模块8专题03直线与平面（练习题） - 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块8立体几何的第3个专题：直线与平面。本专题涵盖直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判断与性质、直线与平面垂直的判断与性质、直线与平面所成的角等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 直线与平面（练习题） 一、单选题 1．下列论述一定正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点 【答案】D 【分析】利用空间几何中平面与直线的位置关系，平面的确定、线面平行的性质即可求解. 【详解】经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故A错误； 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条直线与这个平面平行或在此平面内，故B错误； 垂直于同一条直线的两条直线可能互相平行、异面或相交，故错误； 若直线与平面平行，则直线与平面无公共点，故正确． 故选：D. 2．设为三条直线，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系逐个分析即可. 【详解】若，则可能相交，平行或异面，故A错误， 若，则可能相交或平行，故B错误， 若，则或，故C错误， 根据线面垂直下性质，若，则，故D正确， 故选：D. 3．在正方体中，点O为线段上的中点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行直线可判断AD选项，根据异面直线所成的角求解是否为直角判断B选项，由线面垂直的性质定理判断C选项即可. 【详解】A：连接， 在正方体中，， 又因为，所以不成立，故A错误； B：连接，, 设正方体的棱长为2，则， 所以， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 同理可得， 所以在直角中有，， 在直角中有，， 又因为，所以不是直角， 即与不垂直，又， 所以不成立，故B错误. C：连接，则交于点O， 在正方体中，平面， 又平面，所以， 又因为与为正方形的对角线， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以，故C正确. D：连接， 在正方体中，， 又因为，所以不成立，故D错误. 故选：C. 4．在正方体中，与平面所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何特征可得为与平面所成角，再由余弦函数的定义求值即可. 【详解】连接，， 因为为正方体， 所以平面， 所以为与平面所成角， 设正方体的棱长为，则， ， 所以， 故选：D. 5．“直线与平面有公共点”是“直线平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合线面关系，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】若直线与平面有公共点，则直线平面，或直线与平面相交，故充分性不成立； 若直线平面，则直线与平面有无数个公共点，故必要性成立； 所以“直线与平面有公共点”是“直线平面”的必要不充分条件. 故选：B． 6．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别是棱的中点，，若直线与平面所成的角是，则直线与所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面角的定义得出，找到异面直线所成的角为，结合边长关系，即可得解. 【详解】由平面，得直线在平面上的射影是，则为直线与平面所成的角，即， 设，在中，， 因点分别是棱的中点，则，故与所成的角为与所成的角，即， 在中，， 故直线与所成的角的余弦值是. 故选：D. 7．设直线平面，直线平面，那么以下说法正确的选项是（   ） A． B． C．且异面 D．且相交 【答案】B 【分析】根据线面平行和线面垂直的性质定理即可求解. 【详解】因为直线平面，由线面平行的性质定理可设直线平面且， 又直线平面，即，所以， 故选：B. 8．已知点到平面的距离为，过点向平面引斜线段，斜线与平面成角，则斜线段在平面上的射影长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线面角的定义，射影的定义即可得解. 【详解】如图所示， 过点作，垂足为，则，， 所以斜线段在平面上的射影长为的长， 在中， 故选：B． 9．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件，在四棱锥中连接，构造直角三角形，将与平面所成的角转化到直角三角形中即可求解. 【详解】四棱锥中，点为侧棱的中点，如图所示，连接， 四棱锥中，底面是边长为的正方形，所以； 又平面,平面，平面，所以，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 则与平面所成角为，三角形为直角三角形，且， 又，，点为的中点，所以， 在中，，，，所以， 即则与平面所成角的正切值为. 故选：. 10．如图，在长方体中，（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【答案】D 【分析】根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】因为长方体中，平面，则平面， 根据图中所给数据，可得. 故选：D. 11．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中根据正切函数的定义求出正切值. 【详解】 连接，因为平面 ， 所以 在平面 上的射影为 ， 则就是 与平面 所成的角， 因为是中点，设正方体的棱长为，则. . 故选：A. 12．如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，，分别为该圆柱的上、下底面的直径，且，则三棱锥的体积是（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用三棱锥的体积公式与割补法即可得解. 【详解】如图：过上底面中心，作与下底面直径平行的直线，连接，， 则且，则为圆柱的母线，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面，即平面， 所以 . 故选：D． 二、填空题 13．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝ ，则下列结论中正确的序号是 ．      ①AC⊥BE  ②EF//平面ABCD  ③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值 【答案】①②④ 【分析】由线面垂直证得两线垂直判断①；由线面平行的定义证得线面平行判断②；由到线段的距离与到的距离不相等，可得的面积与的面积不相等．由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断④； 【详解】对于①，由题意及图形知，因为，且， 所以面， 又因为平面，故可得出，故①正确； 对于②，由正方体的两个底面平行，在其一面上，故与平面无公共点， 故有平面，故②正确； 对于③，由图形可以看出，到线段的距离与到的距离不相等， 故的面积与的面积相等不正确，故③错误． 对于④，由几何体的性质及图形知，的面积是定值，点到面， 故可得三棱锥的体积为定值，故④正确； ∴正确命题的序号是①②④． 故答案为：①②④. 14．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为 ． 【答案】 【分析】先连接，再根据为长方体得到平面，为在平面的投影，进一步得到即为与平面所成的角的平面角即可求解． 【详解】如图所示，连接， ∵为长方体， ∴平面，为在平面的投影， ∴，即为与平面所成的角的平面角， ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴对角线与平面所成的角为， 故答案为：． 15．如图，在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】连接，由面，得出为对角线与底面所成的角，再在中求解即可. 【详解】如图，连接， 在正方体中，平面， 则为对角线与底面所成的角， 因为平面，所以， 设正方体的棱长为， 在中，，， 则. 即对角线与底面所成角的正弦值为. 故答案为：. 16．如图所示，在三棱锥中，平面，，则点P到的距离等于 ． 【答案】5 【分析】取的中点D，可得，由平面得，则平面，可得，所以即为点P到的距离，在与中求解即可． 【详解】如图所示，取的中点D，连接． ∵，的中点为D，∴， ∵平面，平面， ∴，， 又，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴即为点P到的距离． 在中，，∴． 在中，， ∴，即点P到的距离为5． 故答案为：5. 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，平面． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，由平面，可确定直线与平面所成的角，再由锐角三角函数的定义求值即可. （2）根据棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）连接，平面， 为直线与平面所成的角， 在四边形中，， ，且， ，， 则. （2）平面， 为四棱锥的高， 由（1）可知，，且， ，过点作的垂线，交延长线为， ，，， 为矩形，则， ，， ， 四棱锥的体积. 18．如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过平行直线，先找出异面直线EF与BC所成角，再由线面垂直的性质，在直角三角形中求正切值即可； （2）通过等体积法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）连接， E、F分别为线段、BD的中点， ， ∴异面直线EF与BC所成的角为， 又平面平面， ， 正方体的棱长为2， ， ， ∴EF与BC所成角的正切值为； （2）在正方体中，E为线段的中点， 平面ADF，且， 点F是线段BD的中点， ， ∴三棱锥的体积， E，F分别为线段，BD的中点， ， 又， 在中满足，即为直角三角形， 则， 设点D到平面AEF的距离为d， 则，即，解得， ∴点D到平面AEF的距离为. 19．在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 【答案】(1)30° (2) 【分析】（1）由正四棱锥可知底面对角线焦点与顶点连线垂直底面，求出线面角即可. （2）由棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）在正四棱锥中，连接AC，BD交于点，连接PO. 因为，底面ABCD是正方形，所以， 且平面ABCD，则就是PB与平面ABCD所成的角. ，， 又， 所以，则. （2）正四棱锥的底面面积，高， 根据体积公式， 可得体积. 20．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 【答案】 平面PAC，证明见解析 【分析】先证明,即可证明 平面ABC，利用线面平行的性质定理可说明EF∥l，根据线面平行的而判定定理即可证明平面PAC. 【详解】直线平面PAC. 证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点， 所以. 又 平面ABC，且 平面ABC， 所以平面ABC. 而 平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l， 所以 . 因为平面PAC， 平面PAC， 所以平面PAC. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块8立体几何的第3个专题：直线与平面。本专题涵盖直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判断与性质、直线与平面垂直的判断与性质、直线与平面所成的角等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 直线与平面（练习题） 一、单选题 1．下列论述一定正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点 2．设为三条直线，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．在正方体中，点O为线段上的中点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 4．在正方体中，与平面所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．“直线与平面有公共点”是“直线平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，点分别是棱的中点，，若直线与平面所成的角是，则直线与所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．设直线平面，直线平面，那么以下说法正确的选项是（   ） A． B． C．且异面 D．且相交 8．已知点到平面的距离为，过点向平面引斜线段，斜线与平面成角，则斜线段在平面上的射影长为（　　） A． B． C． D． 9．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且，点为侧棱的中点，则与平面所成角的正切值为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，在长方体中，（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 11．如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C．1 D． 12．如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，，分别为该圆柱的上、下底面的直径，且，则三棱锥的体积是（    ） A．24 B．18 C．12 D．6 二、填空题 13．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝ ，则下列结论中正确的序号是 ．      ①AC⊥BE  ②EF//平面ABCD  ③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值 14．如图所示，在长方体，底面边长，高，则对角线与平面所成的角为 ． 15．如图，在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为 . 16．如图所示，在三棱锥中，平面，，则点P到的距离等于 ． 三、解答题 17．如图，在四棱锥中，平面． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求四棱锥的体积． 18．如图，在棱长为2的正方体，中，E，F分别为，BD的中点. (1)求EF与BC所成角的正切值； (2)求点D到平面AEF的距离. 19．在正四棱锥中， (1)求与平面所成的角； (2)求正四棱锥的体积. 20．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$