第一章 空间向量与立体几何单元综合测试-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据题意， 故选：C. 2．设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 3．已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，可得， 故选：C. 4．若平面向量与向量的夹角是，且，则的坐标等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】设，因为，所以，故， 又，所以，， 因为平面向量与向量的夹角是， 所以， 所以， 所以，即， 所以或， 若，代入可得，， 若，代入可得，， 所以的坐标等于或， 故选：C. 5．已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，、、三个向量共面，则存在实数、，使得， 即，所以，解得. 故选：A. 6．在平行六面体中，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则线段的长度为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【解析】设，，，则， ， 所以线段的长为5， 故选：B． 7．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 8．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得直线的方向向量， 直线经过点，又， 则， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【解析】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 10．下面四个结论正确的是（    ） A．任意向量满足 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】对于A，表示与共线的向量， 表示与共线的向量， 而的方向无法确定，所以无法判断是否相等，故A错误； 对于B，因为，且， 所以四点共面，故B正确； 对于C，是空间的一组基底，若， 当共面时，则， 所以，无解，所以不共面， 所以也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，时，，故D错误. 故选：BC. 11．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B．若，则平面 C．若三棱柱存在内切球，则 D．若，则点到平面的距离为 【答案】CD 【解析】如图，过点作的平行线，交于点，则平面， 又，故可分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，. 对于A，依题意，，，， 则，，由， 可得异面直线和所成的角的余弦值为，故A错误； 对于B，由，，可得， 与不垂直，故平面错误，B错误； 对于C，若三棱柱存在内切球，不妨设其半径为，则，且内切球在底面上的射影是底面三角形的内切圆， 故由，解得，，故C正确； 对于D，依题意，，，设平面的法向量为， 则故可取，又， 故点到平面的距离为，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】 【解析】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量，其模为. 故答案为： 13．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【解析】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 14．如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 【答案】 【解析】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【解析】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 16．（15分） 如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【解析】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分） 如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，求三角形面积的最大值； (3)若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【解析】（1）在三棱锥中，由平面，面，得， 又平面，则平面，而平面， 则，又平面，于是平面， 又平面，因此，所以为直角三角形． （2）由，以及，得为中点，， 由（1）知，则在直角三角形中，有， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. （3）以为原点，直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，由，得， 即，且，则， 则， ，设平面的一个法向量为， 则，令，得平面的一个法向量为， ， 整理得，， 设，要存在，使与平面所成角为， 则在上有零点．而函数图象的对称轴， 又，只需满足，即，解得， 所以的取值范围是． 19．（17分） 如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2. (1)若平面. （ⅰ）证明：； （ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围. (2)在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值. 【解析】（1）（ⅰ）如图，设与交于点， 由题可得，， 则， 所以，又，所以为正三角形， 所以，又，， 故，所以，故. 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以. （ⅱ）解法一：由（ⅰ），由题可得， 为直角三角形，且平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上， 设球的半径为，则， 如图，连接，在中，，即， 得. 连接，，因为，， 所以， 所以的最小值为，的最大值为， 故的取值范围为. 解法二： 以为坐标原点，点所在直线为轴，平面内过且与轴垂直的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设球心，连接，，，，因为， 所以 ， 解得，，故，所以球的半径. （另可以通过得到） 连接，因为，所以， 所以的最小值为，的最大值为， 故的取值范围为. （2）解法一  如图，过点作平行于的直线，则该直线为平面与平面的交线. 设点在平面内的射影为，过点作平行于的直线分别交，于点，连接，则为二面角的平面角. 因为，所以，为的中点，， 连接，则， . 若最小，则最小，即最小， 所以当取最大值时，二面角取得最小值. 易知当点为的中点时，取得最大值，且最大值为3， 因此的最小值为，即的最小值为， 所以二面角的最小值为. 解法二：取的中点，连接，，则，，， 以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，.设，则， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故为平面的一个法向量. 易知此时与的夹角即二面角的平面角.（取，则，此时与的夹角为二面角的平面角的补角） 设二面角的大小为， 则， 所以当时，取得最大值，此时取得最小值，故二面角的最小值为. 第2页，共18页 第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 3．已知空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．若平面向量与向量的夹角是，且，则的坐标等于（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（   ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则线段的长度为（   ） A． B．5 C． D． 7．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 10．下面四个结论正确的是（    ） A．任意向量满足 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的充要条件 11．如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则异面直线和所成的角的余弦值为 B．若，则平面 C．若三棱柱存在内切球，则 D．若，则点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 13．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 14．如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 16．（15分） 如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 如图所示，在三棱锥中，平面，，，于点，为线段上一点，满足．    (1)求证：是直角三角形； (2)若，求三角形面积的最大值； (3)若存在，使直线与平面所成的角为，求的取值范围． 19．（17分） 如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2. (1)若平面. （ⅰ）证明：； （ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围. (2)在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值. 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$