模块8专题02平面的基本性质及空间直线（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块8立体几何的第2个专题：平面的基本性质及空间直线。本专题涵盖同角三角函数的基本关系、特殊角的三角函数值、正弦、余弦、正切的诱导公式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 平面的基本性质及空间直线（讲义） 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江绍兴·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．经过三点，有且只有一个平面 B．经过两条相交直线，有且只有一个平面 C．经过一点和一条直线，有且只有一个平面 D．经过两条直线，有且只有一个平面 2．（24-25高二下·河南郑州·期中）如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）在正方体中，棱所在的直线中，与直线异面的直线条数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高三下·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，M，N分别为上的点，且∥，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，分别为棱的中点，且，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高二下·福建泉州·学业考试）如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东菏泽·期中）正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）空间四边形中，E，F分别是AB，CD的中点，且，，，则异面直线AC与EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）空间两条直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·山东·模拟预测）如图所示，三棱锥中，分别为的中点．若异面直线与所成角的大小为，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 一、单选题 1．不在同一条直线上的三个点可以组成（    ）个平面. A．2 B．1 C．3 D．无数 2．点A在直线a上，直线a在平面α内，用符号表示为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．关于平面的说法，正确的有（    ） ①平面是绝对平的且是无限延展的； ②平面的形状是平行四边形； ③三角形可以表示平面； ④某一个平面的面积为1 m2； ⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．有下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若，，，则； ④空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中，正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．四个顶点不在同一平面上的四边形中，，，，分别是边，，，上的点，如果直线，交于点，那么（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线上 C．点一定在平面外 D．点一定在平面内 6．如图，已知平面α，β，且.设梯形中，，且，.则下列结论正确的是（    ） A．直线与可能为异面直线 B．直线，，l相交于一点 C． D．直线与可能为异面直线 7．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．大小无法确定 8．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ） A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 9．如图所示，在长方体中，则与的位置关系是（   ）． A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 10．设空间中两条直线a，b，若a与b没有公共点，则a与b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 11．在长方体中，，，与所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 12．在正四棱锥中，，，E是中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．下列推理正确的序号是 ． ① ② ③ ④ ⑤ 14．不共线的三点可确定 个平面. 15．如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块8立体几何的第2个专题：平面的基本性质及空间直线。本专题涵盖同角三角函数的基本关系、特殊角的三角函数值、正弦、余弦、正切的诱导公式等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 平面的基本性质及空间直线（讲义） 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江绍兴·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．经过三点，有且只有一个平面 B．经过两条相交直线，有且只有一个平面 C．经过一点和一条直线，有且只有一个平面 D．经过两条直线，有且只有一个平面 【答案】B 【分析】根据点、直线与平面的关系求解. 【详解】选项A. 当三点共线时，经过这三点的平面有无数个. 选项B. 根据平面的基本性质的推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面. 选项C. 当点在直线上时，经过该点和这条直线的平面有无数个； 选项D.若两条直线是异面直线，则经过这两条直线不能确定一个平面. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南郑州·期中）如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线面之间的关系，结合符号表示即可求解. 【详解】对A，由图可得，点在直线上，即，故A错误. 对B，由图可得，直线在平面内，即，故B错误. 对C，由图可得，点在直线上且在直线上，即，故C错误. 对D，由图可得，与相交于直线，即；直线在平面内，即； 点在直线上且在直线上，即，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）在正方体中，棱所在的直线中，与直线异面的直线条数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义即可求解． 【详解】由题意得，正方体棱所在的直线与直线异面的有，共6条．    故选：D. 4．（24-25高三下·浙江·模拟预测）如图，在四棱锥中，M，N分别为上的点，且∥，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定及线线的位置关系即可得解. 【详解】因为∥，，所以与不平行， 又因为平面，平面，所以∥平面， 则与没有公共点，又不平行，所以位置关系为异面， 故选：. 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）如图所示，在三棱锥中，分别为棱的中点，且，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的概念结合勾股定理即可求解. 【详解】取棱的中点G，连接． 因为分别为棱的中点，所以，， 又，，所以， 所以直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即， 所以直线与直线所成的角为． 故选：D. 6．（2025高二下·福建泉州·学业考试）如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到与平行的直线，即可找到异面直线所成角，结合正方体性质即可求解. 【详解】如图所示，连接： 因为正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角即角， 设正方体棱长为，则， 所以为等边三角形，角. 即异面直线与所成的角为. 故选：C. 7．（24-25高二下·山东菏泽·期中）正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）空间四边形中，E，F分别是AB，CD的中点，且，，，则异面直线AC与EF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意作出图像，结合中位线的性质及余弦定理即可得解. 【详解】 如图所示，根据题意作出图像，取中点，连接，，E，F分别是AB，CD的中点， 则为中位线，∥，， 为中位线，∥，， 直线AC与EF所成角即为与所成的角为， ， 故选：. 9．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）空间两条直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中直线所成角的范围直接解答即可. 【详解】空间两条直线所成角的范围是， 故选：A. 10．（24-25高三下·山东·模拟预测）如图所示，三棱锥中，分别为的中点．若异面直线与所成角的大小为，则线段的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据题意，取的中点E，连接，结合异面直线所成夹角的概念，可得或，结合余弦定理，即可求解. 【详解】 如图，取的中点E，连接，则， 因为异面直线与所成角的大小为， 所以是异面直线与所成角，或其补角， 即或， 因为，所以， 当时， ， 所以； 当时， ， 所以； 综上，或. 故选：D. 一、单选题 1．不在同一条直线上的三个点可以组成（    ）个平面. A．2 B．1 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】根据平面的概念，即可求解. 【详解】不在同一条直线上的三个点可以组成1个平面. 故选：B. 2．点A在直线a上，直线a在平面α内，用符号表示为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用元素、集合的关系选择符号即可. 【详解】点A在直线a上，点A是元素，直线a为集合，即， 直线a在平面α内，直线a为集合，平面α为集合，即， 故选：A. 3．关于平面的说法，正确的有（    ） ①平面是绝对平的且是无限延展的； ②平面的形状是平行四边形； ③三角形可以表示平面； ④某一个平面的面积为1 m2； ⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由平面的概念逐个判断即可得解． 【详解】对于①，由平面的概念可得平面是绝对平的且是无限延展的，故①正确； 对于②，由平面的概念，平面是向四周无限延展的，故②错误； 对于③，不共线的三点可确定一个平面，三角形三顶点不共线，所以可以用三角形来表示平面，故③正确； 对于④，平面是无限延展的，不能度量面积，故④错误； 对于⑤，平面没有厚度，所以⑤错误． 所以说法正确的有2个． 故选：B． 4．有下列四个命题： ①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若，，，则； ④空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中，正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据三个公共点共线，可判断①，根据异面直线不在任一平面内，可判断②；根据平面相交的公理，可判断③，举出反例，可判断④. 【详解】对于①，若两个平面有三个公共点，这三个公共点共线，两平面相交于该直线，未必重合，故①不正确； 对于②，两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确； 对于③，若，，则在两个平面的交线上，又由，则，故③正确； 对于④，如正方体顶点处的三条件交线，交于一点但不共面，故④错误. 故正确命题的个数是1个. 故选：A. 5．四个顶点不在同一平面上的四边形中，，，，分别是边，，，上的点，如果直线，交于点，那么（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线上 C．点一定在平面外 D．点一定在平面内 【答案】A 【解析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上． 【详解】解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内， 且EF和GH能相交于点P， ∴P在面ABC和面ADC的交线上， ∵AC是两平面的交线， 所以点P必在直线AC上． 故选：A． 6．如图，已知平面α，β，且.设梯形中，，且，.则下列结论正确的是（    ） A．直线与可能为异面直线 B．直线，，l相交于一点 C． D．直线与可能为异面直线 【答案】B 【分析】结合题意以及空间中点线面的位置关系，逐项分析即可求出结果. 【详解】 梯形中，，所以与是梯形的两腰，所以与是共面直线，故A错误；与是不一定相等，故C错误，直线与是梯形的对角线，故是共面直线，故D错误；设，又且，，所以，，所以，又因为，故，即直线，，l共点，故B正确. 故选：B. 7．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．大小无法确定 【答案】C 【分析】根据等角定理，可直接判断出结果. 【详解】因为，，， 由等角定理可知， 当与开口方向相同时，； 当与开口方向相反时，. 故选：C. 8．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ） A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据等角定理，结合题意进行判断即可. 【详解】因为两个三角形的边两两对应平行，根据等角定理，这两个三角形的三个角对应相等， 所以这两个三角形相似. 故选：B. 9．如图所示，在长方体中，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】C 【分析】由异面直线的概念即可得解. 【详解】由题意，长方体中， 与既不平行又不相交， 所以与异面. 故选：C. 10．设空间中两条直线a，b，若a与b没有公共点，则a与b的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．平行或异面 D．相交 【答案】C 【分析】根据直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】空间中两条直线a，b，若a与b没有公共点，则a与b的位置关系是平行或异面， 故选：. 11．在长方体中，，，与所成的角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，，，得出即为所求角，再由余弦定理求出的值即可. 【详解】如图所示连接，，，， 为长方体，， 与所成的角即为与所成的角，即即为所求角， 在长方体中， ，， ，， ， 由余弦定理可得. 故选：C. 12．在正四棱锥中，，，E是中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将异面直线转化为相交直线，再根据边的关系求解即可. 【详解】连接交于点O，连接，如图： 因为正四棱锥的底面为正方形， 所以点O为的中点，又E是中点， 所以且， 所以异面直线与所成的角为， 又因为， 所以，则， 在中，， 所以由余弦定理可得， 在中，， 所以由余弦定理，， 所以在中，， 所以， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 二、填空题 13．下列推理正确的序号是 ． ① ② ③ ④ ⑤ 【答案】①②④ 【分析】根据点线面的位置关系，线面垂直的判定即可求解. 【详解】对①，若一条直线上有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内， 所以，故①正确； 对②，如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直平面内的所有直线， 所以，故②正确； 对③，，也可能是与的交点，故③错误； 对④，若点在直线上，直线在平面内，则点在平面内，所以，故④正确； 对⑤，，与异面或，故⑤错误. 综上，正确的序号是：①②④. 故答案为：①②④. 14．不共线的三点可确定 个平面. 【答案】一 【分析】根据平面的性质即可求解. 【详解】过不共线的三点有且只有一个平面. 故答案为：一. 15．如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为. 【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示: 因为G,F分别是棱,的中点, 所以,且,故四边形为平行四边形, 所以,所以与BF所成角即为与所成角, 因为正方体,E,G是棱AD,的中点, 所以, 所以,即, 因为,所以, 所以, 故与所成角为,即与BF所成角为. 故答案为: 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$