第十七章 勾股定理 单元检测卷-2024-2025学年人教版八年级数学下册

第十七章 勾股定理 单元检测卷 一、单选题 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（   ） A． B． C． D． 2．已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 3．如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行海里，“海天”号沿西北方向航行，每小时航行海里．它们离开港口小时后分别位于点处，此时两船的距离是（   ） A．20海里 B．24海里 C．30海里 D．32海里 4．如图，在中，，垂直平分，连接．已知，，则的长为（    ） A． B．19 C．20 D． 5．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2025 C． D． 6．如图，在中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．5 7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 8．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 9．如图，在中，，，，于，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，， 于点E， 于点D，，与交于点F．连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C．若 则   D．若则 二、填空题 11．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则 ． 12．如图，数轴上点A表示的数是，点C表示的数是1，且．以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D，则点D表示的数是 ． 13．2024年巴黎奥运会的吉祥物是“弗里热”．“弗里热”可以看作是数学中常见的三角形，数学活动小组将这个三角形置于平面直角坐标系中，如图，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，，将沿轴正半轴无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为按此规律，滚动2025次后停止滚动，则点的坐标为 ． 14．如图，分别以直角三角形的三边为边作正方形，其中两个正方形的面积分别是9和49，则字母M所代表的正方形的面积是 ． 15．如图在中，， 动点D从点A 开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B 开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，F为中点，连接则的最小值为 三、解答题 16．如图，在四边形中，，，，，且，求四边形的面积． 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移6个单位，画出平移后的（点分别为点平移后的对应点）； (2)在（1）画出后，在平面直角坐标系中确定点（点在第一象限），请你连接，使是等腰三角形，且的面积为6，请你连接，直接写出的长； 18．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达点后熄灭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子是直的，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳．后船移动到点的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？ (2)若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？ 19．如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 20．在和中，的顶点在直线上，连接、． (1)_____(直接填写度数)； (2)(i)如图1，当点在线段上时，若，求的值； (ii)如图2，当点在射线上时，若，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第十七章 勾股定理 单元检测卷2024-2025学年人教版八年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A A D C B B D 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，不能作为直角三角形三边长，该选项不合题意； 、，能作为直角三角形三边长，该选项符合题意； 故选：． 2．B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到，再由折叠的性质得到，设，则，由勾股定理可得，解方程可得，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理的运用，理解方位角的意义，掌握勾股定理的计算是解题的关键．根据方位角可得，由勾股定理即可求解． 【详解】解：“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行， ∴， ∴， ∵“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据勾股定理分别求得和即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意知：竹子折断前直立于地面，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 依题意，得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式的应用，算术平方根的含义，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为；结合题意可得，，结合完全平方公式即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意，中间小正方形的边长为，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：在中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 的面积， 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了等腰三角形基本性质，三线合一，全等三角形的证明及性质，勾股定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 通过等腰三角形三线合一即可判断A；先证得为等腰直角三角形，再证得，得到，即可判断B；若，通过勾股定理算出，进而得到，即可判断C；若，先算出，再通过勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， 于点E， ∴为的垂直平分线， ∴，故A说法正确； ∵中，， 于点D，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵ 于点E， 于点D， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， 于点E， ∴， ∴，故B说法正确； 若，∵， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴，故C说法正确； 若，∴ ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在直角三角形中，， 故D说法错误， 故选：D． 11．8 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，先求出，得出，再由直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了实数与数轴以及勾股定理，熟练掌握上述基本知识是关键； 先利用勾股定理求出，进而可得答案． 【详解】解：因为点A表示的数是，点C表示的数是1， 所以, 因为且， 所以， 因为以A为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点D， 所以， 所以点D表示的数是； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查点的坐标变化规律及解直角三角形，先求出的长，根据发现的规律根据题中规律可得点的坐标每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 根据题中规律可得点的坐标每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加， ∵， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14．40 【分析】根据勾股定理，正方形的面积解答即可． 本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，且， 故， 故答案为：40 ． 15． 【分析】本题主要考查了坐标与图象、两点间距离公式、中点坐标、点的对称等知识点，灵活运用两点间距离公式是解答本题的关键． 先根据题意建立直角坐标系可得，，，，则，将转化为，再利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值即可． 【详解】解：如图，以点B为原点，、所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，则，，，， ∵F为中点， ， ∴，, ∴， 设，，，则， 作出图形如下： 作出点关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为使取得最小值的点， ∴的最小值为，即的最小值为． 故答案为：． 16．四边形的面积为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，连接，由勾股定理求出，由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，最后根据四边形的面积的面积的面积计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积． 17．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）作，运用勾股定理可求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图，点即为所作， ． 18．(1)此时游轮距离岸边还有米 (2)工作人员手中的绳子被收上来米 【分析】本题考查勾股定理解应用题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键． （1）根据题意，求出绳子缩短的长度，进而在中，由勾股定理求解即可得到答案； （2）根据题意，先求出，在中和中由勾股定理求出线段长，再由即可得到答案 【详解】（1）解：如图所示： 则，， 若工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置，则绳子缩短了， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：此时游轮距离岸边还有米； （2）解：若游轮熄灭发动机后保持的速度匀速靠岸，后船移动到点，则， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 工作人员手中的绳子被收上来米． 19．（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 20．(1)45° (2)； 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，割补法求面积等知识，证明从而得到是直角三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得到； （2）由得，从而得到是直角三角形，得到即，再根据等腰直角三角形的性质得到结合即可得到与的比例关系； （3）先求出，根据等腰直角三角形的性质得到，同理证明，从而得到，，从而利用求解即可． 【详解】（1）和都是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， （2）(i)由（1）得： ， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即 ， (舍去负值) (ii)如图，过点作，垂足为 ， ， ， ，即， 又， ∴， ， ， ， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$