专题03一次函数、反比例函数与幂函数 （讲义） -吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第3个专题：一次函数、反比例函数与幂函数。本专题涵盖一次函数、反比例函数与幂函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 一次函数、反比例函数与幂函数（讲义） 知识点1：一次函数 ①若两个变量,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。 ②当=0时，称是的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中， 当0， O时，则经2、3、4象限； 当0，0时，则经1、2、4象限； 当0， 0时，则经1、3、4象限； 当0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。 （4）正比例函数的图象及性质 函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是过原点的一条直线，当0时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而增大；当0时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而减小。 知识点2：反比例函数的图象及性质 1.反比例函数定义：一般地，如果两个变之间的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数. 2.反比例函数性质：函数(k≠0)是双曲线，当0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而减小；当0时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而增大．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点。 知识点3：幂函数 1.幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3.常见幂函数性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 考点1：一次函数与反比例函数（高频考点） 【典例精讲1】已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式. 【答案】. 【分析】 因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b＝2，所以直线与y轴交于（0，2），即可知OB＝2，而ΔAOB的面积为2，由此可推算出OA＝2，而直线过第二象限，所以A点坐标为（－2，0），由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。 【解析】∵B是直线y＝kx＋2与y轴交点，∴B（0，2），∴OB＝2，又因为,所以,又因为,过第二象限，所以,把代入中得所以. 【易错练】已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【解析】：当时，图象过一、二、三象限，如图所示 ∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 当时，图象过一、三、四象限，如图所示 则,所以关于的方程的解是 故答案为：或 【易错点睛】本题容易漏解，只考虑其中之一的情况，要注意本题中的，表示的是距离，反映在坐标中则有两种情况.若能抓住这点，则可以避免漏解. 【典例精讲2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【答案】见解析 【解析】 （1）因为在的图象上，所以,又因为在的图象上，所以，即 ，解得：， 反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为， （2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。 【易错练】函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ） 【答案】B 【解析】对于答案（A）验证：中,m<0, ,m>0,矛盾 对于答案（C）验证：中,m>0, ,m<0,矛盾 对于答案（D）验证：中,m=0, ,m<0,矛盾 对于答案（B）验证：中,m>0, ,m>0,一致符合要求。故选B. 【易错点睛】若不知晓一次函数与反比例函数的图象特征，则很难正确选择. 一次函数中，的取值决定了函数图象所在的位置，其中 1 ,则图象过一、二、三象限； 2 ,则图象过一、三、四象限； 3 ,则图象过二、三、四象限； 4 ,则图象过一、二、四象限; 5 ,图象一定过原点. 反比例函数 当时，图象过一、三象限； 当时，图象过二、四象限. 1. (2023年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为一次函数单调递增，所以时取得最小值，即,当时取得最大值，即, 所以值域为，故答案选D. 2. (2022年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】(解法一)因为,将“”当作整体“”,则函数解析式为 所以,故答案选D. （解法二）显然该函数为一次函数，故设,则 所以解得，则， 所以,故答案选D. （解法三）因为，要求只需令代入即可，因为 即,故答案选D 3. (2020年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)当时，函数的值是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】直接代入得,所以答案选D 4.（2025河北高职单招数学试题）的图象是（ ） 【答案】C 【解析】因为显然是奇函数，故排除B,D,且在定义域内单调递增，所以排除A, 故答案选C 5.（2022年河南省普通高等学校对口招生中等职业学校毕业生考试学前教育数学试题）已知函数经过点,则 【答案】8 【解析】因为经过点,所以,解得,所以，故 所以答案为： 1. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） 【答案】D 【分析】由一次函数的图象过定点，排除两个选项，在剩下的图象中由确定，从而可得结论． 【解析】在中，时，，即图象过点，因此排除BC； 在AD中，观察的图象知，因此A错． 故选：D． 2.若函数，在其定义域上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质列出不等式，求解即可得到答案. 【解析】根据一次函数的性质可得，解得. 故选：A. 3.已知函数在区间上有最小值，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与性质，分类讨论列出方程，即可求解. 【解析】当时，函数，显然不符合题意； 当时，函数为单调递减函数，所以，解得； 当时，函数为单调递增函数，所以，解得. 综上可得，实数的值为或. 故选：D. 4.已知一次函数不经过第一象限，则、的符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数斜率、截距与函数图象的关系，已知图象不过第一象限，即知符号. 【解析】由一次函数不经过第一象限， ∴函数过二、四象限或过二、三、四象限，故斜率为负，截距小于或等于0， 即， 故选：A. 5.若函数是一次函数，则应满足的条件是 ；若是正比例函数，则应满足的条件是 . 【答案】 为任意实数. . 【分析】根据一次函数、正比例函数的性质列方程或不等式，求即可. 【解析】若函数是一次函数，有，即，而n为任意实数， 若函数是正比例函数，有，解得. 故答案为：为任意实数；. 6.若函数值有正有负，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】先考虑的情况，再考虑 时，由求解. 【解析】当时，，不成立； 当时，，即， 解得， 故答案为： 7.已知函数y=（2m+1）x+m–3． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】（1）m=3（2）得m<–0.5 【分析】（1）将代入函数解析式，求得的值.（2）根据函数单调性，列不等式，求得的取值范围. 【解析】（1）将代入函数解析式得，解得.（2）由于函数为一次函数，且随着的增大而减小，故，解得.故的取值范围是. 8.（1）=为R上的单调递增函数，求实数的范围； （2）已知一次函数f（x）＝ax+b，当，值域为，求的值. 【答案】（1）m>1；（2）或 【分析】（1）因为一次函数在R上单调递增，所以一次项系数要大于0，即； （2）当，在上单调递增函数，则有，当，在上单调递减函数，则有，分别解方程组可得答案. 【解析】（1）=为R上的单调递增函数 ，∴，即； （2） 当，在上单调递增函数 ， ∴   ，∴   当，在上单调递减函数，∴ ，∴ 综上：或 考点2：幂函数 【典例精讲】已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】先求出函数解析式，再结合单调性判断. 【解析】因为是幂函数，所以，解得或， 所以或， 对于，函数在上单调递增，在上单调递减； 对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减； 故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质． 故选：B 【易错题】当时，幂函数为单调递减函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知或， 当时，，此时在第一象限是单调递减函数，符合题意； 当时，，此时在第一象限是单调递增函数，不符合题意； 综上：. 【易错题点睛】考生若不理解幂函数的标准形式（定义），则很难得到的关键步骤，从而无法得到正确答案. 1.已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】代点的坐标求出α的值，得到函数的解析式，即得解. 【解析】由题意f(2)＝2α＝， 所以α＝，所以f(x)＝， 所以f(9)＝＝3. 故选：C 2.下列函数为幂函数的是（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义即可求解. 【解析】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数， 故选：D 3.如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的图像性质可得①对应的幂函数可能是. 【解析】由幂函数的图像性质可得，选项中的四个幂函数的图象 ①②③④分别对应的解析式依次为：，，，. 则其中①对应的幂函数可能是. 故选：B 【技巧总结】幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 4.函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和幂函数性质即可得解. 【解析】令，则， 所以函数是偶函数，故排除D， 由幂函数性质可知函数在上单调递增，且当时的图象高于的函数图象，故排除B、C. 故选：A. 5.在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数与一次函数的函数性质与图象特征判断即可. 【解析】：对于A，幂的指数，则直线应为减函数，A错误； 对于B，幂的指数，则直线应为增函数，B错误； 对于D，幂的指数，则，即直线与y轴交点在轴上方，D错误； 易知C正确. 故选：C. 6.已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域为 D．在单调递减 【答案】C 【分析】根据函数为幂函数，得到，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】为幂函数，故，解得：， 所以，定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB错误， 在上单调递增，D错误. 故选：C 7.已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 【答案】C 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【解析】幂函数为偶函数， ，且为偶数， 则实数， 故选：C 8.．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据函数为幂函数，结合偶函数求得. 【解析】依题意且为偶数， 解得或（舍去）. 所以的值为. 故答案为： 9.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【分析】先求，再根据奇函数求 【解析】，因为为奇函数，所以 故答案为： 10.已知，若幂函数的图象关于轴对称，且在区间内单调递减，则 . 【答案】 【分析】由函数的图象关于轴对称，得到必为偶数；由在区间内单调递减，则为负数.综合即得解. 【解析】因为幂函数的图象关于轴对称，则必为偶数， 又在区间内单调递减，则为负数， 综合得. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块3函数的第3个专题：一次函数、反比例函数与幂函数。本专题涵盖一次函数、反比例函数与幂函数等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 一次函数、反比例函数与幂函数（讲义） 知识点1：一次函数 ①若两个变量,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。 ②当=0时，称是的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数=的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中， 当0， O时，则经2、3、4象限； 当0，0时，则经1、2、4象限； 当0， 0时，则经1、3、4象限； 当0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当0时，的值随值的增大而增大，当0时，的值随值的增大而减少。 （4）正比例函数的图象及性质 函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是过原点的一条直线，当0时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而增大；当0时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而减小。 知识点2：反比例函数的图象及性质 1.反比例函数定义：一般地，如果两个变之间的关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数. 2.反比例函数性质：函数(k≠0)是双曲线，当0时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而减小；当0时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而增大．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点。 知识点3：幂函数 1.幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． （2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)． 2、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 3.常见幂函数性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=1，y=1，y=x所分区域.根据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 考点1：一次函数与反比例函数（高频考点） 【典例精讲1】已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式. 【易错练】已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【典例精讲2】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值． 【易错练】函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ） 1. (2023年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)函数的值域是（ ） A. B. C. D. 2. (2022年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 3. (2020年吉林省高职高专院校单独招生统一考试)当时，函数的值是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.（2025河北高职单招数学试题）的图象是（ ） 5.（2022年河南省普通高等学校对口招生中等职业学校毕业生考试学前教育数学试题）已知函数经过点,则 1. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） 2.若函数，在其定义域上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 3.已知函数在区间上有最小值，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 4.已知一次函数不经过第一象限，则、的符号是（    ） A． B． C． D． 5.若函数是一次函数，则应满足的条件是 ；若是正比例函数，则应满足的条件是 . 6.若函数值有正有负，则实数a的取值范围为 7.已知函数y=（2m+1）x+m–3． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 8.（1）=为R上的单调递增函数，求实数的范围； （2）已知一次函数f（x）＝ax+b，当，值域为，求的值. 考点2：幂函数 【典例精讲】已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【易错题】当时，幂函数为单调递减函数，则 ． 1.已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（    ） A． B． C．3 D． 2.下列函数为幂函数的是（　  ） A． B． C． D． 3.如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是（    ） A． B． C． D． 4.函数的图象是（    ） A． B． C． D． 5.在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A．B．C． D． 6.已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．定义域为 D．在单调递减 7.已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 8.．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 ． 9.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 10.已知，若幂函数的图象关于轴对称，且在区间内单调递减，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$