，2x＋6的结果一定是偶数，能被2整除；x＋7的结果为奇数，不能被2整除；0.8不能被2整除，4一定能被2整除。 所以是2倍数的有：4，2x＋6这二个数。 故答案为：D 【考点评析】此题主要考查能被2整除数的特点的灵活运用。 5．（24-25五年级下·山西太原·期中）如果“1☐2☐”既是3的倍数，又是5的倍数，请写出满足要求的不同的两个数：( )、( )。 【答案】 1020 1425 【思路引导】3的倍数的特征是这个数所有数位上的数字之和是的倍数。 5的倍数的特征是个位上的数字是0或5。 即这个四位数的末尾是0或者5，当是0时，除了百位上的数，其他数位加起来是3，即百位上的数可以是0、3、6、9；当是5时，除了百位上的数，其他数位加起来是8，即百位上的数可以是1、4、7。据此作答。 【完整解答】1020÷3＝340 1020÷5＝204 1425÷3＝475 1425÷5＝285 既是3的倍数，又是5的倍数的两个数：1020、1425。 6．（24-25五年级下·海南儋州·期中）有一个四位数，它的最高位是最小的合数，百位上是最小的自然数，十位上是最大的一位质数，个位上的数既是偶数又是质数，这个四位数是( )。 【答案】4072 【思路引导】最小的合数是4，因为四位数的最高位是千位，所以千位上的数字是4；最小的自然数是0，所以百位上的数字是0；10以内的质数有2、3、5、7，其中最大的一位质数是7，即十位上的数字是7；偶数是能够被2所整除的整数，既是偶数又是质数的数，根据质数和偶数的定义，只有2满足（2是唯一的偶质数 ，因为其他偶数除了1和它本身外，至少还有因数2 ），所以个位上的数字是2。 【完整解答】有一个四位数，它的最高位是最小的合数，即千位是4； 百位上是最小的自然数，即百位是0； 十位上是最大的一位质数，即十位是7； 个位上的数既是偶数又是质数，即个位是2； 所以这个四位数是（4072）。 7．（24-25五年级下·江苏常州·阶段练习）一个三位数43□，既是2的倍数又是5的倍数，□里填( )；若既是2的倍数又是3的倍数，□里填( )。 【答案】 0 2或者8 【思路引导】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；5的倍数的特征是个位上是0或5； 2的倍数个位上是0、2、4、6、8，所以□可能是0、2、4、6、8 ；3的倍数特征是这个数各个数位上的数字之和是3的倍数。 【完整解答】既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上只能是0，所以这个三位数43□，□里填0； 4＋3＝7，当□＝0时，4＋3＋0＝7，7不是3的倍数；当□＝2时，4＋3＋2＝9，9是3的倍数；当□＝4时，4＋3＋4＝11，11不是3的倍数；当□＝6时，4＋3＋6＝13，13不是3的倍数；当□＝8时，4＋3＋8＝15，15是3的倍数，所以这个三位数43□，□里填2或8。 8．（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。 【答案】21.6 【思路引导】已知豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，那么54和72的最小公倍数就是他们步长的最小公倍数，即216厘米，用216除以豆豆和爸爸每步的长，即可得知豆豆走四步和爸爸走三步的距离是一样的。由于人的脚印有重合，所以平均每走216厘米，雪地上会留下（4＋3－1）＝6个脚印（因为是圆形，第一步的脚印，正好是最后一步的，所以是6个脚印）。每走216厘米，雪地上留下的脚印数＝6，又知雪地上留下60个脚印，所以他们走了60÷6＝10次的216厘米，所以周长＝216×10＝2160厘米，据此解答。 【完整解答】54＝2×3×3×3 72＝2×2×2×3×3 2×2×2×3×3×3 ＝4×2×3×3×3 ＝8×3×3×3 ＝24×3×3 ＝72×3 ＝216 72与54的最小公倍数是216。 每走216厘米会留下的脚印为：216÷72＋216÷54－1 ＝3＋4－1 ＝7－1 ＝6（个） 花圃的周长是：216×（60÷6） ＝216×10 ＝2160（厘米） 2160厘米＝21.6米 这个花圃的周长是21.6米。 【考点评析】本题主要通过求解豆豆和爸爸步长的最小公倍数，然后根据脚印数量推算出花圃的周长。 9．（2025五年级下·全国·专题练习）M是质数，M＋1一定是偶数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】质数是只有1和它本身两个因数的自然数（0除外）；是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 【完整解答】已知M是质数，例如2，2＋1＝3，3是奇数，而非偶数，所以该表述错误。 故答案为：× 10．（2025五年级下·全国·专题练习）9的倍数一定是合数，7的倍数也一定是合数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数；如果一个数是合数，那么它的倍数一定是合数；如果一个数是质数，那么它的倍数不一定是合数，据此解答。 【完整解答】分析可知，9是合数，则9的倍数一定是合数，7是质数，7的倍数可能是合数，也可能是质数，如：7×1＝7，7×2＝14，7是7的倍数，但7是质数；14是7的倍数，14是合数，所以题目说法错误。 故答案为：× 11．（24-25五年级下·全国·课后作业）所有的合数都是偶数，所有的质数都是奇数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此解答。 【完整解答】在1~20中，奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19；偶数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。质数有2、3、5、7、11、13、17、19，合数有4、8、9、10、12、14、15、16、18、20。1既不是质数，又不是合数。 9和15既是合数，又是奇数。2既是质数，又是偶数。 因此一个合数可能是偶数，也有可能是奇数。质数中除了2，其它的质数都是奇数。所以原题说法错误。 故答案为：× 12．（24-25五年级下·全国·单元测试）求每组数的最大公因数。 3和14  22和66  27和54  25和40 【答案】1；22；27；5 【思路引导】用短除法求两个数的最大公因数时，把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。成倍数关系的两个数，其中的较小数就是它们的最大公因数；如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1。据此解答。 【完整解答】3和14是互质数，则它们的最大公因数是1； 66是22的倍数，则22和66的最大公因数是22； 54是27的倍数，则27和54的最大公因数是27；   25和40的最大公因数是5。 13．（24-25五年级下·海南儋州·期中）王叔叔要装修自己的书房，书房地面是一个长32分米、宽24分米的长方形。他想用正方形的地砖铺满地面，且地砖必须完整，不能切割浪费。如果正方形地砖的边长是整分米数，那么最少需要购买多少块这样的地砖呢？ 【答案】12块 【思路引导】地砖的边长取书房的长和宽的最大公因数时，才能保证地砖完整且数量最少。首先将32和24分解质因数，计算出它们的最大公因数即为方砖的边长；再用长方形地面的长和宽分别除以地砖边长，得到每行、每列能铺的地砖数；最后将每行和每列的地砖数相乘，得到铺满地面最少需要地砖的块数（总数量＝每行数量×每列数量）。 【完整解答】32＝2×2×2×2×2 24＝2×2×2×3 32和24的最大公因数是2×2×2＝8，所以正方形地砖的边长是8分米。 （32÷8）×（24÷8） ＝4×3 ＝12（块） 答：最少需要购买12块这样的地砖。 14．（24-25五年级下·海南儋州·期中）李阿姨在超市买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。李阿姨付了100元，售货员找回13元。请问：售货员找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对；原因见详解 【思路引导】设李阿姨买了x瓶纯牛奶，y瓶果汁，那么买纯牛奶花费5x元，买果汁花费10y元，总共花费（5x＋10y）元；5x的个位数字是0或5（因为5乘奇数个位是5，乘偶数个位是0 ），10y的个位数字是0 ，所以5x＋10y的个位数字是0或5，即李阿姨买东西花的钱数的个位是0或5。李阿姨付了100元，100是整十数，个位是0；因为花费的钱数个位是0或5，那么找回的钱数＝100－花费的钱数，其个位应该是0（当花费个位是0时，100－个位为0的数，结果个位是0 ）或5（当花费个位是5时，100－个位为5的数，结果个位是5）；而售货员找回13元，13的个位是3，不符合上述规律，所以找回的钱不对。 【完整解答】售货员找回的钱不对，因为买纯牛奶和果汁的花费是5的倍数，付100元时，找回的钱数个位应是0或5，不可能是13元 。 15．（24-25五年级下·海南儋州·期中）儋州调声是儋州市民间音乐国家级非物质文化遗产之一。学校合唱团的36人准备排练一个关于儋州调声的节目，如果将这36人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人，有几种分法？（写出具体的分法） 【答案】3种；分法见详解 【思路引导】先把36写成两个因数的积，求出36的所以因数，根据每组人数不少于4人，不多于10人，其中大于或等于4而小于或等于10的因数就是一组的人数，再用36分别除以每组的人数确定有几种分法即可。 【完整解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36； 其中大于或等于4小于或等于10的因数有4、6、9； 36÷4＝9（组） 36÷6＝6（组） 36÷9＝4（组） 答：有3种分法；分法为：每组4人，分9组；每组6人，分6组；每组9人，分4组。 16．（24-25五年级下·海南儋州·期中）学校绘画社团的成员们正在筹备比赛，王雨每3天去画室练习一次，李航每4天去一次。如果他们3月1日都在画室练习，那么下一次两人都去画室是几月几日？ 【答案】3月13日 【思路引导】要求出王雨和李航下一次都在画室练习的时间，需要先求出他们去画室练习天数的最小公倍数，这个最小公倍数就是他们再次相遇间隔的天数；3和4互质，互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积，再用3月1日加上3和4的最小公倍数即可解答。 【完整解答】3和4互质，所以3和4的最小公倍数是3×4＝12 1＋12＝13（日） 答：下一次两人都去画室是3月13日。 17．（24-25五年级下·江苏常州·阶段练习）一种长方形地砖的长是90厘米，宽是60厘米。用这种地砖铺一块正方形地面，至少需要多少块这样的地砖？ 【答案】6块 【思路引导】要用长90厘米、宽60厘米的长方形地砖铺成正方形地面，正方形地面的边长应是90和60的公倍数，要求至少需要多少块地砖，就是求90和60的最小公倍数作为正方形地面的边长，用分解质因数法求出90和60的最小公倍数；在正方形地面的长的方向，所需地砖数量为180÷90＝2（块） ，在正方形地面的宽的方向，所需地砖数量为180÷60＝3（块）；总共所需地砖数量为长方向所需地砖数乘宽方向所需地砖数，即2×3＝6（块）。 【完整解答】90＝2×3×3×5 60＝2×2×3×5 60和90的最小公倍数是： 2×2×3×3×5 ＝4×3×3×5 ＝12×3×5 ＝36×5 ＝180 180÷90＝2（块） 180÷60＝3（块） 2×3＝6（块） 答：至少需要6块这样的地砖。 18．（24-25五年级下·江苏苏州·期中）某小区有一条人行道，工作人员给这条人行道的一侧安装路灯（两端不安装）。开始时每隔4米安装一盏路灯，共安装了23盏，后改为每隔6米安装一盏。这样，不用移装的路灯有几盏？ 【答案】7盏 【思路引导】因为两端都不安装路灯，根据“间隔数＝灯的数量＋1”，已知开始安装了23盏路灯，所以间隔数是23＋1＝24个；又因为每个间隔是4米，根据“距离＝间隔数×间隔长度”，可得人行道长度为24×4＝96米；分别对4和6分解质因数计算出4和6的最小公倍数是12，这意味着每隔12米处的路灯不用移栽；最后用总长度除以最小公倍数可得间隔数，由于两端都不安装路灯，根据“灯的数量＝间隔数－1”计算出不用移栽的路灯数量。 【完整解答】4×（23＋1） ＝4×24 ＝96（米） 4＝2×2 6＝2×3 所以4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 96÷12－1 ＝8－1 ＝7（盏） 答：不用移装的路灯有7盏。 19．（21-22五年级下·江苏·假期作业）两个自然数只含有质因数2、5，它们的最大公约数是50，且其中一个数有12个约数，另外一个数有10个约数，那么这两个数的差是多少？ 【答案】1050 【思路引导】50＝2×5×5，又因为A有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是，所以B－A＝2×5×5× （5×5－2×2） ，据此解答即可。 【完整解答】 因为有12个约数，B有10个约数，所以B只能是，也只能是。 所以B－ ＝50×（25－4） ＝1250－200 ＝1050 答：这两个数的差是1050。 【考点评析】此题主要考查公因数问题，根据两个数的最大公因数和约数的个数确定两个数是多少。 20．（19-20五年级下·江苏南通·期末）学校组织五年级部分同学到社区参加“迎端午”活动。分组情况如下：每组3人，最后一组少2人；每组4人，最后一组少3人；每组5人，最后一组只有1人。参加活动的同学最少有多少名？ 【答案】61名 【思路引导】每组3人，最后一组少2人，即这个数除以3，余数为1；每组4人，最后一组少3人，即这个数除以4，余数为1；每组5人，最后一组只有1人，即这个数除以5，余数也为1，求3，4和5的最小公倍数，为60，然后加上1，即61。 【完整解答】根据分析，参加活动的同学的最少人数是3，4和5的最小公倍数，再加上1。 3×4×5＋1＝61（名） 答：参加活动的同学最少有61名。 【考点评析】本题主要是能够把题干信息转化为数学模型来解决，需要学生有一定的分析能力。 $$五年级/下册 小学数学 苏教版 · 2025年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 专题02 因数和倍数的特征和综合应用 专题02 因数和倍数的特征和综合应用 暑假衔接 导图+技巧点拨+考点讲练+真题强化 （共53题） 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 一、核心知识点 1. 因数与倍数的定义 因数：整数除法中，若a ÷ b = c（a, b, c均为整数且余数为0），则b和c是a的因数。 倍数：若b是a的因数，则a是b的倍数。 ⚠️ 注意：因数和倍数相互依存，必须说“谁是谁的因数/倍数”。 2. 求一个数的因数 方法：有序枚举，成对寻找（从1开始，逐对测试）。 特性：最小的因数是1，最大的因数是它本身。 因数个数有限（例：12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12）。 3. 求一个数的倍数 方法：用数依次乘1, 2, 3, ...（例：5的倍数：5, 10, 15...）。 特性： 最小的倍数是它本身，没有最大倍数（无限个）。 倍数写法通常加省略号（如6, 12, 18, ...）。 4. 特殊数的性质 1是所有非零整数的因数。 0是所有非零整数的倍数，但不是任何数的因数。 质数：只有1和它本身两个因数（如2, 3, 5）。 合数：因数个数 ≥3（如4, 6, 8）。 1：既不是质数，也不是合数。 5. 2、3、5的倍数特征 2的倍数：个位是0, 2, 4, 6, 8（偶数）。 5的倍数：个位是0或5。 3的倍数：各位数字之和是3的倍数（如123 → 1+2+3=6 ✔️）。 二、解题技巧 1. 有序枚举因数 按从小到大的顺序逐对测试（例：24的因数：1和24, 2和12, 3和8, 4和6），避免遗漏。 2. 倍数问题抓关键 求“某数的倍数”时，用乘法； 求“某数的因数”时，用除法或整除测试。 3. 活用2、3、5的倍数特征 快速判断数的性质（如同时是2和5的倍数 → 个位必为0）。 4. 区分质数与合数 检查因数个数：只有2个因数 → 质数；≥3个 → 合数；1个 → 1（特殊）。 三、易错点提醒 ❌ 因数和倍数必须在整数范围内讨论（小数不算）。 ❌ 倍数有无限个，写答案时勿漏省略号。 ❌1既不是质数也不是合数（需单独记忆）。 高频考点讲练01：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·山西太原·期中）在合适的答案下面面“√”，并简要说明理由。 嘉嘉家的卫生间地面是一个边长4.2米的正方形。现要在卫生间地面铺地传，选择下面哪种地砖正好能铺满？ 理由_____________。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）有三张正方形纸，边长分别是6分米、18分米和24分米。如果用长4分米、宽3分米的长方形纸片来铺，要求正好铺满，且不允许裁剪，那么铺哪张正方形纸比较合适？ 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）五年级一班的学生人数在20~30之间。把72本练习本平均分给五年级一班的同学，结果正好分完，每名同学分到( )本练习本，这个班有( )名学生。 高频考点讲练02：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏苏州·阶段练习）母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 5元/枝 10元/枝 【演练1】（19-20五年级下·江苏南通·期末）用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？ 【演练2】（2024六年级下·江苏·专题练习）图书馆许老师要为每位同学制作一张借书证，借书证的规格如图所示。下面各种规格的纸中，选用（    ）最合适。（在制作借书证时，纸张没有剩余） A． 长40厘米，宽35厘米 B．长36厘米，宽24厘米 B． C．长30厘米，宽18厘米 D．长20厘米，宽12厘米 高频考点讲练03：倍数和因数的综合运用 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·期中）下面各数中，既是30的因数，又是15的倍数的是（    ）。 A．1 B．15 C．60 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）自然数m既是9的倍数，又是27的因数，m可能是( )。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）万老师的手机密码是ABCDEF。A是7的最小倍数，B只有一个因数，C既是6的因数，又是6的倍数，D是最小的自然数，E是8的最大因数，F是最大的一位数。这个密码是多少？ 高频考点讲练04：奇数和偶数的认识 【典例精讲】（23-24五年级下·山西太原·期中）从0、3、5、8这四个数字中选两个数字组成一个两位数：( )既是5的倍数，又是3的倍数；最大的偶数是( )；最小的奇数是( )，写出一个质数( )。 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）在1，11，12，21，22这五个数中，奇数有( )；偶数有( )；质数有( )；合数有( )；既是2的倍数，又是3的倍数的数是( )。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）在1、7、10、19、24、30、37、75、81、138中，( )是质数，( )是合数，( )是奇数，( )是偶数，( )是2和5的公倍数，( )同时是2、3、5的倍数。 高频考点讲练05：2,3,5的倍数特征综合 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）从中选三张数字卡片，组成符合要求的三位数。（写出所有可能） (1)既是2的倍数，又是3的倍数： 。 (2)既是3的倍数，又是5的倍数： 。 (3)同时是2、3、5的倍数： 。 【演练1】（24-25五年级下·山西太原·期中）一个三位数49，当它是2和3的公倍数时，里可以填( )，当它是3和5的公倍数时，里可以填( )。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）在里填合适的数字。 (1)使27既是2的倍数，又是5的倍数，里填 。 (2)使22既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填 。 (3)使57既是3的倍数，又是5的倍数，里填 。 高频考点讲练06：质数和合数的认识与应用 【典例精讲】（2025五年级下·全国·专题练习）在括号里填合适的质数。 20＝( )＋( )＝( )＋( )      42＝( )×( )×( ) 30＝( )＋( )＝( )＋( )＝( )＋( ) 【演练1】（24-25五年级下·全国·课后作业）小红有一些巧克力，打算平均分给几个好朋友。她发现，只要不是每人分1块，怎么分都不能正好分完。这些巧克力可能有多少块？（在合适的答案下面画“√”） 25块 91块 89块 【演练2】（23-24五年级下·江苏宿迁·期中）每一个大于4的偶数，都可以表示成两个奇素数之和。下面算式符合上面结论的是（    ）。 A．52＝3＋49 B．38＝11＋27 C．102＝5＋97 D．55＝2＋53 高频考点讲练07：分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·海南儋州·期中）求出每组数的最大公因数和最小公倍数。 （1）15和36    （2）9和10    （3）18和27 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）在括号里填合适的质数。 18＝( )＋( )＋( )＝( )＋( )＋( ) 105＝( )×( )×( ) 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）陈伟和张华定期去图书馆借书，陈伟每4天去一次，张华每6天去一次。如果7月8日他们同时去图书馆，那么下次他们同时去图书馆是几月几日？ 高频考点讲练08：公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏苏州·期中）a、b是两个不为0的自然数，如果a＋1＝b，那么a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a＝b÷3，那么它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【演练1】（24-25五年级下·江苏苏州·阶段练习）一张长方形纸，长75厘米，宽60厘米，现在要把它裁成若干边长是整厘米的正方形，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，至少裁成多少块？ 【演练2】（23-24五年级下·山西太原·期中）求两个数的最大公因数和最小公倍数。 (1)6和8的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (2)如果a÷b＝5，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (3)A＝2×2×7，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 高频考点讲练09：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏苏州·期中）两根木材，粗木材长36dm，细木材长24dm，要把它们截成同样长的小段（每段都是整分米数）且没有剩余，至少可以截( )段。 【演练1】（24-25五年级下·江苏泰州·期中）下面是银杏公园的一条路，现在要在路的一侧安装路灯，使每盏灯之间的距离都相等，并且A、B、C三处都要安装，至少要安装多少盏灯？ 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）五年级同学参加植树活动，其中男生有72人，女生48人。现在要把参加植树的同学平均分成若干个小组，并且每个小组里男生人数相等，女生人数也相等，最多可以分成多少个小组？每个小组里男生、女生各有多少人？ 高频考点讲练10：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（22-23五年级下·江苏淮安·期中）“阳光明媚春三月，正是踏青好时节”，五（6）班同学在一次春游野餐时，每2人合用了1个饭碗，每3个人合用1个菜碗，每4个人合用1个汤碗，野餐共用了78个碗，你知道这次参加野餐的有多少人吗？ 【演练1】（19-20五年级下·江苏盐城·期末）有一筐桃，平均分给6个小朋友，正好还剩1个；平均分给8个小朋友，正好也剩1个。如果这筐桃的个数不超过50，那么这筐桃可能有( )个。 【演练2】（24-25五年级下·全国·课后作业）两个数的最大公因数是1，最小公倍数是16，这两个数可能是2和8。( )（判断对错） 高频考点讲练11：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（23-24五年级下·山西太原·期中）张阿姨买来一箱鸡蛋，有70多个，如果把它们装进8个一盒的蛋托中，正好装完；如果装进12个一盒的蛋托中，也正好装完。你能求出张阿姨一共买了多少个鸡蛋吗？ 【演练1】（2025五年级下·全国·专题练习）一种长方形地砖，长8分米，宽6分米。用这种地砖铺成一个正方形，正方形的边长至少是多少分米？要用多少块这样的长方形地砖？ 【演练2】（24-25五年级下·全国·单元测试）实验小学五年级一班去参加劳动实践，需要将全班分成若干个小组。五年级一班有40~45人分组时发现每组3人或每组7人，恰好都少1人。五年级一班有学生多少人？ 1．（24-25五年级下·山西太原·期中）下面是用字母表示的三种形式的六位数（X、Y、Z是自然数，X不为0），（    ）一定是3的倍数。 A．XXYYZZ B．XYXYXY C．XYYXZY D．XYYXYY 2．（24-25五年级下·海南儋州·期中）下列诗句中划线的数不是5的倍数的是（    ）。 A．烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯 B．军书十二卷，卷卷有爷名 C．南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中 D．八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声 3．（24-25五年级下·山西太原·期中）非0自然数按因数的个数可以分为（    ）。 A．奇数和偶数 B．质数和合数 C．质数、合数和1 D．偶数和奇数 4．（21-22五年级下·江苏淮安·阶段练习）x为整数，3x＋4，4，x＋7，2x＋6，0.8中一定是2的倍数的有( )个。 A．4 B．1 C．3 D．2 5．（24-25五年级下·山西太原·期中）如果“1☐2☐”既是3的倍数，又是5的倍数，请写出满足要求的不同的两个数：( )、( )。 6．（24-25五年级下·海南儋州·期中）有一个四位数，它的最高位是最小的合数，百位上是最小的自然数，十位上是最大的一位质数，个位上的数既是偶数又是质数，这个四位数是( )。 7．（24-25五年级下·江苏常州·阶段练习）一个三位数43□，既是2的倍数又是5的倍数，□里填( )；若既是2的倍数又是3的倍数，□里填( )。 8．（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。 9．（2025五年级下·全国·专题练习）M是质数，M＋1一定是偶数。( )（判断对错） 10．（2025五年级下·全国·专题练习）9的倍数一定是合数，7的倍数也一定是合数。( )（判断对错） 11．（24-25五年级下·全国·课后作业）所有的合数都是偶数，所有的质数都是奇数。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·全国·单元测试）求每组数的最大公因数。 3和14  22和66  27和54  25和40 13．（24-25五年级下·海南儋州·期中）王叔叔要装修自己的书房，书房地面是一个长32分米、宽24分米的长方形。他想用正方形的地砖铺满地面，且地砖必须完整，不能切割浪费。如果正方形地砖的边长是整分米数，那么最少需要购买多少块这样的地砖呢？ 14．（24-25五年级下·海南儋州·期中）李阿姨在超市买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。李阿姨付了100元，售货员找回13元。请问：售货员找回的钱对吗？为什么？ 15．（24-25五年级下·海南儋州·期中）儋州调声是儋州市民间音乐国家级非物质文化遗产之一。学校合唱团的36人准备排练一个关于儋州调声的节目，如果将这36人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人，有几种分法？（写出具体的分法） 16．（24-25五年级下·海南儋州·期中）学校绘画社团的成员们正在筹备比赛，王雨每3天去画室练习一次，李航每4天去一次。如果他们3月1日都在画室练习，那么下一次两人都去画室是几月几日？ 17．（24-25五年级下·江苏常州·阶段练习）一种长方形地砖的长是90厘米，宽是60厘米。用这种地砖铺一块正方形地面，至少需要多少块这样的地砖？ 18．（24-25五年级下·江苏苏州·期中）某小区有一条人行道，工作人员给这条人行道的一侧安装路灯（两端不安装）。开始时每隔4米安装一盏路灯，共安装了23盏，后改为每隔6米安装一盏。这样，不用移装的路灯有几盏？ 19．（21-22五年级下·江苏·假期作业）两个自然数只含有质因数2、5，它们的最大公约数是50，且其中一个数有12个约数，另外一个数有10个约数，那么这两个数的差是多少？ 20．（19-20五年级下·江苏南通·期末）学校组织五年级部分同学到社区参加“迎端午”活动。分组情况如下：每组3人，最后一组少2人；每组4人，最后一组少3人；每组5人，最后一组只有1人。参加活动的同学最少有多少名？ $$