第3节 专题：带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【金版教程】2026年高考物理一轮总复习首选用卷课件PPT

第七章　磁场 第3节　专题：带电粒子在有界 匀强磁场中的运动 考点一　直线边界和平行边界 1.(2024·广西柳州市高三下三模)(多选)如图所示，MN上方存在匀强磁场，同种粒子a、b从O点射入匀强磁场中，两粒子的入射方向与磁场边界MN的夹角分别为30°和60°，且均由P点射出磁场，则a、b两粒子(　　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.如图，直角坐标系第Ⅰ、Ⅱ象限存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子在纸面内以速度v从y轴上的A点(0，－L)射入，其方向与x轴正方向夹角为30°，粒子离开磁场后能回到A点(不计重力)。求： (1)磁感应强度B的大小； (2)粒子从A点出发到再回到A点的时间。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考点二　角形边界和多边形边界 5.(2021·北京高考)如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP＝a。不计重力。根据上述信息可以得出(　　) A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程 B．带电粒子在磁场中运动的速率 C．带电粒子在磁场中运动的时间 D．该匀强磁场的磁感应强度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R A．运动半径之比为eq \r(3)∶1 B．初速率之比为1∶eq \r(3) C．运动时间之比为5∶2 D．运动时间之比为6∶5 解析：设OP＝2d，如图，由几何关系可知，a、b两粒子做匀速圆周运动的半径分别为ra＝eq \f(d,sin30°)＝2d，rb＝eq \f(d,sin60°)＝eq \f(2\r(3)d,3)，可知a、b两粒子的运动半径之比为ra∶rb＝eq \r(3)∶1，A正确；对在磁场中做圆周运动的粒子，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，可得速率v＝eq \f(qBr,m)，则a、b两粒子的初速率之比为va∶vb＝ra∶rb＝eq \r(3)∶1，B错误；粒子在磁场中运动的周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，可知Ta＝Tb，由几何关系知，a、b两粒子转过的角度之比为θa∶θb＝300°∶120° ＝5∶2，则a、b两粒子运动时间之比为ta∶tb＝eq \f(θa,2π)Ta∶eq \f(θb,2π)Tb ＝5∶2，C正确，D错误。 2.(2025·广西钦州市高三上期末检测)如图所示，有界匀强磁场的宽度为d，一带电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0垂直边界射入磁场，离开磁场时的速度偏转角为30°，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　) A．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为3d B．带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为eq \f(v0,2d) C．带电粒子在匀强磁场中运动的时间为eq \f(πd,2v0) D．匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(mv0,dq) 解析：粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，带电 粒子在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝eq \f(d,sin30°)＝2d，A错误； 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的角速度为ω＝eq \f(v0,r)＝eq \f(v0,2d)，B正确；粒 子做匀速圆周运动的周期为T＝eq \f(2πr,v0)＝eq \f(4πd,v0)，带电粒子在匀强磁场中运动的时间为t＝eq \f(30°,360°)T＝eq \f(πd,3v0)，C错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m2,0)eq \f(v,r) ，解得匀强磁场的磁感应强度大小为B＝eq \f(mv0,2dq)，D错误。 3．(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　) A.eq \f(mv,qB) B.eq \f(3mv,2qB) C．(1＋eq \r(2))eq \f(mv,qB) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2))) eq \f(mv,qB) 解析：粒子从O点到P点的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝meq \f(v2,r)，可得粒子做匀速圆周运动的半径r＝eq \f(mv,qB)，根据几何关系可得，P点至O点的距离LPO＝r＋eq \f(r,sin45°)＝(1＋eq \r(2))r＝(1＋eq \r(2))eq \f(mv,qB)，故选C。 答案：(1)eq \f(\r(3)mv,6qL)　(2)eq \f(（12＋10\r(3)π）L,3v) 解析：(1)根据运动的对称性，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系知轨道半径：r＝eq \f(Ltan60°,sin30°)＝2eq \r(3)L 洛伦兹力提供向心力：qvB＝meq \f(v2,r) 联立解得：B＝eq \f(\r(3)mv,6qL)。 (2)粒子做匀速直线运动的时间： t1＝2×eq \f(\f(L,sin30°),v)＝eq \f(4L,v) 粒子在磁场中偏转了300°，所用时间： t2＝eq \f(300°,360°)T＝eq \f(5,6)×eq \f(2π×2\r(3)L,v)＝eq \f(10\r(3)πL,3v) 则粒子从A点出发到再回到A点的时间： t＝t1＋t2＝eq \f(（12＋10\r(3)π）L,3v)。 解析：粒子恰好垂直于y轴射出磁场，作出轨迹如图所示，O1为轨迹圆心，由几何关系可知OO1＝atan30°＝eq \f(\r(3),3)a，轨迹半径R＝eq \f(a,cos30°)＝eq \f(2\r(3),3)a，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),3)a))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,3)a2，故A正确；由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,R)，解得带电粒子在磁场中运动的速率为v＝eq \f(qBR,m)，轨迹圆的半径R可求出，但磁感应强度B未知且不可求出，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故B、D错误；带电粒子在磁场中 转过的圆心角为eq \f(2,3)π，周期为T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2πm,qB)，则带电 粒子在磁场中运动的时间为t＝eq \f(\f(2,3)π,2π)T＝eq \f(2πm,3qB)，因磁感应 强度B未知且不可求出，则运动时间无法求出，故C错误。 6.如图所示，一个边界为等边三角形abc的磁场区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，三角形abc的边长为L。在c处一个电荷量为＋q、质量为m的带电粒子(重力不计)，沿垂直于ab的方向射入磁场，下列说法中正确的是(　　) A．若该带电粒子从ac边上离开磁场，在磁场中运动的时间为eq \f(πm,6qB) B．若该带电粒子从ac边上离开磁场，在磁场中运动的时间为eq \f(πm,4qB) C．若该粒子恰能从距a点eq \f(L,4)处的O点射出，入射速度为eq \f(13qBL,8m) D．若该粒子恰能从距a点eq \f(L,4)处的O点射出，入射速度为eq \f(11qBL,8m) 解析：由左手定则可知，粒子进入磁场后向上偏转，由几何关系可知，带电粒子只要从ac边界上任一点射出，则在磁场中运动的圆弧所对应的圆心角均为60°，如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝eq \f(mv2,r)，粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝eq \f(2πr,v)，联立解得T＝eq \f(2πm,qB)，可知带电粒子在磁场中运动时间均为t＝eq \f(60°,360°)T＝eq \f(πm,3qB)，故A、B错误；带电粒子恰好从O点离开时，其运动轨迹如图乙所示，根据几何关系有(Lsin60°)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(L,4)))eq \s\up12(2)＝R2，解得带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径R＝eq \f(13L,8)，由洛 伦兹力提供向心力有qv0B＝m2,0)eq \f(v,R) ，解得该粒子的入射速度为 v0＝eq \f(13qBL,8m)，故C正确，D错误。 7.(多选)如图所示，边长为L的正方形区域ABCD内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子以速度v0从D点射入磁场，速度方向与CD边夹角为60°，垂直BC边射出磁场，则下列说法正确的是(　　) A．粒子在磁场中的轨迹半径为L B．粒子的比荷为eq \f(\r(3)v0,BL) C．粒子在磁场中的运动时间为eq \f(2\r(3)πL,9v0) D．逐渐增大粒子的速度，且粒子仍从BC边射出，则粒子在磁场中的运动时间减小 解析：粒子在磁场中的轨迹如图所示，设粒子在磁场中的轨迹半径为r0，根据几何关系可得r0＝eq \f(L,cos30°)＝eq \f(2\r(3),3)L，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m2,0)eq \f(v,r0) ，联立解得粒子的比荷为eq \f(q,m)＝eq \f(\r(3)v0,2BL)，故B错误；由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动轨迹对应的圆心角为60°，则粒子在磁场中的运动时间为t0＝eq \f(2πr0,v0)×eq \f(60°,360°)＝eq \f(2\r(3)πL,9v0)，故C正确；设粒子速度为v，根据qvB＝meq \f(v2,r)，可得粒子在磁场中的轨迹半径r＝eq \f(mv,qB)，粒子速度增大，粒子在磁场中做圆周运动的半径增大，又粒子仍从BC边射出，由 作图法可知，粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角θ减小，粒 子在磁场中的运动时间t＝eq \f(2πr,v)×eq \f(θ,2π)，联立可得t＝eq \f(θm,qB)，则粒子在磁 场中的运动时间减小，故D正确。 考点三　圆形边界 8．(2021·全国乙卷)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力，则eq \f(v1,v2)为(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3) 解析：根据题意作出粒子的轨迹圆如图所示。设圆形磁场区域的半径为R，粒子速度大小为v1、v2时在磁场中的轨道半径分别为r1、r2，则根据几何关系有r1＝R，r2＝eq \r(3)R。根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝eq \f(mv2,r)，可得v＝eq \f(\a\vs4\al(qBr),m)，所以eq \f(v1,v2)＝eq \f(r1,r2)＝eq \f(\r(3),3)，故B正确。 9.(2024·云南省楚雄州高三下二模)(多选)如图所示，半径为R的一圆形区域，O为圆心，P为边界上的一点，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为－q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速率v＝eq \f(qBR,m)射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向夹角为θ＝30°。下列说法正确的是(　　) A．两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R B．a粒子在磁场中运动的时间为eq \f(πm,qB) C．b粒子在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB) D．a、b粒子离开磁场时的速度方向夹角为30° 解析：由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝meq \f(v2,r)，解得两粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r＝R，故A正确；粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，a、b粒子离开磁场时的速度方向都与OP方向垂直，即a、b粒子离开磁场时的速度方向相同，故D错误；a、b粒子在磁场中的运动周期均为T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2πm,qB)，由轨迹图可知两粒子轨迹所对应的圆心角分别为θa＝90°，θb＝120°，则a、b粒子在磁场中的运动时间分别为ta＝eq \f(θa,360°)T＝eq \f(πm,2qB)，tb＝eq \f(θb,360°)T＝eq \f(2πm,3qB)，故B错误，C正确。 10.(多选)如图所示，四分之一圆环区域abcd内存在垂直纸面方向的匀强磁场，圆心为O，内圆半径为r。一比荷为k的粒子从O点以速率v沿半径方向与Oa成30°角射入磁场，已知粒子运动轨迹与cd边相切并从b点离开磁场。不计粒子重力，则(　　) A．粒子在磁场中的加速度为eq \f(\r(3)v2,3r) B．匀强磁场的磁感应强度为eq \f(\r(3)v,kr) C．粒子在磁场中的运动时间为eq \f(4πr,9v) D．扇形区域ad边的长度为(eq \r(3)－1)r 解析：作出粒子在abcd区域内的运动轨迹如图所示，根据几何关系可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R＝rtan30°＝eq \f(\r(3),3)r，粒子在磁场中的加速度为a＝eq \f(v2,R)＝eq \f(\r(3)v2,r)，故A错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有qvB＝meq \f(v2,R)，解得B＝eq \f(mv,Rq)＝eq \f(\r(3)v,rk)，故B正确；粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝eq \f(2πR,v)＝eq \f(2\r(3)πr,3v)，根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的圆心角为240°，所以粒子在磁场中的运动时间 为t＝eq \f(240°,360°)T＝eq \f(4\r(3)πr,9v)，故C错误；根据几何关系可知，abcd区域的外圆 半径为r′＝eq \f(R,sin30°)＋R＝eq \r(3)r，所以扇形区域ad边的长度为eq \x\to(ad)＝r′－r ＝(eq \r(3)－1)r，故D正确。 11．如图1所示，在半径为r的圆形区域内，有垂直于圆面的磁场，磁感应强度随时间的变化关系如图2所示，B1和B2大小之比为eq \r(3)∶1，已知B1＝B0。t＝0时刻，一带电粒子从P点沿PO方向进入匀强磁场中，从圆周上A点离开磁场，∠POA＝60°，在磁场中运动的时间为Δt(Δt<t0)，粒子重力不计。 (1)求该粒子的比荷(用含Δt、B0的式子表示)； (2)若同一个粒子在t0时刻从P点入射，速度大 小、方向均与第一次相同，求这个粒子在圆形磁场 区域中运动的时间。 答案：(1)eq \f(2π,3B0Δt)　(2)eq \f(3\r(3),4)Δt 解析：(1)根据题意作出粒子的运动轨迹如图所示 设该粒子的质量为m，电荷量为q，入射速度为v，粒子在磁场中运动的轨迹半径为R1，根据几何关系可得R1＝rtaneq \f(∠POA,2) 其中∠POA＝60°，则R1＝eq \f(\r(3),3)r 由洛伦兹力充当向心力，有B1qv＝meq \f(v2,R1) 粒子的周期为T＝eq \f(2πR1,v) 由几何关系可知粒子在磁场中的轨迹所对应的圆心角为θ＝120°，则Δt＝eq \f(θ,360°)T 又B1＝B0 联立解得eq \f(q,m)＝eq \f(2π,3B0Δt)。 (2)在t0时刻以相同速度射入同一粒子，此时磁场的磁感应强度为B2，假设粒子射出磁场前磁场的磁感应强度没有变化，设这个粒子在磁场中运动的轨迹半径为R2，周期为T′，运动时间为t，根据洛伦兹力充当向心力，有B2qv＝meq \f(v2,R2) 解得R2＝eq \f(mv,B2q) 根据题意有B1∶B2＝eq \r(3)∶1 则eq \f(R1,R2)＝eq \f(B2,B1)＝eq \f(\r(3),3) 解得R2＝r 则粒子在磁场中运动的周期为T′＝eq \f(2πR2,v)＝eq \r(3)T 由几何关系可知粒子在磁场中的轨迹所对应的圆心角为α＝90°，则该粒子在此磁场中运动的时间为t＝eq \f(α,360°)·T′ 联立解得t＝eq \f(3\r(3),4)Δt 由于t<2Δt<2t0，则粒子在磁场中运动时，磁场的磁感应强度为B2不变，假设成立，所以粒子在磁场中的运动时间为t＝eq \f(3\r(3),4)Δt。 $$