专题22 平面向量的基本定理及坐标表示（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版＋解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第22个专题平面向量的基本定理及坐标表示。本专题涵盖平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算、向量共线的坐标表示等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题22 平面向量的基本定理及坐标表示（讲义） 1. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 2.平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 4.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 5. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 1．(2024年河北) 向量，，那么______. 2．(2023年河北) 已知A点坐标，B点坐标，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 和向量都是单位向量 D. 线段中点坐标是 3．(2023年河北)若，，且，则_______. 4．(2022年河北) 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. (2018年河北) 已知（ ） A、 B、 C、 6 D、-6 知识点1 平面向量的坐标运算 1．已知点的坐标为，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．设，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．若向量与向量相等，则（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则点坐标（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6. 在直角坐标系中，点P的坐标是，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知四点，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知向量 ，则 （    ） A． B． C． D． 10．已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 向量共线的坐标表示 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知三点，，在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，则实数（   ） A． B．12 C． D．10 4．已知向量，向量，且，则（   ） A． B． C． D．1 5．已知向量，，．若三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 6．若向量与向量是共线向量，则实数x等于（   ） A． B． C． D．0 7．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．2 8．已知，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 9．已知向量，，若向量与向量共线，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．1 10．已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第22个专题平面向量的基本定理及坐标表示。本专题涵盖平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算、向量共线的坐标表示等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题22 平面向量的基本定理及坐标表示（讲义） 1. 平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ λ1e1＋λ2e2　. 2.平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与 x轴，y轴正方向相同 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， (x，y) 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ (1,0) ，j＝(0,1)，0＝ (0,0) . 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ (x2－x1，y2－y1) ，||＝ 　. 4.向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 . 5. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 1．(2024年河北) 向量，，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】首先由向量线性运算的坐标表示得出，再由向量模的坐标表示计算即可. 【详解】已知向量，， 则， 所以， 故答案为：. 2．(2023年河北) 已知A点坐标，B点坐标，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 和向量都是单位向量 D. 线段中点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和向量模长的计算公式以及线段中点坐标公式判断每个选项即可. 【详解】由向量可知A错误. 由可知B错误. 由于单位向量是指模为1的向量，，所以不是单位向量，所以C错误. 线段的中点坐标为，即，所以D正确. 故选：D. 3．(2023年河北)若，，且，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行关系，求出m的值，再计算的值即可. 【详解】由题意得, 解得， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：. 4．(2022年河北) 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可得解. 【详解】因为. 所以. 所以. 故选:. 5. (2018年河北) 已知（ ） A、 B、 C、 6 D、-6 【答案】B 【解析】 知识点1 平面向量的坐标运算 1．已知点的坐标为，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示运算即可. 【详解】已知点的坐标为， 所以向量， 故选：A. 2．设，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点的坐标为，再由向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】设点的坐标为， 已知点的坐标为，由， 得，解得， 所以点的坐标为， 故选：B. 3．若向量与向量相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量相等的定义求解即可. 【详解】因为向量与向量相等， 则，解得. 故选：C. 4．若，且，则点坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标表示以及向量的数乘运算，即可求出. 【详解】由可得， 由，可得， 所以点点坐标为. 故选：A 5．已知点，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设定点的坐标，根据点坐标得到向量和向量坐标，再根据建立等式，即可求解. 【详解】因为,，所以， 即， 设，所以， 即，解得， 因此，点的坐标是. 故选：B. 6. 在直角坐标系中，点P的坐标是，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的坐标表示即可得解. 【详解】因为直角坐标系中，点P的坐标是，所以. 故选：A 7．已知四点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由向量的加法运算计算，再由向量的坐标表示求解即可. 【详解】根据题意，， 又由，， 则，故. 故选：A. 8．已知向量，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量模的坐标运算、向量加法、减法的坐标运算，即可求解. 【详解】由和， 可解得，， 则，， 所以． 故选：D. 9．已知向量 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量线性运算的坐标坐标表示求解即可. 【详解】因为向量 ， 则. 故选：A. 10．已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标的混合运算求解即可. 【详解】已知点，，，则， 进而. 故选：B. 知识点2 向量共线的坐标表示 1．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示列出方程求出值，利用平面向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】向量，且， 则，解得， 所以，所以， 故选：. 2．已知三点，，在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的坐标表示及共线向量的坐标表示求参数即可. 【详解】三点，，， 则，， 三点在同一直线上，则， 则，则； 故选：D. 3．已知向量，，，若，则实数（   ） A． B．12 C． D．10 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 又因为， 所以，解得． 故选：A． 4．已知向量，向量，且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据向量平行的性质及模长公式求解即可. 【详解】向量，向量，且， 则，解得. 则. 故选：B. 5．已知向量，，．若三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 【答案】C 【分析】由三点共线，根据向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】∵向量，，， ∴， ∵A，C，D三点共线，∴， ∴，解得. 故选：C. 6．若向量与向量是共线向量，则实数x等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据向量共线定理列出等式即可解得. 【详解】因为向量与向量是共线向量， 所以，解得. 故选：C. 7．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A. 8．已知，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，即若向量，则当时，有，即可求解. 【详解】因为三点共线，所以， 因为， 所以，解得. 故选：A. 9．已知向量，，若向量与向量共线，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．1 【答案】B 【分析】根据共线向量的坐标运算即可解得. 【详解】由题，， 又知与共线， 则，解得. 故选：B 10．已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$